1、微元法处理关联速度类问题 因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联 速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得 难以想象。 其实，所有这类问题，全部可以用微元法用几何图示的方法直观的展现和计算，这对绝大部 分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。 【例 1】如图 1 所示，当小车 A 以恒定的速度 v 向左运动时，对于 B 物体， 下列说法正确的是( ) A匀加速上升 BB 物体受到的拉力大于 B 物体受到的重力 C匀速上升 DB 物体受到的拉力等于 B 物体受到的重力 解析本题是很
2、常规的绳连接问题，将 A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿 绳方向分速度相等即可轻松解决。下面以微元法来解本题。 设 A 车在极短时间 t 内向左运动一小段距离 xA， 则 B 的位移与 A 的位移关系如图所示，由几何关系，有： x x cos B A 两边除以 t ，得 v v cos B A 在此基础上，易得 B 答案正确。 xB xA xB 【例 2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的 O 点，另一端穿过一 张 CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好 挨着水平桌面的边沿现将 CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度 v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终
3、紧挨桌面边线，当悬线与竖 直方向的夹角为 时，小球上升的速度大小为（ ） Avsin Bvcos Cvtan Dvcot 解析本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难 的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 设光盘在极短时间 t 内向右运动一小段位移 x，由几何关系易知，小球水平位移也为 x，竖直位移为 y xsin 两边除以时间 t ，得小球上升的速度（竖直速度）为 v vsin y 小球的位移为 y x x x2 y2 x 1 sin2 x y 两边除以 t ，得小球的速度为 v v 1 sin 2 【例 3】如图 3 所示，顶角 60、光滑
4、 V 字形轨道 AOB 固定在竖直平 面内，且 AO 竖直一水平杆与轨道交于 M、N 两点，已知杆自由下落且始终 保持水平，经时间 t 速度由 6 m/s 增大到 14 m/s(杆未触地)，则在 0.5t 时，触 点 N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取 10 m/s2)( ) A10 m/s B17 m/s C20 m/s D28 m/s 解析本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难 的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 杆做自由落体运动，0.5t 时刻，其竖直下落的速度为 v v v 0 10m/s t 2 设杆在极短时间 t 内竖直下落
5、位移为 x，则由几何关系，有触 点 N 沿倾斜轨道运动的位移为 N x N x x x / cos N 两边除以 t ，得 v v / cos 20m/s N 【例 4】如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板 ABC，C=30三角板上 A 处 固定一大小不计的滑轮，现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑 板上与 A 等高的 Q 点，另一端系一粉笔头（可视为质点）粉笔头最初与 C 重合，且细线绷紧。现用一 水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠 黑板的同时，紧靠三角板的 AC 边，当三角板向左移 动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹，关
6、于 此印迹，以下说法正确的是：（） A若匀速推动三角板，印迹为一条直线 B若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线 C若变加速推动三角板，印迹为一条曲线 D无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印 迹与 AC 边成 75 角 解析教学实践表明，用相对运动固然简洁明快，但是 x 很多学生无法理解老师究竟在讲什么，而如果采用微元法讲 解本题，学生普遍觉得好理解。 如右图所示，设三角板在极短时间 t 内向左运动位移为 x，则粉笔头沿斜面上升的距离也为 x，粉笔头对地的位移为 x ，则由几何关系易知，无论如何向左推动三角板，印迹 均为直线，且印迹与 AC 边成 75 角。 x x x 【例 5】在一大型超市小
7、偷被保安发现，小偷一以不变速度 v 1 沿着直线 AB 逃跑，保安以不变的速率 v 2 追击，其运动方向始终对准小偷某时刻小偷在 F 处，保安在 D 处，FDAB（如图），试求此时保安的加速度的大小(弧可以 看成圆周运动的一部分) 解析要解决这个问题，高中阶段几乎只能用微元法。 经过一段极短的时间 t ，保安和小偷各运动一段路程后，两者的位置如图 所示，则有 x v t ， 1 1 x v t 2 2 x x 且 1 2 L v 联立，得保安轨迹半径为： 2 L x2 x1 v2 v 1 则此时保安的加速度的大小为： a v v v 2 2 1 2 L 【例 6】如图所示，将质量为 2m 的重
8、物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的小环，小 环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为 d. 现将小环从与定滑轮等高的 A 处由静止释 放，B 处在 A 处正下方距离为 d 处，则下列说法正确的是 A小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2 C小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于 2mg D小环从 A 处开始能够下降的最大高度为 4 3 d 解析本题 B、 D 选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析 A、 C 选项。 按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然
9、后对时间求导。但是，若用微元法，则更简单直接。 （1）A 选项： 设小环经过一段极短的时间 t 下落一小段距离 y，小环的速度增加为 v1，此时重物上升的速度为 v2， 则有： 1 y gt d tan ， 2 2 v 2 v 1 sin gt sin v2 y d 1 2 gt g t 2 2 3 而sin tan ，则有： v gt 2 d 2d 则重物上升的加速度为： a v g t 2 2 2 t 2d v1 y l d 当取 t0 时，易知 a=0. 则绳中张力等于 2mg. （2）C 选项： v 2 v2 v2 v 当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间 t ， v
10、小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重 物速度 v 2 的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力 v2 v 1 v 大于 2mg. 更细致的分析如下： v1 v1 将 v 1 垂直于绳方向分速度 v的变化量v分解为v1、vn1， v 1 沿绳方向分速度 v n 的变化量v n 分解为v2、 vn2，由于小环的加速度为 0，必有： vvn 则有： v1v2，vn1vn2 其中，v n1 产生的加速度大小为： d a n1 v v v v v (v cos) v cos 2 2 2 3 n1 1 1 t t l l d / cos d y l 方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。 v n2 产生的加速度大小为： v v v cos 2 3 a a n2 n1 1 v2 v 2 v1 v1 v v2 vn vn2 v2 v 2 v1 v vn1 v v v1 n2 n1 t t d 其中负号表示该加速度沿绳向左下方。 故此时重物上升的加速度为： v cos 2 3 a | a | ，可知绳中张力大于 2mg. 1 n2 d
