1、 旋转类几何变换 一一 几何变换几何变换旋转旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的 是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意
2、两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 中考满分必做题 考点一 旋转与最短路程 考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关 路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点 B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN 求证：AMBENB 当M点在何处时，AMCM的值最小； 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长 E N M D CB A 【例2】 阅
3、读下列材料 对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PA PBPC有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC时，点P既为费马点 解决问题： 如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连接CD、 BE交于点P， 证明：点P为ABC的费马点。(即证明120APBBPCAPC)且PAPBPCCD 如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPC 若30ABC，3AB ，4BC ，直接写出PAPB
4、PC的最小值 P E D CB A Q A BC D E P 考点二 利用旋转求点的坐标 考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90后，B点 的坐标为（ ） A( 2 2) ，； B(4 1)，； C(3 1)，； D(4 0)， D C B A O y x 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的顶点A的坐标为( 3 1)，若将OAB绕点O逆时针旋转 60后，B点到达B点，则B点的坐标是_ y xB A O 考点三 旋转与勾股定理 考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重
5、点掌握 【例5】 如图，P是等边ABC中的一个点，2,2 3,4PAPBPC，则ABC的边长是_ P C B A 【例6】 如图，在ABC中，90ACB，ACBC，P是ABC内的一点，且 123PBPCPA， ， 求BPC的度数 P BA C 【例7】 如图点P是正方形ABCD内部一点，1PA 2PB 3PC ，则APB A B C D P 考点四 利用旋转的性质解决几何有关的计算 考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。 【例8】 如图，将ABC绕点A顺时针旋转45得到ADE，点E落在边BC上，则 _BED E D CB A 【例9】 如图，将直径为4
6、的半圆AB，绕点A逆时针旋转60，则阴影部分的面积为 B BA 【例10】 如图，将ABC绕点A逆时针旋转80得到ABC 若50BAC，则CAB的度数为( ) A30； B40； C50； D80 A B C B C 【例11】 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90后，得到矩形AB C D，如果22CDDA，那么 CC _ D C BD CB A 【例12】 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF在旋转过程中， 如图，当点E在射线CB上时，E点坐标为_； 当CBD是等边三角形时，旋转角的度数是_(为锐角时)； 如图，
7、设EF与BC交于点G，当EGCG时，求点G的坐标； 图 Ey x O D C B A G F 图 E y x O D C B A 考点五 利用旋转的性质解决几何有关的证明 考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。 【例13】 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF ，AHEF，H为垂足， 求证：AHAB C H F E D B A 【例14】 已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三 角形ACF 如图 1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。 F E D C B
8、 A F E D CB A 如图 2，当ABC中只有60ACB时，请你证明 ABC S与 ABD S的和等于 BCE S与 ACF S的和 【例15】 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺时针旋 转一定角度， 连结BD、CE， 得到图， 然后将BD、CE分别延长至M、N， 使 1 2 D MB D， 1 2 ENCE， 连结AM、AN、MN，得到图，请解答下列问题： 若ABAC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是_； 在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想； 若ABk AC（1k ） ，按上述操作方法
9、，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与 BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明 【例16】 已知：在ABC中，ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的 延长线上，BAEBDF ，点M在线段DF上，ABEDBM 如图 1，当45ABC时，求证：2AEMD； 如图 2，当60ABC时，则线段AE、MD之间的数量关系为_ 在的条件下，延长BM到P，使MPBM，连接CP，若7AB，2 7AE ，求tanACP的值 【例17】 如图所示， 在四边形ABCD中，ABAD，60BAD，120BCD， 证明：BC DCAC 如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，
10、60ABC，P为四边形ABCD内部一点，120APD， 证明：PAPDPCBD D C B A P D C B A 【例18】 如图 1， 若 ABC和 ADE为等边三角形， M， N 分别 EB， CD 的中点， 易证： CDBE， AMN 是等边三角形 （1）把 ADE绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CDBE 是否仍然成立？若成立请证明，若不 成立请说明理由； （2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给 出证明，并求出当 AB2AD 时， ADE与 ABC及 AMN的面积之比；若不是，请说明理由 M B A C D （图 1） （图 2）
11、 E F M B A C D E F D B C A 图 E M N D B C A 图 E D B C A E 图 D B C A 图 E M N 【例19】 如图 1，Rt ABCRt EDF，ACBF90 ，AE30 EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K （1）观察：如图 2、图 3，当CDF0 或 60 时，AMCK_MK（填“”，“”或“”） 如图 4，当CDF30 时，AMCK_MK（只填“”或“”） （2）猜想：如图 1，当 0 CDF60 时，AMCK_MK，证明你所得到的结论 （3）如果 MK 2CK 2AM 2，请直接写出CDF
12、 的度数和 AM MK 的值 【例20】 在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M N D， ，为ABC 外一点，且 60MDN，120BDC，BDCD， 探究： 当点M N，分别爱直线AB AC，上移动时，BM BN MN， 之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系 （1）如图，当点M N ，在边AB AC， 上，且DMDN时，BM NC MN ， 之间的数量关系式_； 此时 Q L _ （2）如图，当点M N ，在边AB AC， 上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜 想并加以证明； 如图，当点M N ，分别在边AB CA， 的延长线上时，若
13、ANx，则Q _(用x L ，表示) 图 M N D CB A 图 M N D C B A N 图 M D C B A D B C A F E M K 图 4 D B C A F E K 图 3 (M) D B C A (F,K) E M 图 2 图 1 图 2 图 3 D B C A F E M K 图 1 【例21】 在 Rt ABC 中，ACB90 ，tanBAC 1 2 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结 BD，F 为 BD 中点若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如 图 2 所示求证：BEDE2CF； BC A D E F B D E A F CB A C 1图2图备图
