1、LTI系统DF（Digital Filter）作原理。这就是数字滤波器的工符合我们的要求，使滤波器输出选取表示）后变成其系统性能用经过滤波器看出：输入序列的频谱)()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhnyh(n)x(n)y(n)则LTI系统的输出为：则：是其傅立叶变换。是系统的输出，是其傅立叶变换。是系统的输入，设)()()()(jwjweYnyeXnx111101)(zazbbzH)1()()1()(101nxbnxbnyany)1()()()()1()(101nwbnwbnynxnwanw)(
2、zH)(zH)(zH数字滤波器的表示方法：n有两种表示方法：方框图方框图表示法、信号流图信号流图表示法。n数字滤波器中，信号只有延时延时，乘以常数乘以常数和相加相加三种运算。n所以数字滤波器结构中有三个基本运算单元：加法器加法器，单位延时延时，乘常数的乘法器乘法器。x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)x(n)ax(n)ax(n)x(n-1)1/z例：二阶数字滤波器：其方框图及信号流图结构如下：x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1看出：可通过信号流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。)()2()1()(021nxbnyanyanyy(n)Z-1Z-1x(n)b0a1a2|X(ejw
3、)|wwc有用无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。)(jH)(jH)(jH)(jHc2c2ccc1cc2c1c1c)(jweH)(jweH)(j
4、weH.)(jweH2c222c2c1c2c1c满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于|（=2 /Ts）的范围）的范围knyaknxbnyNkkMkk10)()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(nnh0),(0ka10),(Nnnh0kaknyaknxbnyNkkMkk10)()(1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元存储单元及乘法次数乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不
5、同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。1;1)()()(01111000 azazazbzbbzazbzAzBzHNNMMNnnnMnnnMkNkkkknyaknxbny01)()()()(nx)(ny1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。IIR 滤波器类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（典范型）。z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 MkNkkkknyak
6、nxbny01)()()(方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。Mkkknxb0)(Nkkknya1)(IIR的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现）)(nw此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。(2)共需(N+M)级延时单元(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制
7、。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。)(nw)2()1()2()1()()(21210nyanyanxbnxbnxbnyx(n)y(n)b0b1b2-a1-a21/z1/z1/z1/zH1(z)H2(z)可以将直接可以将直接I I型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子系统）。系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接数不变。
8、把此原理应用于直接I I型结构。即：型结构。即：（1 1）交换两个级联网络的次序）交换两个级联网络的次序（2 2）合并两个具有相同输入的延时支路。）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接得到另一种结构即直接IIII型。型。直接直接II型结构特点：型结构特点：NkkkMkkkNkNkkkkkzazbzazbzHzHzXzYzH100121111)()()()()()(1zH)(2zH)(1zHNkkknxbn0)()()(2zHNkkknyanny1)()()(10a)(nx)(ny z-1 z-1 Nkkknxbn0)()(Nkkknyanny1)()()(例：已知例：已知IIR
9、 DFIIR DF系统函数，画出直接系统函数，画出直接I I型、直接型、直接IIII型的结构流图。型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反馈部分系数的符号注意反馈部分系数的符号81434521148)21)(41(21148)2323223zzzzzzzzzzzzzH（z-1 z-1 yn z-1 z-1)2(1.0)1(2.0)(8.0)2(3.0)1(2.0)(nxnxnxnynyny)2(3
10、.0)1(1.0)(8.0)2(5.0)(nxnxnxnyny)2(3.0)1(1.0)(8.0)2(5.0)(nxnxnxnyny yn z-1 z-1 z-1 z-1)2(3.0)1(1.0)(8.0)2(5.0)(nxnxnxnyny22,11,22,11,1011101111011111)(001 zzzzbzazazzbzazazbzbbzHkkkkKkNNNbbbbNNNNNNkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzXzYzH111110)1()1(1)()()(221111111111111111111111)1()1(NkkkMkkkNkkMkkNkkMkkzdzdzhz
11、hzpzgAzdzcA可以展开为：或者是共轭复根或者是实根只有两种情况：和零、极点都是实数，的系数)()(,)(badcbazHkkkkMMMNNNdhpgiiii212122:,；其中为复根。为实根；式中：2211122111221111111111)(NkkkMkkkNkkMkkzzzzzpzgAzHMkkMkkkkkzHAzzzzAzH1122112211)(11)(2211221111)(zzzzzHkkkkk2211221111)(zzzzzHkkkkk从级联结构中看出：它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整1i,2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点
12、。同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。例：设例：设IIRIIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数如下，试绘制其结构信号流图如下，试绘制其结构信号流图)1)(1()1)(1(21221)21121131321zzzzzzzzzzzzH（1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)381243145321121148)(zzzzzzzH)5.01)(25.01()2644.52402.14)(3799.
13、02()(211211zzzzzzzH2211221111)(zzzzzHkkkkk）时，当0(11111)()()(01122111011010ANMzdAzdAzdAAzdAAzazbzXzYzHNNNiiiNkkkMkkkMkkkkkPkkkzdzdzeBzcAc11111101111QkkkkkPkkkzzzzcAc1221111011011PQQkkkkkzzz122111101PkkkzcA1110c并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)r0a2Z-1Z-1a1r1y(n)22111101)(zzzzHkkkk(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控
14、制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-121113132114616121221)zzzzzzzzzzH（12110)1()2()1()0()()(NNnnzNhzhzhh
15、znhzH121)1()1()0(NNNzNhzhzh)(nh)(zH0z1N0z1N10)()()(Nkknxkhnyh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)121)1()1()0()(NNNzNhzhzhzH方框图方框图信号流图信号流图Mkkknxbny0)()()()2()1()()(210MnxbnxbnxbnxbnyM z-1 z-1 z-1)()2()1()()(210MnxbnxbnxbnxbnyM)2(2.0)1(4.0)(5.0)(nxnxnxn
16、y z-1 z-1 与与IIRIIR型滤波器一样，型滤波器一样，FIRFIR型滤波器在实现时系数量化也型滤波器在实现时系数量化也会受到有限字长效应等的影响，从而产生误差。会受到有限字长效应等的影响，从而产生误差。为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波器分解成为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波器分解成若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况下）滤波器子系统，若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况下）滤波器子系统，然后再将它们级联起来。然后再将它们级联起来。2/);1(1)(22,11,10101101011110MKzzbzbbzbbbzbzbbzHkkKkMMMM z-1 z-1 z-1 z
17、-1 下图为下图为FIR滤波器的级联型结构。滤波器的级联型结构。z-1 z-1 z-1 z-1 z-1)2(2.0)1(1.0)()(1111nxnxnxny)2(1.0)1(3.0)()(2222nxnxnxny第三级的差分方程为：第三级的差分方程为：)1(4.0)()(333nxnxny 因为第一级的输出等于第二级的输入，因为第一级的输出等于第二级的输入，即即 ；第二级的输出等于第三级的输；第二级的输出等于第三级的输入，即入，即 ，则可求得级联系统总的输，则可求得级联系统总的输出出 与输入与输入 之间的关系。之间的关系。)()(12nynx)()(23nynx)(1nx)(3ny)3(04
18、.0)2(02.0)1(1.0)()3(1.0)2(3.0)1(4.0)2(1.0)1(3.0)()1(4.0)()1(4.0)()(222222222222333nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnynynxnxny)5(008.0)3(058.0)2(19.0)1(2.0)()5(2.0)4(1.0)3(04.0)4(2.0)3(1.0)2(02.0)3(2.0)2(1.0)1(1.0)2(2.0)1(1.0)()3(04.0)2(02.0)1(1.0)()3(04.0)2(02.0)1(1.0)()(11111111111111111111122223nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnynynynynxnxnxnxny
