1、实际问题与二次函数第三课时（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a0）求其解析式；当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2，0）时，可用交点式 求其解析式。2()ya xhk12()()ya xxxx（2）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0），可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴。（3）求二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）；求二次函数y=a
2、x2+bx+c（a0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）。（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值。现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题活动1情景导入，明确目标。重点知识生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题。完成下列填空：1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_。2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为_，当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为_m；当桥拱顶点
3、到水面距离为2 m时，水面宽为_m，A点坐标为_，B点坐标为_，则函数解析式为_。探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题活动2自学互研，生成能力。重点知识2yax2yax42（-2，-2）（2，-2）212yx 如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？首先是审题，弄清已知和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案。探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题重点知识例：小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图所示，若命中篮圈
4、中心，则他与篮底的距离L是多少？探究二：建立二次函数模型，解决其它实际问题213.55yx 解：当y=3.05时，+3.5=3.05解得：所以 L=3+1.5=4.5则他与篮底的距离L是4.5m。215x121.51.5xx，例1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A.1m B.2m C.（-4）m D.（-2）m探究三：利用二次函数解决实际问题的训练活动1基础性例题解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点。2 66C抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半
5、2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），代入到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=6所以水面宽度增加到 米，比原先的宽度当然是增加了 米。2 6(2 6-4)探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示
6、的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_。解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），y=ax（x-40）又 函数过点（20，16）代入得20a（20-40）=16，解得 抛物线的解析式为 。125a 218255yxx 218255yxx 探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米。（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）。问：此船能否顺利通过这座拱桥？【思路点拨】（1）以拱
7、桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式。（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去y，然后与3.6相比较即可得出答案。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=10a=100a，n+3=5a=25a，（2）货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，当x=3时，在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。2125yx 100325nana即4125na 解得1925y 943.625（）探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：如图，有一座抛
8、物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m。（1）建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF3，设OEh，则OFh3，则点B（10，h），D（5，3h）。设抛物线的函数解析式为y=ax2，探究三：利用二次函数解决实际问题的训练（2）B（10，-4），拱桥顶O到CD的距离为4，小时。所以再过20 h就能到达桥面。4200.2100253ahah 则4125ha 解得2125yx 所以抛物线的函
9、数解析式为探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例3.在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面 米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围。43探究三：利用二次函数解决实际问题的训练活动2提升型例题【思路点拨】（1）设抛
10、物线解析式为y=a（x5）2+3，将点（0，）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式。（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ONOC即可得出答案。（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围。43探究三：利用二次函数解决实际问题的训练解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+3，将点（0，）代入 可得：（2）当y=0时，4324533a（0）115a 解得：故抛物线的解析式为：215315yx（）2105315x（）125 3 553 5xx（舍去），解得：即53 5ON OC=6 CN=3 5 1探究三：利用二次函数解决实际问题的训练（3）若
11、运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时解得：m1=2，m2=8，运动员接球高度不够，2m8，OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），m的取值范围为：6m8。21532.415m（）探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式 表示。经过_s，火箭达到它的最高点。2515010ytt【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得 ，225150105(15)1135yttt 因此当t=15秒时火箭达到最高点。15探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例4.某桥的部分横截面如图所示，上方可
12、看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m。（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD的高度。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练（2）因为点A的横坐标为8，当x=8时，y5。所以柱子AD的高度为5米。解：（1）由题意可知：点C坐标为（0，1），点F坐标为（4，2），设抛物线解析式为yax2c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y x21。116（1）求经过A、B、C三
13、点的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD的高度。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高。（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过（4，0），（4，0），（3，4）三点。抛物线关于y轴对称，可设解析式为yax2c，16094acac
14、则64747ca 解得246477yx 所以抛物线的函数解析式为 顶点坐标为（0，），则校门的高为 9.1（米）647647探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米（即MO6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练活动3探究型例题图1图2【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。依题
15、意，得B（10，0）。a1060。解得a0.06。即解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为26yax20.066yx DF5，EF10。即水面宽度为10米。当y4.5时，解得5x 20.0664.5x例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米（即MO6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物
16、线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练解：（1）设抛物线对应的函数关系式为因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A（-3，-3），代入得-3=9a，解得 2yax13a 213yx 所以函数关系式为练习：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；探究三：利用二次函数解决实际问题的
17、训练解：（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.254.5，从而此车不能通过此隧道。练习：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米
18、的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系。（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式。（不要求写自变量x的取值范围）（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明。（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为1
19、8米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系。（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式。（不要求写自变量x的取值范围）解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为ya（x7）23.2将点C（0，1.8）代入得49a3.21.8，135a 解得2116(7)355yx 探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦
20、训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系。（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明。解：（2）由题意当x9.5时，故这次她可以拦网成功。2116(9.57)3.023.1355y 探究三：利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为1
21、8米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系。（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）解：（3）设抛物线解析式为ya（x7）2h，将点C（0，1.8）代入得49ah1.8，1.849ha21.8(7)49hyxh4(1.8)2.4349121(1.8)049hhhh由题意得3.025h 解得则排球飞行的最大高度h的取值范围是h3.025。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习
22、：如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 的一部分。23315yxx（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由解：（1）配方得23519()524yx 当x 时，y有最大值 ，52194 演员弹跳离地面的最大高度是4.75米。探究三：利用二次函数解决实际问题的训练练习：如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 的一部分。23315yxx（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2
23、）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由解：（2）表演成功。理由：把x4代入解析式得y3.4，即点B（4，3.4）在抛物线 上，所以表演成功。23315yxx 探究三：利用二次函数解决实际问题的训练知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系（若题目中给出，不用重建）；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；（3）根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；（4）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a0）求其解析式；重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系。2.根据给定的条件，确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标。3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键。谢 谢
