1、南京市 2019 年初中学业水平考试 数学注意事项： 1本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟，考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效 2请认 真 核 对监 考 教 师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上 3答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应 的 答 案 标号涂黑如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案，答非选择题必须0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效 4作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 一、选择
2、题（本大题共 6 小题，每小题2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项 中 ， 恰 有 一 项是符合题目 要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题 卡 相 应 位 置 上） 12018 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额 达 到 13 000 亿美元，用科学计数法表示 13 000 是（ ） 5 B1.3104 C1 31 03 D130102 A0.1310 【答案】 B 【考点】科学记数法 【分析】把一个大于 10 或小于 1 的正数写成 a10n 的形式，其中： 1 a10，n 是整数应用方法： 把小 数点移动到第一个不是 0 的数字后面，移几位就乘以 10 的几次幂
3、（小数点向左移则指数为正，向右移则指数 为负。）注意：本题要审题 ， 用 科 学 记数法表示的数：是不带单 位 的 13 000，而不是 13 000 亿 4 .故选B. 【解答】解： 13 0001.310 2计算（ a 2b）3 的结 果是（ ） Aa 2b3 Ba5b3 Ca6b Da6b3 【答案】 D 【考点】幂的运算： ( a m) namn ，(ab)nanbn 【分析】利用幂的运算法则直接计算 23b3 【解答】解：原式 a a6b3 3面积为 4 的正方形的边长 是 （ ） A4 的平方根 B4 的算术平方根 C4 开平方的结果 D4 的立方根 【答案】 B 【考点】平方根、
4、算术平方根、立方根的定义 1 / 32 若 x2a（a 0） ， 则x 叫做 a 的平方根， a（a 0）的平方根表示为 a ； 正数的正的平方根也叫它的算术平方根， a（a 0）的算术平方根表示为a ；若 x 3a，则 x 叫做 a 3 的立方根， a 的立平方根表 示为 a ； 求一个数 a 的平方根的运算 ,叫做开平方，求一个数的立方根的运算叫做开立方； a（a 0）开平方的结果表示为 a . 【分析】 正方形的边长是正数，所以边长为正方形面积的算术平方根 【解答】边长为正方形面积的正的平方根，即：算术平方根，故选： B. 实数 a、b、c 满足 ab，且 acbc，它们在数轴上的对应点
5、的位置可以是（ ） 【答案】 A 【考点】在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数 不等式的性质：（1）不等式的两边都加上 (或都减去 )同一个数或 同一个整式，不等号的方向不变. 如：abacbc. （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，如 ab，c0a c b c； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，如 ab，c0a c bc. 【分析】由 ab 得：在数轴上数 a 表示的点在数 b 表示的点的右边； 由 acbc 得：a、b 同时乘以数 c 后，不等号改变了方向，所以数 c 是负数 【解答】在数轴上数 a 表示的点在数 b 表示的点
6、的右边，数 c 是负数，故选： A. 5下列整数中，与 10 13 最接近的是（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】 C 【考点】估算 【分析】用平方法分别估算 13 的取值范围，借助数轴进 而 估 算 出 10 13 的近似值 【解答】 解法 1：估算 10 ： 3 29，4216 3 13 4 3.5212.25. 3.5 13 4 2 / 32 610 13 6.5 . 解法 2：借助数轴估算： 13 的近似值. 画数轴： 观察数轴可得： 3.5 13 4 610 13 6.5. 故选：C. 6如图， ABC是由ABC 经过平移得到的， ABC还可以看作是 ABC 经过怎样的 图形变
7、化得到？下列结论： 1 次旋转； 1 次旋转和 1 次轴对称； 2 次旋转； 2 次轴对称.其中所有正确 结论的 序号是（ ） A B C D 【答案】D 【考点】轴对称的有关性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 . 平移的有关性质：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直 线上）且相等 . 旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等 . 中心对称的有关性质：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平 分 . 【分析】利用轴对称、旋转的性质，先进行 1 次旋转或轴对称，计作
8、ABC，不妨将 B 与 B经过一 次变换先重合，再进行二次变换，看二次变换后 ABC能否与 ABC重合 【解答】 结论 1 次旋转：不妨以线段 BB的中点 O 为旋转中心 . 3 / 32 故错， A 错 结论 1 次旋转和 1 次轴对称 ： 1 次旋转 以线段 BB的中点 O 为旋转中心 . 1 次轴对称以 AA的中垂线为对称轴 . 或 1 次 轴对称以 CC的中垂线为对称轴 . 故错， B、C 错 至此，通过排除法即可得：选项 D 正确，验证如下 . 结论 2 次旋转. 1 次旋转：以线段 BB的中点 O 为旋转中心； 4 / 32 2 次旋转：以线段 AA的中点为旋转中心 .两次旋转后图
9、形重合 . 结论 2 次轴对称. 1 次轴对称：以 BB的中垂线为对称轴； 2 次轴对称：以 CC的中垂线为对称轴 . 两次轴对称后 图形重合. 故选：D. 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相 应 位 置 上 ） 1 72 的相反数是 _；2 的倒数是_. 【答案】2；2 【考点】相反数、倒数的概念 若两个数的积等于 1，这两个数互为倒数； a0 时，a 的 相反数表示为 1 a ，0 没有倒 数 . 符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0；a 的 相反数 5 / 32
10、表示为 a. 【分析】利用相反数、倒数的概念直接写出答案 【解答】 2 的相反数是（ 2）2； 1 2 2 1， 1 2 的倒数是 2. 8计算 14 7 28 的结果是 _. 【答案】 0 【考点】二次根式的化简 【分析】根据二次根式运算法则进 行 化 简，掌握常用化简方法、结论 即 可 ； 本 题涉及到的运算法则： （ a ）2 a（a 0）；常用结论： m2n m n （m 0，n 0） 【解答】 14 7 28 . 14 7 7 7 27 . 2 14 7 7 2 7 . 2 7 2 7 . 0. 24ab 的结 果是 _. 9分解因式（ ab） 【答案】（ab）2 【考点】完全平方公
11、式： （ab）2a22abb2 及逆用完全平方公式分解因式： a 22abb2（ab） 2 【分析】本题无公因式可提取，也不能直接应用公式进行解法分解因式，先将 （ab） 2应 用完全平方公式展 开，再合并同类项 ， 会 发现，其可逆用完全平方公式进行分解因式 . 【解答】（a b） 2 4ab. a22abb24ab. a22abb2. 2. （ ab） 24xm0 的一个跟，则 m_. 10已知 2 3 是关于 x 的方程 x 【答案】 1 【考点】一 元二次方程根的定义或根与系数的关系 6 / 32 b c 2bxc0（a0）根与系数的关系： x 一元二次方程 ax 1x2 ，x1x2
12、a. a 【分析】解法有 2 种： 解法一：根据根的定义，把根“ 2 3 ”代入原方程中，得到两个关于 m 的方程，解此方程即 可求 解； 解法二：根据一元二次方程 ax 2bxc0（a0）根与系数的关系，设另一个根为： x1. 根与系数的 关系列出含有 x1 与 m 的方程组，解此方程组即可 【解答】 解法一： 根据题意，得：（2 3 ）24（2 3 ）m0. 解这个方程，得： m1. 解法二：设这个方程的另一个根为 x1. 根据题意 得： 2 3 x14 （2 3 ）x1m 由得：x12 3 . 把代入得： m（2 3 ） （ 2 3 ）. 即：m1 比较上述两种解法，解法一、二都比较便捷
13、 11结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： _ ab. 【答案】 13180 【考点】三线八角同旁内角的识别：在截线 c 的同侧，夹在截线 a、b 之间，呈“ U”字型. 【分析】图形中呈现了不同关系的角： 对顶角（如2 与4）、邻补角（如2 与3）、同位角（如1 与 2） 、 内错角（如 1 与4）、同旁内角（ 1 与3）；考试时需要根据题意进行识别 . “同旁内角互补，两直线平行”的符号语言只能选择“ 1 与3” 【解答】 13180 ab. 7 / 32 12无盖圆柱形杯子的展开图如图所示， 将一根长 20cm 的细木筷斜放在杯子内， 木筷露在杯子外面的
14、部分至 少有_cm. 【答案】5 【考点】圆柱的侧面展开图，勾股定理等 【分析】如图 1，画出圆柱体及其侧面展开图，确定对应线段的长度； 图 1 图 2 图 3 根据题意“细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少多少 cm”，确定细木筷斜放在杯 子内中 位置最多在杯子内的长度，显然应置杯底与杯口斜对角位置（如图 2），即圆柱体截面图中的对角 线位置 （如图 3），其与杯高与底面直径构成直角三角形（图 3 中 RtABC），利用勾股定理即可求出此时杯 内木筷 的长度 【解答】AB 12292 . 15 露在外面的长度 20155（cm） 13为了了解某区初中生学生视力情况， 随机抽取了该区
15、 500 名初中学生进行调查 .整理样本数据， 得到 下表： 视力 4.7 以下 4.7 4.8 4.9 4.9 以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区 12 000 名初中学生视力不低于 4.8 的人数是_. 【答案】7200 【考点】样本估计总体 【分析】利用样本中“视力不低于 4.8 人数的频率”可以近似看做总体中“视力不低于 4.8 人数的频 率”； 样本中“视力不低于 4.8 人数的频 率” 视力不低于 4.8 人数 样本容量 . 【解答】 12000 8093127 500 7200. 8 / 32 14如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切
16、点，点 C、D 在O 上，若P102 ，则AC _ . 【答案】219 【考点】圆的切线垂直于经过切点的半径，同（等）弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，直径所对 的圆周角是直角等；常规辅助线：过切点的半（直）径，构造直径所对的圆周角等；由特殊到一般的数学思 想方法等. 【分析】本题求“AC 等于多少度”，显然其是一个定值， 其与点 D 在圆上的位置没有关系， 根据 图示， 只要点 D 在图中 优弧 AC 上即可，根据由特殊到一般的数学思想方法，可将点 D 在优弧 AC 上移动到一 个特 殊位置，即弦 AD（或 AC）经过圆心，不妨让弦 AD 经过圆心，即 AD 为O 的直径，如图 1；
17、AD 为直径时：（1）由于 PA 为切线，所以 A90 ； （ 2）AD 所对圆周角为直角，连接 AC，C 1 290 2，如图 2； 2 等 于 AB 所对圆心角的一半，所以连接 OB，2 1 2 3，49 0 ，如图 3； 3 放在四边形 OAPB 中即可求得为 39 . “AC”90 90 39 219 . 如果是一般的图形，只要作直径 AE 连接 EC，如图 4.由于12，所以DAPDCBEAP ECP，也就转化为图 1 了. 图 1 图 2 图 3 图 4 【解答】以下给出的是一般情况下的求解过程，在考试时，可选择用特殊情况下的图形来求解，其结果 是不变的 . 如图，作直径 AE，连
18、接 EC、AC、OB 9 / 32 12. DAPDCBEAPECP. PA、PB 为切线. OAP590 . 4360 OAP5P. P102 . 478 . 1 32 439 . AE 为直径. ECA90 . EAPECPEAPECA3. 90 90 39 . 219 . 即：DAPDCB219 . 15如图，在 ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB.若 AD 2，BD3， 则 AC 的长为_. 【答案】 10 【考点】线段垂直平分线性质及基本图形，如图 1，角平分线性质及基本图形如图 2、图 3，图形的相 似等 图 1 图 2 图 3 图 4 10
19、 / 32 图1 中： DBDC，两个 Rt全等； 图2 中：作 DGAC，则DEDG， DCE DCG 等； 图3 中：作 DFAC，则 123，DFFC，BDFBAC 等； 综合图13，除了上述结论 外 ， 还可应用勾股定理等 . 【分析】与已知条件中长度联系最紧的是相似，依此逐步推理： DF AC 如图4，DFACBDFBAC BD BA 3 5 ，设DF3k，AC5k，则FCDF 3k.； BF BC DFACBDF BAC BD BA BF FC BD DA 3 2 BF 9 15 15 2 k，则BC 2 k，BEEC 4 k， 3 EF 4 k； 根据勾股定理： BD 2BE 2
20、DF 2EF2DE 2 即可求出 k 的值. 据上分析，本题不需要应用图2 的结论. 【解答】如图，作 DFAC 交 BC 于点 F，设MN 交 BC 于点 E. 则 ： 23. DC 平分 ACB. 12. 13. DFFC. DFAC. BDFBAC. DF AC BD BF BA BC . AD2，BD3 DF AC BF BC 3 5 ， 设DF3k. 则AC5k，FCDF3k. BF BC 3 5 . BF FC 3 2 . 11 / 32 9 BF 2 k. 则BC 15 2 k. E 为BC 中点. BEEC 15 4 k. 3 EFECFC 4 k. 在 RtADE 与 RtD
21、FE 中. BD 2BE 2DF2EF2DE 2. 32 （ 15 4 k）2（3k）2 （ 3 4 k）2. 解得： k 10 5 （负 值 舍 去 ） . AC5k 10 . 16在 ABC 中，AB4，C60， AB，则BC 的长的取值范围是 _. 【答案】 4 BC 8 3 3 【考点】线段的运动与变化，三角函数，斜边大于直角边等 【分析】可利用含 60的三角板直观演示点 A 运动过 程 中 线段 AB、BC 的变化规律，注意 AB 在运动过程 中的特殊位置，即 ABC 为直角三角形、等腰三角形等 图1 图2 图3 图4 图5 图1：起始图，点 A 与点 C 重合，初步演示观察，不难发
22、现：点 A 沿三角板斜边所在的射线向左上方的 运动过 程 中 ， A 逐渐减小， B 逐渐增大， BC 长线增大，然后又逐渐减小； 图2：点 A 沿三角板斜边所在的射线运动，此时 A 为钝 角 ， 此 过程中 AB，BC 逐渐增大； 图3：点 A 运动到第一个特殊位置， A9 0，此过程中 AB，BC 达到最大，应用三角函数可求 8 3 得其最大值为 3 ； 图4：点 A 运动到第二个特殊位置， A60，此过程中 AB，BC 逐渐减小，当 A60时， B60；可见BC4 图5：点 A 继续运动，则 BAC60， B60，此过程中， AB，不满足题意 . 12 / 32 也可从特殊的三角形开始分
23、析，即 AB，此时ABC 为等边三角形，如图 6；此时，若点 A 沿射 线 CA 方向运动，则 A60 （如图 7），故点 A 只能沿射线 AC 方向运动，其运动过程中的特殊位置 为 A 90 （如图 9）；满足条件的一般图形分两类： 6 0 A9 0 ，90 A180 ，即A 分别 为锐角 或钝角（如图 9、10）. 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 【解答】 （1）当A60 时. ABC 为等边三角形， BCAB4. （2）当A90 时. AB 8 3 ABC 为 Rt，BC sinC 3 . （3）当 60 A90 . 作 BDAC 于 D. BDBC sinC. 在 RtABD
24、 中. BDAB. BC sinCAB. BC sin60 4. 即：BC 8 3 3 . （4）当 90 A180 . 作 BDAC 交 CA 延长线于 D. 13 / 32 8 3 同（ 3）解法： BC 3 . 综 上 ： 4BC 8 3 3 . 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答时应 写 出 文 字 说明、证明过程 或演算步骤） 17 （ 7 分）计算（ xy） （ x 2xyy2） 【考点】多项式乘以多项式，合并同类项 【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘 【解答】原式 x 3x2yxy2x2yxy2y3
25、 x3y3. 【考点】多项式乘以多项式，合并同类项 【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘 【解答】 18 （ 7 分）解 方程 x x1 1 3 2 1 . x 【考点】分式方程的解法 【分析】根据解分式方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为1、检验 等 即 可 得 解 注 意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号 本题将 x21 分解因式，确定最 简公分母后，去分母即可转化为整式方程 【解答】原方程可转化为： x x1 3 1（x1）（x 1） . 方程两边乘（ x1） （ x1），得： x（x1）（ x1） （ x1）3. 整理
26、，得： x13. 解得： x2. 检验：当 x2 时， （ x1） （ x1）0. 原分式方程的解为： x2. 19 （ 7 分）如图， D 是ABC 的边AB 的中点， DEBC，CEAB，AC 与 DE 相交于点 F. 求证： ADF CEF. 14 / 32 【考点】中点的定义；三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS，HL；平行四边形的判定：两组对边分 别 平 行 ， 两 组对边分别相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分 【分析】对照已知条件，观察图形不难发现四边形 DBCE 是平行四边形，根据 D 为AB 中点，即可得到 AD BDCE，欲证的两个三角形由平行可得两组内角
27、（均为内错角）相等 【解答】证明： DEBC，C EAB. 四边形 DBCE 是平行四边形 . BDCE. D 是 AB 中点. ADBD. ADCE. C EAB. A1，2E. ADF CEF. 20 （ 8 分）下图是某市连续 5 天的天气情况 （1）利用方差判断该市这五天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； 15 / 32 （2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论 . 【考点】从图中获取信息，方差的意义与计算，数据与客观世界之间的联系，分析与综合的能力 【分析】问题（ 1）利用方差计算公式直接计算，方差越大，波动越大；方差计算分两步，先求平均数，再计 算方差： x 1
28、n （x 1x2 xn）. 2 1 s n （ x1 x ） 2（x2 2 （ xn x ） x ） 2. 问题（ 2）数据与客观世界之间的联系，可以从不同的角度来分析：天气现象与最高气温、天气现象与最 低气温，天气现象与温差、天气现象与空气质量等 . 【解答】 这五天的日最高气温和日最低气温的平均数分别为： （1） x 高 1 5 （2325232 52 4）24 x 低 1 5 （2122151 51 7） 18. 方差分别为： 2 s 高 1 5 2（2524）2（2 32 4）2（2524）2（24 24）20.8. （ 2324） 2 s 低 1 5 2（2218）2（1 51 8）
29、2（1518）2（17 18）28.8. （ 2118） 2 s 2 高 s 低. 这五天的日最低气温波动较大 . （2）本题答案不唯一，下列解法供参考 .如: 25 日、26 日、27 日、28 日、29 日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是 2、 3、8、10、7，可以看出雨天的日温差较小； 25 日、26 日、27 日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气 质 量 改 善 了 ； 27 日、28 日、29 日天气现象依次是晴、晴、多云，最低气温分别为 15、 1 5、17，说明晴天的 最低气温较低 . 21 （ 8 分）某校计划在暑期
30、第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择 两 天 参 加 活 动. （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？ （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 _. 【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用 【分析】选用适当分析工具（枚举法、列表法、树状图）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此 16 / 32 类问题的常用方法选择不同的分析工具，解答过程会有差异， 繁简程度也有区别 . 【解答】 （1）枚举法：甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有 6 中，即： （星期一，星期二） 、（星期一，星期三） 、（星期一，
31、星期四） 、（星期二、星期三） 、（星期二、星 期四） 、 （星期三、星期四） . 这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件 A）的结果有 3 种， 即（星 期一，星期二）、（星期二、星期三） 、（星期二、星期四） . P（A） 3 1 6 2 . 列表法： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期一 星期一，星期二 星期一，星期三 星期一，星期四 星期二 星期二、星期一 星期二、星期三 星期二、星期四 星期三 星期三、星期一 星期三、星期二 星期三、星期四 星期四 星期四、星期一 星期四、星期二 星期四、星期三 所有可能出现的结果共有 12 中，这些结果出现的可能性相
32、等，所有的结果中，满足有一天是星期二 （记 为事件 A）的结果有 6 种. P（A） 6 1 12 2 . 树状图： 所有可能出现的结果共有 12 中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二 （记 为事件 A）的结果有 6 种. P（A） 6 1 12 2 . 17 / 32 （2）枚举法：乙同学随机选择连续的两天，所有可能出现的结果共有 3 中，即： （星期一，星期二） 、（星期二、星期三） 、（星期三、星期四） . 这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件 A）的结果有 2 种， 即（星 期一，星期二）、（星期二、星期三） . P（A） 2
33、3 . 列表法： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期一 星期一，星期二 星期二 星期二、星期一 星期二、星期三 星期三 星期三、星期二 星期三、星期四 星期四 星期四、星期三 所有可能出现的结果共有 6 中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二 （记 为事件 A）的结果有 4 种. P（A） 4 6 2 3 . 树状图： 所有可能出现的结果共有 6 中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二 （记 为事件 A）的结果有 4 种. P（A） 4 6 2 3 . 22 （ 7 分）如图， O 的弦 AB 、CD 的延长线相交于点 P，且 AB CD 求证
34、：PAPC. 18 / 32 【考点】弦、弧之间的关系，圆周角与弧之间的关系，垂径定理，三角形全等等 【分析】本题条件比较简单，需要结合圆的有关知识进行一般推理：弦等可以得出弧等、圆周角相等，弦可 以联想垂径定理，构造垂径定理的基本图形，可进一步得到全等三角形 .据此分析，由弦等连接 AC， 只要证 AC；若构造垂径定理的基本图形，可用全等来证 【解答】 方法一： 如图，连接 AC. ABCD. AB CD . AB BD CD BD . 即 AD BC . AC. PAPC. 方法二： 如图，连接 AD 、BC. 19 / 32 ABCD. AB CD . AB BD CD BD . 即 A
35、D BC . ADBC. 12. 34. 又 AC. PAD PCB. PAPC. 方法三： 如图，连接 OA、OC、O P，作 O EAB 于 E，OFCD 于 F. OEAB ，OFCD. 1 1 AE2 AB，CF 2 CD. ABCD. AECF. OAOC. RtAOE RtCOF OEOF. 又 OPOP. RtPOE RtPOF. PEPF. PEAEP FCF 即： PAPC. 20 / 32 23 （ 8 分）已知一次函数 y1kx2（k 为常数，k0）和 y2x3. （1）当 k2 时，若 y1y2，求 x 的取值范围 . （2）当 x1 时，y1y2.结合图像，直接写出
36、k 的取值范围 . 【考点】一次函数的图像和性质，三个“一次”的关系，一次函数图像与 k、b 值之间的关系等 . 【分析】问题（ 1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函数图像解答 . 问题（2）关键积累并熟悉函数图像随着 k 值的变化， ykx（k0） 、 ykxb（k0）函数图 像变化 规律，即“操作实践经验” ： 实数范围内，当 k0 时，在 k 值逐渐增大过程中， ykx（k0）位于第一象限的图像与 x 轴正 方向的 夹角逐渐增大，并且向 y 轴无限接近，简单的看成其图像绕原点作逆时针旋转； k0 时，在 k 值逐渐 增大过 程中，ykx（k0）位于第二象限的图像与 x 轴正方向的夹
37、角逐渐增大，并且向 x 轴无限接近，简单 的看成 绕原点作逆时针旋转，如图 1. 图 1 图 2 ykxb（k0）的图像即把 ykx（k0）的图像平移 |b|单位后所得，在 k 值逐渐增大过程中， 其图像 的变化与 ykx（k0）的图像类似：当 k0 时，在 k 值逐渐增大过程中， ykxb（k0）位于 x 轴上方 的图像与 x 轴正方向的夹角逐渐增大， 并且向 y 轴无限接近， 简单的看成其图像绕点 （0，b）作逆时针 旋转； k0 时，在 k 值逐渐增大过程中， ykxb（k0）位于 x 轴上方的图像与 x 轴正方向的夹角逐渐增 大，并 且向过点（ 0，b）且平行于 x 轴的直线无限接近，
38、简单的看成绕点（ 0，b）作逆时针旋转，如图 2. 两个图像不重合的一次函数 y1k1xb1（k10）与 y2k2xb2（k20）且 b1b2 的位置关系： 当 k1 k2 时，y1 与 y2 相交，当 y1y2 时，y1 与 y2 平行，如图 3. 图 3 21 / 32 本题首先求出 x1 时，两函数图像的交点坐标为A（1，2），此点是分析问题 的 关 键点， 同时过 点 （ 1， 0）作垂直于 x 轴的直线l；y1 的 b2，可知 y1过点（0，2） ， 设为点 B，此时y1 即为直线AB，可以求出此 时k4，发现当 x1 时，即在直线l 的左侧y1y2，故 k4 是符合题意的解，如图4
39、； 只要点 A 沿着 y1 的图像向右上方移动，即 y1绕点 B 逆时针旋转，所得到的 k 值均符合题意，如图5、图 6； 随着 k 的增大， A 沿着 y1 的图像向右上方移动，当 k1 时，y1 的图像 y2 的图像， 符合题意，如图7； 当 k1 时， y1 与 y2图像交点在第四象限，如图8，此时图 像 上 存 在 y1y2 的点，即当 xxA时，y1 y2，故不 符合题意 . 1 图4（k4）图5（k1）图6（k4 ）图7（k1） 图8（k3） 注意，已知条件中 k0. 综 上 分 析 ， k 的取值范围为 ： 4 k 1，且 k0. 【解答】 4 k 1，且 k0. 24 （ 8
40、分）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m.计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道 EF.从与点 E 相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 2 7、22，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰角为4 5.求隧道 EF 的长度 . （参考数据： tan22 0.40，tan27 0.51） 22 / 32 【考点】三角函数的应用 【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计算，其二为不能直接计算时 需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等本题可以通过延 长 AB 交 CD 于点 G，则 AGAD 来构造直角
41、三角形，如图 1. 图 1 已知条件中 CE80，DF50，只要求出 CD 长，即可求出 EF 长. 从而构造出三个直角三角形中， 公共边 AG 是连接三个三角形之间的桥梁， 不难发现 DGAG， RtACG、 RtBCG 的公共边 CG 是联系两个直角三角形的桥梁，方程可以由： AGBGAB（33m）建立，只 要选择 一个线段长为未知数（ x），把 AG、BG 分别用 x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择 CG 为未知 数最为 合适 【解答】如图，延长 AB 交 CD 于点 G，则 AGAD，设 CGx 在 RtACG 中，ACG27 AG CG kanACG AGCG tanACGx
42、tan27 在 RtBCG 中，BCG22 23 / 32 BG CG kanBCG BGCG tanACGx tan22 ABAGBG. x tan27x tan2233. 解得： x 300. CG 300. AGx tan27 153 在 RtADG 中， ADG45 AG DG kanADG ADAG153 E FCDCEDF. CGDGCEDF. 3001538050 323. 隧道 EF 的长度约为 323m 25 （ 8 分）某地计划对矩形广场进行扩建改造 .如图，原广场长 50m，宽40m.要求扩充后的矩形广场长与宽的 比为3 2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在
43、原广场和扩建区域都铺设地砖.铺设地砖费 用 每 平 方 米 100 元.如果计划总费用 642 000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】根据题意描述的相等关系，选择 适 当 的 设未知数的方法进行解答即可 . 本题描述的数量关系有：扩充后：矩形广场长 宽的比 3 2； 扩建费用铺地砖的费用 642 000 【解答】设扩 充 后 广 场的长为3xm，宽为 2xm. 根据题意，得： 30（3x 2x504 0） 3x 2x 100642 000. 解得： x130，x230（不合题意，舍去） . 3x90，2x60. 答：扩充后广场的长和宽应分别为 9
44、0m 和 60m. 24 / 32 26 （ 9 分）如图，在 RtABC 中， C9 0，AC3，BC4 .求作菱形 DEFG，使点 D 在边AC 上，点 E、F 在边AB 上，点 G 在边BC 上. （1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形 . （2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化 请你继续 探 索 ， 直接写出菱 形的个数及对应的 CD 的长的取值范围. 【考点】菱形的判定，直线与圆的位置关系，相似三角形，实践与操作经验 等 【分析】问题（ 1）由已知可得 DGEF，DGDEEF，易证四边形 DEFG 是菱形； 问题（ 2）随着点 D 的位置变化， DG 的长度也在变化，作法的第 2 步，弧与直线AB 和线段 AB 交点的 个数也发生变化，弧与直线AB 和线段 AB 交点的个数由弧的半径（ DE 长）与点 D 到直线AB 的距离（表示 为DM ）大小关系来决定，不妨看作点 D 从点 C 开始沿 CA 方向移动，随着 CD 的增大， DE 长度逐渐增大， D 到直线AB 的距离（ DM 长）逐渐减小： 当 DM DG 时，弧与 AB 没有交点，不能作出菱形，如图1； 当 DM DG 时，弧与 AB 相切，只有 1 个公共点 M，即点 E，可作出 1 个菱形 DEFG，如图2； 当 DM DG 时，分
