1、随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差习题课习题课 中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学一、基础训练题1下列随机变量中，不是离散型随机变量的下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（是（）（A）从）从 10只编号的球（只编号的球（0号到号到 9号）中任号）中任取一只，被取出的球的号码取一只，被取出的球的号码 （B）抛掷两个骰子，所得的最大点数）抛掷两个骰子，所得的最大点数 （C）0，10)区间内任一实数与它四舍五入区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值取整后的整数的差值 （D）一电信局在未来三日内接到的电话呼）一电信局在未来三日内接到的电话呼叫次数叫次数C 2某批数量较大的产品的次品
2、率为某批数量较大的产品的次品率为10%，从中任意地连续取出从中任意地连续取出4件，则其中恰含有件，则其中恰含有3件次品的概率是（件次品的概率是（）（A）0.0001 （B）0.0036 （C）0.0486 （D）0.2916B334()(0.1)(0.9)0.0036P AC 3一个袋子中装有大小相同的一个袋子中装有大小相同的3个红球和个红球和2个黄球，从中同时取出个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个，则其中含红球个数的数学期望是个数的数学期望是 .1.2E=0 +1 +2 =1.2 023225C CC113225C CC203225C CC 4在一次试验中，事件在一次试验中，事件A发生
3、的概率为发生的概率为p，现进行现进行N次独立试验，则次独立试验，则A至少发生一次的至少发生一次的概率为概率为 ；而而A至多发至多发生一次的概率为生一次的概率为 .1(1p)N(1p)N+Np(1p)N1二、例题二、例题 1掷一枚硬币，出现正面的概率为掷一枚硬币，出现正面的概率为p(0p1)，设，设为直到正、反面都出现为止的为直到正、反面都出现为止的投掷次数，求投掷次数，求的分布列的分布列 解解:P(=k)=P(前前k1次均为反面，第次均为反面，第k次为正次为正面；或前面；或前k1次均为正面，第次均为正面，第k次为反面次为反面)=(1p)k1p+pk1(1p)，k=2，3，4，.2袋中有袋中有2
4、个白球，个白球，3个黑球，从中任意摸一个黑球，从中任意摸一球，猜它是白球还是黑球，猜对得球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，猜分，猜错不得分从期望得分最大的角度，你应猜错不得分从期望得分最大的角度，你应猜什么颜色有利？什么颜色有利？解：设解：设为得分数，若猜白球，其概率分布为得分数，若猜白球，其概率分布为：为：得分期望为得分期望为E=0 1 =；535252 若猜黑球，其概率分布为：若猜黑球，其概率分布为：得分期望为得分期望为E=1 0 =；525353 所以从期望得分最大的角度应猜黑球所以从期望得分最大的角度应猜黑球 3某厂每天生产大批产品，其次品率为某厂每天生产大批产品，其次品率为0.l，
5、检验员每天检验检验员每天检验4次，每次随机地取次，每次随机地取10件产品件产品检验，如发现其中的次品数多于检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整，就去调整设备以设备以表示一天中调整设备的次数，试求表示一天中调整设备的次数，试求的分布列及的分布列及E 解：解：B(4，p)，p是在一次检验中检验结果是在一次检验中检验结果为需调整设备的概率，即为需调整设备的概率，即10件产品中次品数多件产品中次品数多于于 1件的概率，件的概率，故故 p=10.910100.10.99=0.2639于是，于是，P(=k)=，k=0，1，2，3，4；440.26390.7361kkkCE=4p=1.0556p=0.2
6、639三、练习题三、练习题1设设是一个离散型随机变量，则下列命题是一个离散型随机变量，则下列命题中假命题是（中假命题是（）（A）取每一个可能值的概率是非负数取每一个可能值的概率是非负数 （B）取所有可能值的概率之和为取所有可能值的概率之和为1 （C）取某两个值的概率等于分别取其中每个值取某两个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和的概率之和 （D）在某一范围内取值的概率小于它取在某一范围内取值的概率小于它取这个范围内各个值的概率之和这个范围内各个值的概率之和D 2某服务部门有某服务部门有N个服务对象，每个服务个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象是否需要服务是独立的，若每
7、个服务对象一天中需要服务的可能性是对象一天中需要服务的可能性是p，则该部，则该部门一天平均需服务的对象个数是（门一天平均需服务的对象个数是（）（A）Np(1p)（B）Np （C）N （D）p(1p)B提示：一天需服务的对象个数服从二项分提示：一天需服务的对象个数服从二项分布，其期望是布，其期望是Np，故选（，故选（B）3抛掷两颗均匀骰子，所得点数之和抛掷两颗均匀骰子，所得点数之和是一是一个随机变量，则个随机变量，则P(4)16提示：提示：P(4)=P(=2)P(=3)+P(=4)=12313636366 4同时抛掷两枚均匀硬币同时抛掷两枚均匀硬币100次，设两次，设两枚硬币同时出现正面的次数为
8、枚硬币同时出现正面的次数为，则则E=；D=.2518.75提示：提示：B(100，p)，p是在一次抛掷中两是在一次抛掷中两枚硬币同时出现正面的概率，枚硬币同时出现正面的概率，p=0.25E=np=25,D=npq=18.755己知己知的分布列为的分布列为 则则E=.2912 提示：由提示：由M+M=1 得得M=，131614141413162912故故E=1 +2 +3 +4 =6已知有已知有6只电器元件，其中有只电器元件，其中有2只次品只次品和和4只正品每次随机抽取一只测试，不放只正品每次随机抽取一只测试，不放回，直到回，直到2只次品都找到为止设需要测试只次品都找到为止设需要测试的次数为的次
9、数为，求，求的分布列的分布列 解：解：P(=2)=P(前前2次均取到次品次均取到次品)=；2 116 515 P(=3)=P(前前2次次1只正品只正品1只次品，第只次品，第3次取到次取到次品次品)=11422612415C CCP(=4)=P(前前3次次2只正品只正品1只次品，第只次品，第4次取到次取到次品，或前次品，或前4次均为正品次均为正品)=21423466114315C CCCP(=5)=P(前前4次次3只正品只正品1只次品，第只次品，第5次取到次取到次品或正品次品或正品)=314246815C CC 7一台设备由三大部件组成，在设备运转一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要
10、调整的概率相应为中，各部件需要调整的概率相应为0.10、0.20和和0.30假设各部件的状态相互独立，假设各部件的状态相互独立，以以表示同时需要调整的部件数，试求表示同时需要调整的部件数，试求的的数学期望数学期望E和方差和方差D.解：设解：设Ai=部件部件i需要调整需要调整（i=1，2，3），），则则 P(A1)=0.l，P(A2)=0.2，P(A3)=0.3 由题意，由题意，有四个可能值有四个可能值0，1，2，3；由于；由于A1，A2，A3相互独立，可得相互独立，可得 P(=0)=P()=0.90.80.7=0.504；123A A AP(=1)=P()+P()+P()=0.398；123A
11、 A A123A A A123A A A P(=2)=P()+P()+P()=0.092；123A A A123A A A123A A A P(=3)=P()=0.006；123A A A E=10.398+2.092+30.006=0.6，D=E2(E)2 =10.39840.09290.0060.62 =0.820.36=0.46 8一个口袋中放有若干个球，每个球上标一个口袋中放有若干个球，每个球上标有有1n中间的一个整数，设标有数中间的一个整数，设标有数 k 的球的球有有k个，现从中任取一球，个，现从中任取一球，为取的球上所为取的球上所标数字，求标数字，求的分布列、的分布列、E及及D解：共有解：共有12n=个球，取到个球，取到 k 号球的概率为号球的概率为(1)2n nP(=k)=，k=1，2，n，此即为，此即为的分布列。的分布列。2(1)kn nE=211222(1)(21)21(1)(1)(1)63nniikn nnnkkn nn nn nE2=23211222(1)(1)(1)(1)(1)22nniikn nn nkkn nn nn nD=E2(E)2=2218nn
