1、振动分析基础振动分析基础主讲：毕世华 教授北京理工大学宇航学院第一章第一章 绪论绪论1.1 概述概述振动振动(vibration,oscillation)：物体（包括微观粒子）经过它的平衡位置所做的往复物体（包括微观粒子）经过它的平衡位置所做的往复运动（机械振动）或系统的物理量在其平均值（或平衡值）附近的来回变动。运动（机械振动）或系统的物理量在其平均值（或平衡值）附近的来回变动。振动是自然界最普遍的现象之一。大至宇宙，小到亚原子粒子，无不存在振动。声、光、热、电磁等物理现象都包含振动。本课程限于讲授机械振动基础知识。举例如下：举例如下：有害的振动有害的振动：影响精密仪器的功能、降低加工精度、
2、加剧构件的疲劳磨损；振动可能引起结构的大变形破坏；飞机机翼的颤振；交通工具的振动会影响舒适性；噪声公害和污染会恶化环境等。有益的振动有益的振动：振动是通信、广播、电视、雷达的工作基础；利用振动的生产装备和工艺（振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩、振动消除内应力等）；心脏的跳动、耳膜和声带的振动；声光热都包含振动。对有害振动的控制方法简述：对有害振动的控制方法简述：振动控制即振动抑制，设法把振动的危害降低到最小限度或减小到容许的程度。振动控制方法主要分为以下三类：振动被动控制振动被动控制：包括阻尼消振、隔振与动力吸振技术等。应用非常普遍，例如飞机机翼的颤振、交通工具的减振等。原始的车辆没有任
3、何减振环节，现代汽车有轮胎、悬架和座椅三级减振，舒适性非常好。振动半主动控制振动半主动控制：实际上是被动控制的一种拓展。系统能够根据环境激励的变化情况，调整刚度、阻尼等参数以取得更好的减振效果。有些文献将此方法纳入被动控制。振动振动主动控制主动控制：包括控制对象、传感器、执行机构、控制器及能源五部分。传感器得到反馈信号，经过调制放大后，传到控制器，控制器形成所需的控制律，并发送指令到执行机构，由执行机构对结构施加控制力。由此构成了一个闭环控制系统。尽管从理论上讲主动控制能几乎完全抑制振动，但由于系统的复杂性、高成本和难实现等因素，真正实用的振动主动控制系统还很少。1.2 振动系统分类振动系统分
4、类机械振动机械振动是指机械系统中的振动，一般不包括微观例子的振动。按照参数的分布特征振动系统可分为离散系统离散系统和连续系统连续系统。按自由度数可分为有限多自由度系统有限多自由度系统（与离散系统对应）和无限多自由度系无限多自由度系统统（与连续系统对应）。离散系统由集中参数元件构成，分为三种：质量质量、弹簧弹簧和阻尼器阻尼器。质量（包括转动惯量）：质量（包括转动惯量）：只有惯性的力学模型，对质量的作用力和加速度的一次方成正比，比例系数即质量。弹簧：弹簧：不计本身质量，只具有弹性的模型。弹簧力和形变一次方成正比的弹簧，称为线性弹簧线性弹簧。本文只限于研究线性弹簧。阻尼器：阻尼器：运动时产生阻尼力，
5、不具有弹性和惯性。阻尼力与速度一次方成正比的阻尼器，称为线性阻尼器线性阻尼器。本文只限于研究线性阻尼器。定则系统：定则系统：参量的变化规律可用时间的确定函数描述的振动系统，称为定定则系统则系统（又称确定性系统确定性系统）。其中参量（惯性、刚度、阻尼）是常数的为常参量系统（定常系统）常参量系统（定常系统）；反之，为变参量系统（非定常系统）。变参量系统（非定常系统）。随机系统：随机系统：系统参量变化无常，无法用时间的确定性函数描述。线性系统线性系统：质量不随运动参量（位移、速度、加速度）的变化而变化，弹性力和阻尼力均为线性模型。非线性系统非线性系统：不能简化为线性系统的振系。思考题：线性系统和非线
6、性系统的运动微分方程有什么区别？现在回答不了，以后会逐渐清楚的。分方程描述）非线性系统（非线性微程描述）线性系统（线性微分方述）度系统，偏微分方程描连续系统（无限多自由多自由度系统单自由度系统述）度系统，常微分方程描离散系统（有限多自由随机系统统）变参量系统（非定常系）常参量系统（定常系统）定则系统（确定性系统振动系统图图1.3 振动系统的分类振动系统的分类1.3 振动形式分类振动形式分类激励（输入）、系统和响应（输出）的关系如图1.4所示。激励分为定则激励定则激励和随机激励随机激励。定则激励：定则激励：可用确定的时间函数描述的激励。如脉冲激励、阶跃激励、简谐激励、周期激励等。随机激励：随机激
7、励：不能用确定的时间函数描述，可用随机函数描述的激励。定则振动：定则振动：定则系统在定则激励作用下的响应。随机振动随机振动：系统和激励之一为随机的，则响应为随机振动。input输入sysytem系统output输出excitation激励response响应 图图1.4 激励、响应和系统的关系激励、响应和系统的关系振动按激励的控制方式分为四类：自由振动、强迫振动、自激振动自由振动、强迫振动、自激振动和参参激振动激振动。自由振动：自由振动：系统不受外界激励仅在初始条件非零情况下产生的振动。强迫振动：强迫振动：指系统在外界激励的作用下发生的振动，这种激励不会因振动受到抑制而消失。自激振动：自激振动
8、：系统在受到系统振动本身控制的激励作用下发生的振动。一旦振动被抑制，激励也随之消失。参激振动：参激振动：激励方式是通过周期地或随机地改变系统的特性参量来实现的振动。参激振动自激振动强迫振动自由振动（按激励控制方式分）随机振动定则振动）（按激励和系统性质分振动形式1.4 研究方法研究方法对于定则系统和随机系统的振动问题，一般是已知激励、响应和系统中的二者求第三者。振动分析振动分析：在激励和系统已知的情况下求系统的响应。振动环境预测振动环境预测：在系统和响应已知的情况下推算系统的激励。系统识别系统识别：在激励和响应已知情况下，确定系统特性。振动综合（或振动设计）振动综合（或振动设计）：在一定的激励
9、条件下，设计系统，使系统的响应满足指定要求。一般是将振动综合振动综合问题转化为若干振动分析振动分析问题处理，如图1.5所示。1.5 主要先修课程主要先修课程：理论力学、材料力学、高等数学、微分方程理论、线性代数、矩阵分析等。根据约束条件设计根据约束条件设计初拟系统初拟系统建立系统模型进建立系统模型进行振动分析行振动分析满足条件？满足条件？系统设计完成系统设计完成采用灵敏度分析采用灵敏度分析等手段修改系统等手段修改系统YESNO图图1.5 振动综合问题的解决方案振动综合问题的解决方案补充内容：离散系统元件的特性补充内容：离散系统元件的特性在国际单位制中k的单位为牛/米；c的单位为牛秒/米。线性弹
10、簧和线性阻尼器线性弹簧和线性阻尼器kcsFdF1x2x1x 2x sFdF线性弹簧和线性阻尼器的特性线性弹簧和线性阻尼器的特性rangelinear rangelinear kslope cslope 00sF12xx dF12xx 弹簧的串并联弹簧的串并联sF1x2x1k2k0 xsFsFsF1x2x1k2kniieqniieqniieqiieqeqsssniieqiieqsseqssscccckknkkkkxxkxxkxxkFFFparallelinconnectedspringskknkkkkkFkFxxxxxxkFxxkFxxkFseriesinconnectedsprings1112
11、12112122121211212121100212022101 11 )()()()(111111)()()(和类似：阻尼器的串并联与弹簧个弹簧并联情况：一般对于个弹簧串联情况：一般对于因此：并联弹簧并联弹簧：串联弹簧串联弹簧第二章第二章 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动2.2 谐振子与谐振动谐振子与谐振动无阻尼的单自由度线性系统可用图2.2.1所示的质量弹簧模型来描述。自由振动自由振动(free vibration)：系统受到初始扰动后，仅靠弹性恢复力来维持的振动。如图所示系统，弹簧未变形时长l，略去弹簧本身质量，取静平衡位置为坐标原点。不论在哪个位置上质量块所受到的弹
12、簧力总是力图使其返回平衡位置，称为恢复力（restoring force)。假设弹簧力大小与变形成正比，此即线性弹簧。比例常数k称为弹簧刚度或弹簧常数(spring stiffness or spring constant)，在国际单位制中单位是N/m。如果系统的初始条件不为零，即初始位移和初始速度不全为零。由于弹性恢复力和系统惯性的原因，系统会发生振动。取质量m为分离体，运用牛顿定律可得：图图2.2.1 无阻尼单自由度线性系统无阻尼单自由度线性系统kmoxxl(2.2.6)(2.2.5)arctan (2.2.4)sin(2.2.3)sin ,cos(2.2.3)cossin ,0sinco
13、s (2.2.2)cossin (2.2.1)0 ,0020200000000022mkpxpxpxxAptAxAxApxptxptpxxBpxDxxxxxtptDpptBpxptDptBxxpxmkpkxxm且有：可改写为：则式在上式中令：由此得：则：假设初始条件为：及解可表示为：齐次常微分方程，其通此式为二阶常系数线性，上式可写成：引入记号 简谐函数简谐函数：正弦函数和余弦函数统称为简谐函数。简谐振动（谐振动）简谐振动（谐振动）：可以用简谐函数描述得振动。单自由度线性系统的无阻尼自由振动是简谐振动。谐振子谐振子：无阻尼的单自由度线性系统。A振幅振幅（amplitude），表示质量块偏离平衡
14、位置的最大距离；初相角初相角（phase angle）；p角频率角频率(固有频率固有频率)（frequency）；单位：rad/s由式(2.2.5)可见，振幅和初相角依赖于初始条件。而角频率与初始条件无关，仅取决于系统的刚度与质量，因此称p为系统的固有（角）频率。T周期周期（period）：谐振动重复一次所需的时间，又称固有周期。f频率：频率：周期的倒数，又称固有频率，即单位时间（1s）内振动的重复次数，单位Hz，赫兹，简称赫。结论：振系质量越大，刚度越小，系统固有频率越低，周期越长；反之，则固有频率越高，周期越短。sinApt)(tx0fpmkpTfkmpTpT2 (2.2.8)2121 (
15、2.2.7)22,2可得由图图2.2.2 简谐振动简谐振动下面讨论有常力作用的情况下面讨论有常力作用的情况：(2.2.10)0)()(2.2.9)3.2.22gmkpmkgxpxkxxmmgkxkmgxmkxxmxkFxmkF；，由：对于铅垂悬挂的谐振子或：由牛顿定律：簧的静变形为，在静平衡条件下，弹如图 结论结论：只要取质量块的静平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力和弹簧的静变形影响。与不受常力的情况相比，微分方程形式完全一样，只是坐标原点有所变动而已。图图2.2.3 受常力作用的情形受常力作用的情形kmoxFmgkxml2.3 能量法能量法无阻尼单自由度线性系统机械能应该守恒。由此可以计
16、算系统的固有频率。mkpkAEptkAkxEpmAEptpmAxmEptAxEEEdtdEtconsEEEppkkpkpk22max22222max2222maxmax (2.3.2)21 ),(sin212121 ),(cos2121 (2.3.3)sin(2.3.2)(2.3.1a)0(2.3.1)tan式，考虑时：谐振子作水平自由振动假设系统的振动为：理解：势能为零基准值，不难取系统静平衡位置处的或写成：可以得到相同的结果。势能的最大值仍为：系统总的势能为：考虑：能和弹性势能分别为：零，任意位置处重力势静平衡位置处的势能为为：系统的动能最大值仍然的情况：再来考虑铅垂自由振动2max222
17、21222122max212121)(21,21)(2121 kAEkxmgxkxkEEEmgkkxkEmgxEpmAEppppppk2.4 弹性元件的等效质量弹性元件的等效质量当弹性元件（弹簧、梁、轴等）的质量远小于振动物体的质量时，略去弹性元件的质量是合理的，也是足够准确的。弹性元件质量不能忽略的情况下，一种近似的处理方法是将弹性元件的质量折算到物体上去，弹性元件仍作无质量处理。能量法可以有效地计算弹性元件的等效质量，关键在于计算系统的动能时要考虑弹性元件的动能。通常取弹性元件的静变形模式作为假设振动模式。如图2.4.1所示扭振系统，研究弹性轴的等效转动惯量问题。图图2.4.1 扭摆示意图
18、扭摆示意图ld。就是轴的等效转动惯量，由此可得：，振动：假设刚性圆盘作自由谐，而系统的势能仍为：，系统的总动能为：，整个轴的动能为：微轴段的动能为：于是，截面角速度为：处轴的截面转角为：则离固定端刚性圆盘的角位移为作为假设振动模式，令以轴的静扭转变形模式。刚性圆盘的转动惯量轴的总转动惯量；轴单位长度的转动惯量轴的长度；轴的扭转刚度；3 321321)sin(2132132132121211122max221max221212022221JJJkpkAEpAJJEptAkEJJEJldldldllJlJlkpkpkl2.5 线性阻尼系统的自由振动线性阻尼系统的自由振动严格讲，无阻尼自由振动是不存
19、在的。阻力的来源多种多样，如滑动面之间的摩擦力，周围介质（空气、水）的阻力，材料内部的损耗等。变化规律复杂多样，有的阻力接近常数，有的与速度成正比，有的与速度平方成正比。我们只考虑线性阻尼情况，如图2.5.1所示。kcmx图图2.5.1 单自由度线性阻尼系统单自由度线性阻尼系统方程通解的情况。以下分不同情况讨论原它的两个根为：（系统的特征方程），则的解设为：方程；子无量纲阻尼率或阻尼因；系统的无阻尼固有频率又可改写为：方程引入记号：，或写成：动微分方程为：置为坐标原点，系统运仍以质量块的静平衡位相反。方向与质量的速度方向粘性阻尼系数，阻尼力(2.5.1)102 (2.5.4)(2.5.3)(2
20、.5.3)02(2.5.1)(2.5.2)22 ,2 ,(2.5.1)0221222pssppssAexfactordampingpxpxpxmkcmpcpmcmkpxmkxmcxkxxcxmcst ReIm0ppppp211s1s2s2s0101121,0,ss随着图图2.5.2 特征根随阻尼率的变化特征根随阻尼率的变化1 临界阻尼情形临界阻尼情形（1，critical damping case）ccptptccmkmpcetxpxxxxxxxteBtAxpss)9.5.2(223.5.2)8.5.2()()7.5.2(,0)6.5.2()()3.5.2(0000021界阻尼系数之比：阻尼率
21、为阻尼系数与临：此时的阻尼系数称为）。具有振动特征（图这时系统的自由运动不方程解为：设系统的初始条件为：的通解可表示为：，方程相等，即：这时系统的两个特征值临界阻尼系数)0(xt)(tx0 0)0(x 0)0(x 0)0(x 图图2.5.3 临界阻尼情形临界阻尼情形2 超临界阻尼情形（超临界阻尼情形（1，over damped case)11.5.2(11211121,0)10.5.2()3.5.2(11202002020000222121pxxxBpxxxAxxxxtBeAexpspststs可解得：对应初始条件的通解可表示为：方程；为不等的负实数，即：此时系统的两个特征根)(txt0ptA
22、1exp2ptB1exp2AB图图2.5.4 超临界阻尼情形超临界阻尼情形3 亚临界阻尼情形（亚临界阻尼情形（01，under damped case)14.5.2()sin(cos)(,sin)13.5.2(sin)(cos)(sincossincosconjugatescomplex are,),()3.5.2(1,1 ,21212121212121221qtAexAAAjAAAAAqtAAjqtAAexqtjqteqtjqteAAeAeAexjpqjqpsjqpsptptjqtjqtjqtjqtpt最后通解可以写成：共轭，故可令：和因为上式通解又可表示为：和利用欧拉公式：的通解为：因而方
23、程；为一对共轭复数，即：此时系统的两个特征根)18.5.2(sin0)17.5.2(arctan)16.5.2(sincos)13.5.2(cossin,0)15.5.2(sincos)14.5.2()sin()4.2.2(0)14.5.2(000002002000000000qteqxxxpxxqxqpxxxAqtqpxxqtxexqpxxAxAxxxxtqtpqtqAexptAxptptpt，则有：如果可得：由，可得：对应初始条件：求导可得：对，即的谐振动式时，退化为无阻尼情况式在sinA)(txt0AAptAeptAe图图2.5.5 亚临界阻尼情形亚临界阻尼情形2.6 对数衰减率对数衰减
24、率我们已经求得单自由度线性系统在亚临界阻尼情形下的振动为衰减振动，即：2412)()(ln )()()sin()(),sin()(),(,11122)sin()1.6.2(1 )sin(2222121221112212221；当阻尼甚小时：可解得：定义对数衰减率：响应分别为：的任意两点对于曲线上相距为计。周期的影响可以忽略不时，阻尼对固有频率和运动失去周期性。当时，长。当，阻尼使系统的周期变可见与无阻尼系统相比：因此衰减振动的周期为频率。看作上述衰减振动的角的角频率习惯上将函数：TptxtxetxtxqtAetxqtAetxttttTTpqTqqtpqqtAexTpptptpt11212111
25、21n1n4332322124231AAln2AAln2AAln2AAln2AA2lnAA2lnAA2ln lnlnln5.2.2KNKNKKNNKNKNnnnnAANAANNNAAAAAAAAAAAAA：，提高精度得公式如下当相邻波峰相差很小时定问题：以下方法回避了中线确，有：）幅值比求，由相邻正峰（或负峰参见图tydT1A2A3A4A5A6A7A图图2.5.5A 亚临界阻尼情形亚临界阻尼情形振动的例子：单摆振动的例子：单摆(simple pendulum)轻质不可伸缩的弦，小球的体积忽略不计。单摆的振动单摆的振动Olmgcosmgsinmg。上式为钟摆设计的依据单摆振动的周期为：方程可以线
26、性化：，此时存在：考虑微幅振动情况分方程为：不难推导单摆的运动微glpTlgplgmglml220sin)5(sin2 第三章第三章 单自由度线性系统的定常强迫振动单自由度线性系统的定常强迫振动3.1 引言引言自由振动可以看做是系统对初始扰动的响应。初始扰动是外界对系统极短暂的作用，自由振动开始于扰动终了时刻。系统在经常性激励的作用下的振动称为强迫振动强迫振动。线性系统的一个最重要的特点是叠加原理适用于它。叠加原理叠加原理：系统对于多个激励的总响应，等于系统对各个激励单独作用下的响应之和。是常数。和，其中的总响应就等于，则系统对激励和的响应分别是和设系统对激励21221122112121ccx
27、cxcfcfcxxff3.2 无阻尼系统对简谐激励的响应无阻尼系统对简谐激励的响应)5.2.3(cos(3.2.4)sin(cossin)3.2.3()2.2.3(cos)1.2.3(coscos1.2.322121202002000tXxxptAptDptBxxxxxtpXxpxkFXmkptFkxxmFtFFm设具有如下形式：是方程的一个特解，假，具有如下形式：为对应齐次方程的通解其中可表示为：性常微分方程，其通解为非齐次二阶常系数线，则上式可改写为：，引入记号：标原点，则：量块的静平衡位置为坐仍然取无扰力作用时质扰力频率。；扰力的幅值，设为常数谐扰力：上作用有水平方向的简所示，假设在质量
28、如图 图图3.2.1 简谐激励作用下的谐振子简谐激励作用下的谐振子kmoxF)11.2.3(cos1cos1cossin)9.2.3()2.2.3()10.2.3(1)9.2.3(0)8.2.3(sin1sincos)7.2.3(cos1cossin)2.2.3()6.2.3(1 )2.2.3()5.2.3(20200002000020202022202022tXptXptxptpxxpxBXxDxxxxttXptDpptBpxtXptDptBxpXppXXpXXpX的解为：对应于初始条件于是方程由此可以计算出：，设系统的初始条件为：求导可得：的通解如下：方程，为频率比。由此可得，或可得：代入
29、方程。将式下面我们来确定在式(3.2.11)中：第一项和第二项分别对应于初速度和初位移引起的自由振动；第三项对应于扰力引起的自由振动；第四项对应于系统的定常强迫振动，它是与扰力形式相同的简谐函数。值得注意的是，扰力不仅激起强迫振动，同时也激起自由振动。即使对于零初始条件，也是如此。以下具体说明此问题。无限大。的时间，振幅才能达到增长，需要经过无限长线性非定常的，振幅随时间时，系统的强迫振动是可见当时：因此，当注意到：可表示为：，利用公式：此时，的情况。无限趋近系统固有频率现在来研究当扰频动。式中的第二项即自由振）（的解仍取如下形式：方程，pttXtpttptpXxppppppptptXxppp
30、ttXxxxt)14.2.3(sin21 2sinsinlim0)(2)(11)13.2.3(2sinsin12)12.2.3(2sin2sincoscos02 )12.2.3(coscos1)2.2.3(00002002222222020 x0t图图3.2.2 共振的建立过程共振的建立过程的区域。接近：象称为共振。达到非常大的值，此现时，强迫振动振幅可能接近：当如下：定义作用下系统的位移。即在静力可理解为零频率位移，可写成：时，当：区以外的定常强迫振动。下面研究系统在共振，即有：间值，需经过足够长的时可以很大，但要达此幅甚小时，幅值）。当调制的振动（常称为拍受正弦函数迫振动是振幅的邻域内时，
31、系统的强在还可以看出，当从式ppXXFXtXxxtXxttXtXp共振区共振区共振共振2000202220211202011)cos(11)15.2.3(cos11212sin12)13.2.3(放大率放大率011kcmx图图2.3.1 简谐激励作用下的单自由度线性阻尼系统简谐激励作用下的单自由度线性阻尼系统3.3 线性阻尼系统对简谐激励的响应线性阻尼系统对简谐激励的响应实际的振系总是有阻尼的。本节仅讨论亚临界阻尼情形（01)Fsinsincoscoscoscos(3.3.4)cossin2cos(3.3.1)(3.3.3)cos1(3.3.2)cossin (3.3.1)(3.3.1)cos
32、222)1.3.3(cos20222221212020020tttttpXtXptXptXxxpqqtDqtBexxxxtpXxpxpxcckmcpmckFXmkpatFkxxcxmptc因：可得：代入可以表示为：，特解有：在亚临界阻尼情形下，一个特解构成：的的齐次方程的通解和上述方程的通解由对应：则上述方程可以改写为，引入记号：(3.3.7)coscossin(3.3.1)(3.3.6b)12tan21(3.3.6a)2tan2(3.3.5)sin2 cossincos222202222222002022tXqtDqtBexXXpppppXXpXXpXXpttpt的通解可表示为：于是方程写为
33、：引入频率比，上式可改由此可得：方程：的系数，我们可以得到和通过比较只有定常强迫振动。下的的推移会很快消逝，剩动。自由振动随着时间第三步分：定常强迫振自由振动；第二步分：扰力引起的振动；由初始条件引起的自由上式右端，第一部分：解为：对应于上述初始条件的于是方程的数值：与可以确定对应初始条件：(3.3.9)coscoscossinsincoscossin)1.3.3()8.3.3(cossincos,000000000tXqtqtqpXeqtxqtqpxxexXxDqXXxqpqxBDBxxxxtptpt点。，即所有的曲线都交于时，均有取值如何，当之间连续变化。不论在曲线情形的相频特性处发生间断
34、。而有阻尼的半直线组成，在的直线段和特性曲线由对于无阻尼情形：相频时，发生共振。仍然可以认为：当时，且：现在时，可近似认为极值出但在：取极大值：时，当相对较大。不难证明：时，当时，；时，。也称曲线（如图；也称曲线（如图：定义：下面详细讨论定常响应2 1210101)11.3.3(2111)12.3.3(1212110111)3.3.3)2.3.3)10.3.3(211 cosmax2max22220相频特性曲线相频特性曲线幅频特性曲线幅频特性曲线放大率放大率XXXtXx220222022202222020020020012102sin21212cos121sin)(sinsin2cos2121
35、sin2sin21cossin2cos121sinsinsin21cossinsincoscosXcttXcdttXcdttXcdxxcEXFttXFdttXFtdttXFEdttXdxFdxEtXxtFF周内所做的功为：而阻尼力在定常振动一和及考虑到：做的功为：的一周内所在定常强迫振动激振力动中的能量平衡问题。下面来研究定常强迫振响。尼对共振建立过程的影可以明显地看到线性阻的解近似为：可见，方程由式对应于零初始条件：，立过程。区内定常强迫振动的建的情形为例，研究共振现在以易知：及，考虑到：teXxxxtXXqpqEEXpmXcEXpmXXpmmpXXXFEpmcmpXkXFpXXptsin)
36、1(2)1.3.3()9.3.3(0,020cos1sin210222sinsin2sin2 00002212222200120000 x0t图图3.3.4 线性阻尼情形下共振的建立过程线性阻尼情形下共振的建立过程3.4 定常强迫振动的复数解法与频率响应函数定常强迫振动的复数解法与频率响应函数以图3.3.1所示系统为例进行讨论。2120210212121022201110021ImRe)7.4.3()6.4.3()5.4.3()4.4.3(sincos)3.4.3()sin(cos)()()()2.4.3(sin)1.4.3(cossincosxxxxeXxeXjxXeXxeFkxxcxmjx
37、xxjetjtFjxxkx jxcx jxmtFkxxcxmtFkxxcxmtFtFxxcctjctjctjctjccccj和容易理解：的函数。为复数振幅，是有如下形式：假设定常复简谐响应具并引入复变量：利用欧拉公式：引入单位虚数：定常强迫振动，则有：作用时的和分别表示系统受扰力和用 )13.4.3()sin()cos(122tan)2()1()2()()12.4.3(22)12.4.3(arctan)()()11.4.3()8.4.3()()5.4.3()7.4.3()6.4.3(21222222022222000222220002002tXxtXxppXpppXXpcckmcpmckFXm
38、kpmkccmkFrFXXeXerFjcmkFXFXjcmkecjjtj进而有：可以写成：，如果引入记号：或：，或：，可得：，两边消去代入方程和将动。体在复平面内绕原点转封闭的矢量多边形，整量构成一个转矢量来表示，全体矢中的每一项可用一个旋可写成：，方程对于定常强迫振动：。超前，相位比：模为；超前，相位比：模为矢量；为复平面上的单位旋转复谐和函数)14.4.3()14.4.3(0)()5.4.3(20)(2)(2)(2222)2(tjtjtjctjtjtjtjtjtjtjtjtjtjeFXekjcmXexeeeejdtdedtdeeejedtdetjetjejtje2图图3.4.1 复简谐函数
39、的旋转矢量表示复简谐函数的旋转矢量表示X0FkXXcXm2图图3.4.2 方程方程(3.4.14)对应的旋转矢量封闭多边形对应的旋转矢量封闭多边形jcmkXFxFZjcmkFXFxHFkXXXpppppcdcd202000)(1)(014.4.32223.4.3）：（也称：或复谐和激励之比。：系统的复谐和响应与主意：时，；时，：参见图。力的模，相位差，惯性力的模大于弹性；，相位差，惯性力与弹性力平衡；力的模，相位差，惯性力的模小于弹性：参见图位移阻抗位移阻抗动刚度动刚度位移导纳）位移导纳）动柔度动柔度位移频率特性（位移频率特性（数）数）频率特性（频率响应函频率特性（频率响应函也称3.5 周期激
40、励下的定常强迫振动周期激励下的定常强迫振动3.5.1 Fourier级数级数)4.5.3(,2,1sin)(2)3.5.3(,2,1cos)(2 )2.5.3()(22)1.5.3(2,)sincos(2)(,2,1,0 ),()(222222010TTnTTnTTnnnntdtntfTbntdtntfTadttfTaTTTtnbtnaatfFourierTntfnTtf，函数的正交性可求得：次谐波等等。利用三角具体称为二次谐波、三波。称为高谐分量，简称谐整数倍频率的谐和分量简称基波；对应于基频量称为基频分量，；对应于基频的谐和分是基本频率，简称基频为周期；级数：式的函数可以表示成如下形函数几
41、乎都满足）周期到的足一定条件下（实际遇不限于谐和函数。在满周期函数，但周期函数间。谐和函数均为复一次所需要的最短时称为周期，它是函数重式中：取值的函数，可表示为周期函数是周期性重复njnnTTtjnnntjnnnnnnnnntjnnnntjnnntjntjnnntjntjnnjjjjeccdtetfTccectfjbacjbacacejbaejbaaeeb jeeaatfeeeejFourier)6.5.3()(1)5.5.3()()1.5.3(2222)()(2)()()()1.5.3(2cos2)(sin22001010一般为复数：可改写为：则，引入记号：有：，代入，级数：复数形式的tTn
42、nAtfnnATtnnATTdtTtnATdtTtntfTbnbnatfTtftftfTtfTtfTtfTaatftfbtftfnTTTTnnnnn2sin14)(,5,3,142cos242sin42sin)(264202100)()2()()()2()4()()2()3(00)()()2(0)()()1(,5,3,12020220，所以：为奇函数且满足，则只含有奇次谐波。的函数，若满足周期为，则只含有偶次谐波；的函数，若满足周期为；，只剩正弦项：对于奇函数：；，即有：，只剩常数项和余弦项对于偶函数：性质：例3.5.1例3.5.1nbA403579图图3.5.2 f(t)的频谱的频谱3.5.
43、2 强迫振动的一般表示式强迫振动的一般表示式)12.5.3()sin()cos(2)()11.5.3(12arctan)10.5.3(211)9.5.3()sin()()8.5.3()cos()()7.5.3()(1022222221nnnnnnnnnnnnnnnntnkbtnkakaxtfnnpnntnkbxtnkaxtfkxxcxm振动为：作用下系统的定常强迫任意周期力，其中：迫振动可表示为：作用下，相应的定常强系统在简谐扰力与分别的运动微分方程：单自由度线性阻尼系统 3.6 测振原理测振原理本节讨论惯性式测振仪的工作原理。包括位移计位移计和加速度计加速度计。参见图3.6.1。)2.6.3
44、(12tan)2.6.3(2121/)2.6.3()cos()1.6.3(cos)()(cos2222222222cbYkYmZatZztYmymkzzczmyxzyxcyxkxmzmtYy上式的定常解为：，因表示质量的相对位移：为坐标原点，用的相对平衡位置。取质量示为：设待测物体的运动可表 成反比。与振动频率，但其灵敏度的固有频率远大于待测度计。加速度计。它可以用来构成加速度，在相位上滞后一个角系数：一个比例相比，在幅值上仅相差：它与振动物体的加速度时，有：当：物体的振动。困难。通常用来测量大的限制，低频测振非常理。由于固有频率，此即位移计的工作原相角与被测振动仅相差一个，因而有：接近于，而
45、相位差大率接近于的频带上，相对位移放，在参见图：222222222)/(1cos)cos(11cos132.6.3pYZptYytYpzpYZtYz 加速度计加速度计位移计位移计3.7 隔振原理隔振原理运动隔振运动隔振：精密机械、仪器隔离从基础传来的振动；力隔振力隔振：减小振动机械对基础的作用。3.7.1 运动隔振运动隔振参见图3.7.1，m代表设备，隔振装置用k和c来表示。图图3.7.1 基座振动的隔离基座振动的隔离mooxyc2k2k是有利的。减小阻尼对降低传递率时，不到仪器上去。主意当这时基础的振动将传递。时，恒有点。当，所有的曲线都交于，愈好。参见图，愈小意味着隔振效果称为可得：代入，
46、分别表示为：于利用复数解法，将或写成：点。的静平衡位置为坐标原我们以基础不动时质量向的谐振动：假设基础运动是铅垂方2,0,12)12(2.7.3)5.7.3()2()1()2(1)()4.7.3()()2.7.3()3.7.3()2.7.3()()()1.7.3(cos222222222222)(TTYXcmkckYXjcmkjckeYXXexYeyxyyckykxxcxmyxcyxkxmmtYyjtjtj传递率传递率 3.7.2 力隔振力隔振参见图3.7.3，这时机器本身是振源，隔振的目的是减小机器的振动对基础的作用。图图3.7.3 传递力隔振传递力隔振2k2kcF理是一致的。，力隔振和运动
47、隔振原：与比较传递到基础上的力：为：，质量的定常强迫振动上作用有铅垂简谐力：TFFYXFFkXXckXFtFtXctkXFFtFkXFkFXXtXxtFFmTTTTck0222202222220222000)5.7.3()8.7.3()8.7.3()2()1()2(1)2(1)()()sin()sin()cos()()6.7.3(21211)cos(cos3.9 品质数与半功率带宽品质数与半功率带宽当系统阻尼较小时，放大率的曲线具有尖峰幅频特性。图图3.9.1 半功率带宽半功率带宽Q2Q210112倒数。倒数。质数和半功率带宽互为质数和半功率带宽互为系统阻尼很小时，其品系统阻尼很小时，其品半功率带宽半功率带宽半功率点半功率点品质数品质数：，半功率带宽：的一次项，则：级数展开，保留，用以上小量，可得：，略去考虑到，由此可以解得：，可化简为：，按定义有：率比为设半功率点所对应的频频带宽度。：两个半功率点之间的的点称为半功率点。值等于曲线上，：在的锐度。可用来表征系统共振峰。的品质数时的放大率，称为系统：系统在，结论QTayloriQQQQiiiii12121112)21(0)81()21(2)2()1(1)21(21)2,1(2221112212122222122242222
