1、第二讲 变量间的相关关系与统计案例第十三章 统计与统计案例考点帮必备知识通关考点1 回归分析考点2 独立性检验考法帮解题能力提升考法1 相关关系的判断考法2 回归分析考法3 独立性检验高分帮 “双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索1 回归分析与数学建模数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合高分帮 “双一流”名校冲刺析情境 数学应用数学应用 概率与统计和社会热点的融合 考情解读 考情解读考点1 回归分析考点2 独立性检验考点帮必备知识通关 考点1 回归分析1.两个变量线性相关(1)正相关:在散点图中,点分布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负
2、相关:在散点图中,点分布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3)线性相关关系:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两个变量具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线.考点1 回归分析 考点1 回归分析 考点1 回归分析 考点2 独立性检验1.分类变量对于性别变量,其取值为男、女两种,这种变量不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.2.22列联表设X,Y为两个分类变量,它们的取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(22列联表)如下:考点2 独立性检验 考点2 独立性检验利用公式计算K2的观测值k.如果kk0,就推
3、断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过;否则,就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.注意 (1)查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行数据对应的数值,再将该数值对应的k0值与求得的K2的观测值k相比较.(2)K2的观测值k越大,两变量有关联的可能性越大;|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.考法1 相关关系的判断考法2 回归分析考法3 独立性检验考法帮解题能力提升 考法1 相关关系的判断示例1 (1)观察图13-2-2中的散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是A.a为正相关
4、,b为负相关,c为不相关B.a为负相关,b为不相关,c为正相关C.a为负相关,b为正相关,c为不相关D.a为正相关,b为不相关,c为负相关 考法1 相关关系的判断(2)下列命题中正确的为A.相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强B.相关系数r越小,两个变量的线性相关性越弱C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好D.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好解析 (1)根据散点图,由相关性可知:a中各点分布在从左下角到右上角的区域里,是正相关;b中各点分布不是带状的,相关性不明确,所以不相关;c中各点分布在从左上角到右下角的区域里,是负相关.考法1 相关关系的判断(2)相关
5、系数r的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关性越强,所以A,B错误;残差平方和越小的模型,拟合的效果就越好,所以C正确;用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大(接近1),说明模型的拟合效果就越好,所以D错误.答案 (1)D(2)C 考法1 相关关系的判断方法技巧 判断两个变量相关关系的3种方法 考法2 回归分析 考法2 回归分析 考法2 回归分析 考法2 回归分析方法技巧1.线性回归分析问题的类型及解题方法 考法2 回归分析 考法2 回归分析2.非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图;(2)根据散点图选择恰当的拟合函数;(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;(4)在(
6、3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.考法3 独立性检验示例3 2018全国卷,18,12分理某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图13-2-4所示的茎叶图:图 13-2-4 考法3 独立性检验 考法3 独立性检验思维导引 (1)根据茎叶图中的数据特征分析即可得出结论;(2)由茎叶图中的数据即可得出中位数,根据中位数补全列联表;(3)利用K2的观测值k进行判
7、断.考法3 独立性检验解析 (1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.考法3 独立性检验 考法3 独立性检验 考法3 独立性检验方法技巧求解独立性检验问题的策略高分帮“双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索1 回
8、归分析与数学建模数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索1 回归分析与数学建模示例4 2016全国卷,18,12分理图13-2-5是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.图 13-2-5 数学探索1 回归分析与数学建模 数学探索1 回归分析与数学建模 数学探索1 回归分析与数学建模 数学探索1 回归分析与数学建模 数学探索1 回归分析与数学建模素养探源 数学探索1 回归分析与数学建模考向指导本题以生活垃圾无害化处理为背景,考查统计中的线性相关关系,要求学生先利用相关系数判断y与t是否具有线性相关关系,再求回归方程,最后利用所求的方程进行预测,基本上体
9、现了数学建模的过程.考查相关关系的题是数学建模的范例,在高考中经常出现,要充分了解建模过程,把握建模的方法与步骤,学会应用建模解决实际问题.数学探索1 回归分析与数学建模方法技巧 建立回归模型的基本步骤确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).由经验确定回归方程的类型(如观察到散点大致分布在某条直线附近,则选用线性回归方程).按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等
10、.数学探索1 回归分析与数学建模思维拓展 数学建模的过程(1)建模准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.(2)建模假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系,建立相应的数学结构.(4)模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数进行计算(或近似计算).(5)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合示例5 2020山东枣庄三中6月模拟某网络购物平台每年1
11、1月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表:求成交额y(单位:百亿元)与时间变量x(记2015年为x=1,2016年为x=2,)的线性回归方程,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额.数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合素养探
12、源 数学探索2 概率与统计和函数、导数等的综合考向指导概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近年高考的一大亮点和热点.它常与数列、函数、导数等融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.方法技巧 概率统计与函数、导数交汇问题的解题步骤第一步:通读题目,仔细审题,理解题意.第二步:根据题目所要解决的问题,确定自变量及其取值范围.第三步:构建函数模型,写出函数的解析式.第四步:对构造的函数进行求导或利用函数单调性,求解目标函数的最值或最优解.高分帮“双一流”名校冲刺析情境 数学应用数学应用 概率与统计和社会热点的融合 数学应用 概率与统计和社会热点的融合示例6 2020湖
13、南省株洲市高三统一检测某地区进行疾病普查,为此要检验每个人的血液,如果当地有N人,若逐个检验就需要检验N次,为了减少检验的工作量,把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起检验.若检验结果为阴性,则这k个人的血液全为阴性,因而这k个人只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这k个人中究竟哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,因而这k个人的检验次数为(k+1)次.假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的,且每个人的检验结果是阳性的概率为p.数学应用 概率与统计和社会热点的融合(1)为熟悉检验流程,先对3个人逐个进行检验,若p=0.1,求3
14、人中恰好有1人检验结果为阳性的概率.(2)设为k个人一组混合检验时每个人的血液需要检验的次数.(i)当k=5,p=0.1时,求的分布列;(ii)运用统计概率的相关知识,求当k和p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数.数学应用 概率与统计和社会热点的融合 数学应用 概率与统计和社会热点的融合 数学应用 概率与统计和社会热点的融合 数学应用 概率与统计和社会热点的融合素养探源 数学应用 概率与统计和社会热点的融合审题指导本题是一道典型例题,审题非常重要.它的背景是生活中的“血液检验问题”,需要联系的知识是“相互独立事件的概率、分布列、期望等知识”.第(2)问中的(ii)寻找p与k的关系,实际上是寻找一般的决策依据,有重要的实际意义,这也是数学建模思想的重要体现.数学应用 概率与统计和社会热点的融合 您好，谢谢观看！数学应用 概率与统计和社会热点的融合考向指导本题背景新、贴近实际,同时也表明我们的身边处处有数学.近年来高考越来越重视对数学应用性的考查,复习中要培养应用意识,形成应用数学知识指导社会实践,解决生活、生产问题的意识.解决这类问题所用的数学知识本身难度不大,关键是理解题意,把问题与数学知识相结合,提高解决问题的能力.正确理解题意,将题目中信息进行归纳、整理,抽象为数学信息,这是转化能力与应用能力的体现,复习中要加强这方面的训练.
