1、离散型随机变量的均值 泰安二中 耿丽静离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 说课流程图说课流程图学情分析学情分析教材分析教材分析教学过程教学过程教学评价教学评价教学法分析教学法分析 一、教材分析一、教材分析1.教材的地位和作用教材的地位和作用本部分内容虽然是新增内容，但它能很好的让学生体本部分内容虽然是新增内容，但它能很好的让学生体验数学在生活中的应用，促进学生形成和发展数学应用验数学在生活中的应用，促进学生形成和发展数学应用意识，并且每年高考题中都有所涉及。意识，并且每年高考题中都有所涉及。本节是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础本节是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行
2、研究的，同时又为下一节要研究方差奠定基础，上进行研究的，同时又为下一节要研究方差奠定基础，在知识上起到了承前启后的作用。在知识上起到了承前启后的作用。离散型随机变量的均值是概率论和数理统计的重要概离散型随机变量的均值是概率论和数理统计的重要概念，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着念，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用。广泛的应用。一、教材分析一、教材分析过程与方法目标过程与方法目标：通过探索离散型随机变量的定义，经历概：通过探索离散型随机变量的定义，经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，通
3、过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。和学以致用的数学应用意识。情感、态度与价值观目标情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，在学生分：激发学生学习数学的兴趣，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，并感受数学析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，并感受数学来源于生活，又应用于生活来源于生活，又应用于生活,体现数学的文化功能与人文价值。体现数学的文化功能与人文价值。知识与技能目标知识与技能目标：理解离散型随机变量的均值的意义，会根据：理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散
4、型随机变量的分布列求出期望值，并解决一些实际问题。离散型随机变量的分布列求出期望值，并解决一些实际问题。2.教学目标教学目标 一、教材分析一、教材分析3.教学重难点：教学重难点：突出重点突出重点：在教学中通过生活中的例子引入课：在教学中通过生活中的例子引入课题，用层层递进的问题引导学生由特殊归纳到题，用层层递进的问题引导学生由特殊归纳到一般，逐步探究，亲身经历概念的建构过程。一般，逐步探究，亲身经历概念的建构过程。突破难点突破难点：解决应用题时，关键是引导学生建：解决应用题时，关键是引导学生建立离散型随机变量分布列的模型，把实际问题立离散型随机变量分布列的模型，把实际问题转化成数学问题。转化成
5、数学问题。教学重点教学重点：离散型随机变量均值的概念：离散型随机变量均值的概念教学难点教学难点：离散型随机变量均值的应用：离散型随机变量均值的应用二、学情分析二、学情分析学生已经学习了有关平均数、概率、分布学生已经学习了有关平均数、概率、分布列的知识，这为理解离散型随机变量的均列的知识，这为理解离散型随机变量的均值奠定基础，经过高中已有知识的学习，值奠定基础，经过高中已有知识的学习，学生具备了一定的归纳推理能力以及分析学生具备了一定的归纳推理能力以及分析问题、解决问题的能力，但在解决应用题问题、解决问题的能力，但在解决应用题时，数学建模能力不强。时，数学建模能力不强。三、教法设计三、教法设计教
6、法教法：新课程理念倡导要充分发挥学生的主体地：新课程理念倡导要充分发挥学生的主体地位，因此我将采用设置情境位，因此我将采用设置情境-引导发现引导发现-形形成概念成概念-应用概念的方法，提高学生自主学习应用概念的方法，提高学生自主学习的能力，培养主动探究和合作学习的意识。的能力，培养主动探究和合作学习的意识。教学手段教学手段：采用多媒体教学，增大课堂容量：采用多媒体教学，增大课堂容量学法学法：自主探究，合作交流：自主探究，合作交流。四、教学过程四、教学过程创创设设情情境境自自主主探探究究布布置置作作业业概概 念念 应应用用课课堂堂小小结结四、教学过程四、教学过程设计意图：设计意图：题意简单明了，
7、问题所涉及题意简单明了，问题所涉及的背景材料是生活中常见的一种商业现的背景材料是生活中常见的一种商业现象，可激发学生的兴趣和求知欲望。象，可激发学生的兴趣和求知欲望。1 1、创设情境、创设情境某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg 的的3种糖果按种糖果按3：2：1的比例混合销的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理等，如何对混合糖果定价才合理？由于混合比例不同，每由于混合比例不同，每1kg的混合糖果中，的混合糖果中，3种糖种糖果的质量分别是果的质量分别是1/2,1/3.1
8、/6kg,所以混合糖果的合所以混合糖果的合理价格为理价格为32118243623666问题问题1：为什么不用（：为什么不用（18+24+36）/3=26的方法？的方法？设计意图：设计意图：让学生发现这里要求的价格实际让学生发现这里要求的价格实际是加权平均数，这里的是加权平均数，这里的3/6，2/6，1/6分别是分别是权数权数 2、自主探究加权平均数加权平均数权数权数权数权数权数权数2 2、自主探究、自主探究问题问题2：如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，权：如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，权数的实际含义是什么？数的实际含义是什么？问题问题3：如果把：如果把n种糖果按一定比例混合，每种糖
9、果种糖果按一定比例混合，每种糖果的价格记为的价格记为X1,X2,X3,Xn,如何定价合理？如何定价合理？设计意图设计意图：联想概率和分布列，：联想概率和分布列，价格可以表示为价格可以表示为18xP(X=18)+24xP(X=24)+36xP(X=36)设计意图设计意图更自然地由特殊过渡到一更自然地由特殊过渡到一般，为抽象出均值定义做铺垫般，为抽象出均值定义做铺垫 分析：从混合糖果中任取一颗糖果是一个随机试验，分析：从混合糖果中任取一颗糖果是一个随机试验，可能出现结果有三种，可能出现结果有三种，“每颗糖果质量相等每颗糖果质量相等”保证了保证了每种结果出现的可能性相等，假设混合糖果有每种结果出现的
10、可能性相等，假设混合糖果有n n颗，颗，则每种糖果分别有则每种糖果分别有n/2,n/3,n/6,n/2,n/3,n/6,则每种糖果被取到的则每种糖果被取到的概率分别是概率分别是1/21/2，1/31/3，1/61/6。若用。若用X X表示这颗糖果的价表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，可得到它的分布列。格，则它是一个离散型随机变量，可得到它的分布列。设计意图：设计意图：让学生自己让学生自己试着归纳定义教师总结试着归纳定义教师总结2、自主探究、自主探究问题问题4：以上的方法与结果有一般性吗：以上的方法与结果有一般性吗?P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxEX 2
11、211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。机变量取值的平均水平。一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：练习练习1：离散型随机变量：离散型随机变量的概率分布为的概率分布为求求的期望的期望 求求可能取值的算术平均数。可能取值的算术平均数。练习练习2：随机抛随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。0.990.01P100 1当堂练习：当堂练习：设计意图设计意图：通过练习，加深对概念的理解。练习：通过练习，加深对概念的理解。练习1是为是为了让
12、学生理解离散型随机变量的期望，它不同于相应了让学生理解离散型随机变量的期望，它不同于相应数值的算术平均数。数值的算术平均数。练习练习2说明取不同数值时的概率都相等时，随机变量的说明取不同数值时的概率都相等时，随机变量的期望与相应数值的算术平均数相等。期望与相应数值的算术平均数相等。思考？思考？设计意图设计意图：熟悉定义，熟悉定义，推导性质推导性质问题问题5：设设Y YaXaXb b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则Y Y也是随也是随机变量。机变量。Y Y的分布列是什么？的分布列是什么？EY=EY=？P1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnp
13、baxpbaxpbaxEY)()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa baEX 设计意图设计意图：区分两个概念，：区分两个概念，加深对离散型随机变量加深对离散型随机变量的均值的理解的均值的理解想一想？想一想？问题问题6 6：随机变量均值与样本平均值有什么：随机变量均值与样本平均值有什么联系与区别？联系与区别？随机变量的均值是常数，而样本的平均随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化对于简单的随值随着样本的不同而变化对于简单的随机样本，它是随机变量，随着样本容量机样本，它是随机变量，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总的增加，样本的平均值越来
14、越接近于总体的均值体的均值3、概念应用、概念应用例例1 1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中的：篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，求，求他罚球他罚球1 1次的得分的均值是多少？次的得分的均值是多少？变式变式：（：（1 1）他罚球他罚球2 2次的得分的均值是多少？次的得分的均值是多少？（2 2）他罚球）他罚球3 3次的得分的均值是多少？次的得分的均值是多少？设计意图设计意图：训练学生用定义：训练学生用定义 计算其均值，通过（计算其均值，通过（1）让学）让学 生总结两点分布的计算公式，生总结两
15、点分布的计算公式，通过（通过（2）（）（3）猜想二项分）猜想二项分布均值的公式，再试着证明布均值的公式，再试着证明3、概念应用、概念应用解解：（：（1）XB（2，0.7），其分布列为），其分布列为P210X23.03.07.0C12 2227.0C4.17.0C23.07.0C13.00EX222122 =20.7 3、概念应用、概念应用(2)(2)解解:X:XB B（3 3，0.70.7）,其分布列为：其分布列为：P3210X33.02133.07.0C3.07.0223 C37.0312223330 0.310.7 0.320.7 0.3 3 0.72.1EXCC 7.03 猜想猜想：若：
16、若X XB(nB(n，p)p)，则，则EXEXnpnp 3、概念应用、概念应用 证明：若XB(n，p)，则EXnp 1k1nknnC)!1k()1n)!(1k()!1n(n)!kn(!k!nkkC npEX 1 1-n n0 01 1n n1 1n n1 1n n1 1)(k k1 1)(n n1 1k k1 1k k1 1n n2 2n n1 11 11 1n n1 1n n0 00 01 1n nq q)n np p(p p)q qp pC Cq qp pC Cq qp pC Cq qp pn np p(C C所以,若XB(n，p)，则EXnp )n,2,1,0k(qpC)kX(Pknkk
17、n 0nnnknkkn1n11nn00nqpnCqpkCqpC1qpC0EX 3、概念应用、概念应用例例2 2一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成，每个选择题个选择题构成，每个选择题有有4 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得对得5 5分，不选或选错不得分，满分分，不选或选错不得分，满分100100分。学生分。学生甲选对任意一题的概率为甲选对任意一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。生甲和学
18、生乙在这次测验中的成绩的均值。设计意图设计意图：引导学生审题分析，：引导学生审题分析，抽象出二项分布的模型，合理抽象出二项分布的模型，合理选择随机变量，利用性质简化选择随机变量，利用性质简化计算计算3、概念应用、概念应用思考思考：同学甲：同学甲在这次测试中在这次测试中一定能得一定能得90分分吗？它的成绩吗？它的成绩均值的含义是均值的含义是什么？什么？解：设解：设X1表示甲选对的题数、表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数表示乙选对的题数它们都满足二项分布它们都满足二项分布,X1B(20，0.9),X2B(20，0.25)所以所以EX1=n p=200.9=18 EX2=n p=200.25=5
19、设学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是设学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是Y1、Y2，则则Y1=5X1 Y2=5X2所以所以EY1=E(5X1)=5EX1=90，EY2=E(5X2)=5EX2=253、概念应用、概念应用例例3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01该地区某工地上有一台大型设该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损元，遇到小洪水时要损失失10000元为保护设备，有以下元为保护设备，有以下3 种方案：种方案：方案方案1：运
20、走设备，搬运费为：运走设备，搬运费为3 800 元元方案方案2：建保护围墙，建设费为：建保护围墙，建设费为2 000 元但围墙只能防元但围墙只能防小洪水小洪水方案方案3：不采取措施，希望不发生洪水：不采取措施，希望不发生洪水试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好设计意图设计意图：感受数学在生：感受数学在生活及社会各个领域中的广活及社会各个领域中的广泛应用泛应用 解：用解：用X1、X2和和X3分别表示三种方案的损失分别表示三种方案的损失采用第采用第1种方案，无论有无洪水，都损失种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即元，即X1=3 800.采用第采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失种方案，遇
21、到大洪水时，损失2 000+60 000=62 000 元；元；没有大洪水时，损失没有大洪水时，损失2 000 元，即元，即同样，采用第同样，采用第 3 种方案，有种方案，有于是，于是，EX13 800,EX262 000P(X2=62 000)+2 00000P(X2=2 000)=620000.01+2000(1-0.01)=2 600,EX3=60000P(X3=60000)+10 000P(X3=10 000)+0P(X3=0)=60 0000.01+100000.25=3100.采取方案采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案的平均损失最小，所以可以选择方案2.无无大大洪洪水水有有
22、大大洪洪水水，2000,62000X2 无无洪洪水水有有小小洪洪水水有有大大洪洪水水，0，10000，60000X34、课堂小结、课堂小结（1 1）主要知识点）主要知识点（2 2）数学方法）数学方法（3 3）数学思想）数学思想 设计意图设计意图：知识整理，形成系统，：知识整理，形成系统，培养学生养成良好的学习数学的培养学生养成良好的学习数学的方法和习惯方法和习惯 5、布置作业、布置作业必做题：必做题：选做题：选做题：思考题：思考题：设计意图设计意图：学生可以巩固知识，形成：学生可以巩固知识，形成技能，教师可以在作业中发现和弥补技能，教师可以在作业中发现和弥补教学中的不足，同时也为学有余力的教学
23、中的不足，同时也为学有余力的同学留下一定的拓展空间。同学留下一定的拓展空间。6、板书设计、板书设计题目公式例题1.定义2.性质 设计意图设计意图：再现过程，强调重点再现过程，强调重点时间分配：时间分配：离散型随机变量期望的概念离散型随机变量期望的概念-约约13分钟分钟当堂练习当堂练习-约约5分钟分钟性质性质-约约3分钟分钟例例1及公式推导及公式推导-约约10分钟分钟例例2-约约5分钟分钟例例3-7分钟分钟小结小结-约约2分钟分钟五、教学评价五、教学评价本节课把更多的时间、机会留给学生，为学生本节课把更多的时间、机会留给学生，为学生创设了良好的学习情景，搭建了探究的平台，创设了良好的学习情景，搭
24、建了探究的平台，让学生充分的交流、探索。教学中要关注学生让学生充分的交流、探索。教学中要关注学生是否积极地参与到探索的过程中去，是否收到是否积极地参与到探索的过程中去，是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当
25、我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力
26、。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的
27、年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在
28、失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一
29、起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜
30、，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪
31、消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地
32、。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让
33、老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛
34、钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的
35、。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分
36、留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个
37、戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队
38、伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老
39、吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这
40、些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！
