1、4.1 4.1 消元法消元法4.2 4.2 矩阵的秩矩阵的秩 线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法4.3 4.3 线性方程组的公式解线性方程组的公式解4.4 4.4 结式和判别式结式和判别式1.内容分布内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别线性方程组有解的判别2.教学目的教学目的:会用消元法解线性方程组会用消元法解线性方程组3.重点难点重点难点:线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，
2、这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：方程组：在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法消元法.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（1）例1 解线性方程组：从第一和第三个方程分别减去第二个方程的从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/21/2倍和倍和2 2倍，来消去这两个方程中的未知量倍，来消去这两个方程中的未知量.2534
3、2,3335,13121321321321xxxxxxxxx（2）)(11的系数化为零即把xx得到：得到：4233352121213232131xxxxxxx.421,33353231321xxxxxxx为了计算的方便，把第一个方程乘以为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2-2 后，与第二后，与第二个方程交换，得：个方程交换，得：2x把第二个方程的把第二个方程的2 2倍加到第三个方程，消去后一方程倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量中的未知量，得到，得到.213335332321xxxxxx239353221xxxx234321xxx现在很容易求出方程组（现在很容易求出方程组（2 2）的解
4、）的解.从第一个方程从第一个方程减去第三个方程的减去第三个方程的3 3倍，再从第二个方程减去第三倍，再从第二个方程减去第三个方程，得个方程，得再从第一个方程减去第二个方程的再从第一个方程减去第二个方程的5/35/3倍，得：倍，得：这样我们就求出方程组的解这样我们就求出方程组的解.交换两个方程的位置；交换两个方程的位置；用一个不等于零的数某一个方程；用一个不等于零的数某一个方程；用一个数乘某一个方程后加到另一个方程用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.线性方程的初等变换：线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：对方程组施行下面三种变换：这三种变换叫作线性方程组的初等变换这三种变换叫作线性方
5、程组的初等变换.定理定理4.1.14.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组它同解的线性方程组线性方程组的（线性方程组的（1 1）的系数可以排成下面的一个表：）的系数可以排成下面的一个表：而利用（而利用（1 1）的系数和常数项又可以排成下表：）的系数和常数项又可以排成下表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（3）mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211（4）stssttccccccacc212222111211ijc定义定义1 1 由st个数排成一个排成一个s s行行t t 列的表列的表 叫
6、做一个s行t列（或st）的矩阵，ijc 叫做这个矩阵的元素.注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表个矩阵仅仅是一个表.矩阵（矩阵（3 3）和（）和（4 4）分别叫作线性方程组（）分别叫作线性方程组（1 1）的系）的系数矩阵和增广矩阵数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组然完全代表这个方程组.定义定义2 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下
7、列变换：施行的下列变换：3)3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上个元素后加到另一行（列）的对应元素上.1)1)交换矩阵的两行（列）交换矩阵的两行（列）2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；个元素；显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，
8、相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.在对于在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简目的是消
9、去未知量，也就是说，把方程组的左端化简.因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题线性方程组的系数矩阵的问题.在此，为了叙述的方在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换允许施行第一种列初等变换.后一种初等变换相当于后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究究.在例在例1 1中，我们曾把方程组（中，我们曾把方程组（2 2）的系数矩阵）的系数矩阵 534233
10、5113121 1001103351 先化为先化为 100010001然后，进一步化为然后，进一步化为 定理定理4.1.2 设设A是一个是一个m行行n列的矩阵：列的矩阵：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：00000*1000*10*1行r(5)这里,nrmror *表示矩阵的元素，但表示矩阵的元素，但不同位置上的不同位置上的 *表示的元素未必相同表示的元素未必相同.ija证证 若是矩阵若是矩阵A A的元素的元素都等于零，那么都等于零，那么A A已有（已有（5 5）的形式）的形式进而化为以下形式，进而化为以下形式，0000
11、1000001000011,21,211,1rnrrnrnrcccccc（6）ija1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵当倍数，矩阵A A化为化为ija设某一设某一不等于零，必要时交换矩阵的行和不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.*0*0*1B若若B B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么那么B B 已有（已有（5 5）的形式）的形式.设设B B 的后的后m m 1 1 行中有行中有一个元素一个元素b b 不为零，把不为零
12、，把b b 换到第二行第二列的换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把交点位置，然后用上面同样的方法，可把B B 化为化为*00*00*10*1如此继续下去，最后可以得出一个形如（如此继续下去，最后可以得出一个形如（5 5）的矩阵）的矩阵.形如（形如（5 5）的矩阵可以进一步化为形如（）的矩阵可以进一步化为形如（6 6）的矩阵是）的矩阵是 显然的显然的.只要把由第一，第二，只要把由第一，第二，第，第r r 1 1 行行分别减去第分别减去第r r 行的适当倍数，再由第一，第二，行的适当倍数，再由第一，第二，第第r r 2 2行分别减去第行分别减去第r r 1 1行的适当倍数，等等行
13、的适当倍数，等等.考察方程组（考察方程组（1 1）的增广矩阵（）的增广矩阵（4 4）.由定理由定理4.1.24.1.2，我们可以对（我们可以对（1 1）的系数矩阵（）的系数矩阵（3 3）施行一些初等变）施行一些初等变换而把它化为矩阵（换而把它化为矩阵（6 6）.对增广矩阵（对增广矩阵（4 4）施行同）施行同样的初等变换，那么（样的初等变换，那么（4 4）化为以下形式的矩阵：）化为以下形式的矩阵：mrrrnrrnrnrdddccdccdcc000010001000111,221,2111,1(7)与（与（7 7）相当的线性方程组是）相当的线性方程组是mrrirnirriiniriiniriddd
14、xcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr0011,221,2111,111211（8）由于方程组（由于方程组（8 8）可以由方程组（）可以由方程组（1 1）通过方程组的初）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.14.1.1，方程组（，方程组（8 8）与方程组（）与方程组（1 1）同解）同解.因此，要因此，要解方程组（解方程组（1 1），只需解方程组（），只需解方程组（8 8）.但方程组（但方程组（8 8）是否有解以及有怎样的解都容易看出是否有解以及有怎样的解都容易看出.niii,21这里 是1，2，n 的一个全排列
15、.情形情形1 1，mrddmr,1而这时方程组（这时方程组（8 8）无解，因为它的后）无解，因为它的后m r m r 个方程中个方程中至少有一个无解至少有一个无解.因此方程组（因此方程组（1 1）也无解）也无解.不全为零，不全为零，情形情形2 2，当当r=n r=n 时，方程组（时，方程组（9 9）有唯一解，就是）有唯一解，就是ntdxtit,2,1,这也是方程组（这也是方程组（1 1）的唯一解）的唯一解.mrddmrmr,1而或全为零，这时方程组（全为零，这时方程组（8 8）方程组）方程组 rirnirriiniriiniridxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr112111,2
16、21,2111,1同解同解.(9)(9)当当r n r 0r0.这时，矩这时，矩阵（阵（3 3）含有一个）含有一个r r 阶的子式：阶的子式：),(tksk定义定义1 在一个在一个s行行t列的矩阵中，任取列的矩阵中，任取k行行k列列定义定义2 2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式，就认若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零为这个矩阵的秩是零.按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数行的个数，也不能超过它的列的
17、个数.一个矩阵一个矩阵A A的的秩用秩秩用秩A A来表示来表示.显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零阵的秩才能是零.这个子式不等于零这个子式不等于零.但矩阵（但矩阵（3 3）不含阶数高于）不含阶数高于r r的不的不等于零的子式等于零的子式.这是因为；在这是因为；在r=m r=m 或或r=n r=n 时，矩时，矩阵（阵（3 3）根本不含阶数高于）根本不含阶数高于r r的子式；而当的子式；而当r m r m，r n r s r r.那么有三种可能的情形那么有三种可能的情形:D D不含第不含第i i 行的元素，这时行的元素，这时D D也是
18、矩阵也是矩阵A A的一个的一个s s阶阶子式，而子式，而s s大于大于A A的秩的秩r r ，因此，因此D D=0.=0.设把一矩阵的第设把一矩阵的第j j 行乘以行乘以k k加到第加到第i i行而得到矩阵行而得到矩阵B B：sssjtjtititjtjtjtitjtitaaaaaakaakaaD1111111因为后一行列式是矩阵因为后一行列式是矩阵A A的一个的一个s s阶子式阶子式.D D含第含第i i行的元素，也含第行的元素，也含第j j行的元素行的元素.这时，由这时，由命题命题3.3.103.3.1021111kDDkaakaaDsjtitjtitsjtjtititaaDaaD1112
19、1这里这里1D2D由于由于是矩阵是矩阵A A的一个的一个s s阶的子式，而阶的子式，而 与与A A的的一个一个s s阶子式最多差一个符号，所以这两阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，个行列式都等于零，从而从而D=0D=0.D D含第含第i i行的元素，但不含第行的元素，但不含第j j行的元素，这时行的元素，这时BA秩秩但我们也可以对矩阵但我们也可以对矩阵B B 施行第三种行初等变换而得到施行第三种行初等变换而得到矩阵矩阵A A.因此，也有因此，也有AB秩秩因此，在矩阵因此，在矩阵B B有阶数大于有阶数大于r r的子式的情形，的子式的情形，B B 的任何的任何这样的子式都等于零，而这
20、样的子式都等于零，而B B的秩也不超过的秩也不超过r r.这样，在任何情形，都有这样，在任何情形，都有这样，我们也就证明了，秩这样，我们也就证明了，秩A A=秩秩B B ，即第三种行初，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩等变换不改变矩阵的秩.对于其它的初等变换来说，对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立我们可以完全类似地证明定理成立.这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.定理定理4.2.14.2.1给了一种方法，不必计算一个矩阵给了一种方法，不必计算一个矩阵A A的的子式就能求出子式就能求出A A的秩来的秩来.我们只需利用初等变换我们只
21、需利用初等变换把把A A化成化成4.14.1中（中（5 5）型的矩阵，然后数一数，在）型的矩阵，然后数一数，在化得的矩阵有几个含有非零的元素的行化得的矩阵有几个含有非零的元素的行.这样，这样，问题（乙）也就容易解决问题（乙）也就容易解决.A表示方程组（表示方程组（1 1）的增广矩阵：）的增广矩阵：证证mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211定理定理4.2.24.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（线性方程组可解的判别法）线性方程组（1 1）有解的充分且必要条件是：）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩矩阵有相同的秩.m
22、rrrnrrnrnrdddccdccdccB000010001000111,221,2111,1A那么那么 的前的前n n 列作成的矩阵列作成的矩阵 A A 就是（就是（1 1）的系数矩阵）的系数矩阵.利用定理利用定理4.1.24.1.2所指出的那种初等变换把所指出的那种初等变换把 化为化为A并且用并且用B B表示表示 的前的前n n列作成的矩阵列作成的矩阵.那么由定理那么由定理4.2.14.2.1得：得：BBArBA秩秩秩秩,（4 4）故定理得证故定理得证.01mrddrB AA秩秩现在设线性方程组（现在设线性方程组（1 1）有解）有解.那么或者那么或者r=mr=m，或者，或者r mr m
23、，而，而 ，这两种情形都有，这两种情形都有秩秩 .于是由（于是由（4 4）得，）得，.AA秩秩01mrdd反过来，设反过来，设 ，那么由（，那么由（4 4）得，的秩也是）得，的秩也是r r ，由此得，或者由此得，或者r=mr=m ，或者，或者r mr m 而而 ，因而方程组（因而方程组（1 1）有解）有解.定理定理4.2.34.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当同的秩，那么当r r 等于方程组所含的未知量的个数等于方程组所含的未知量的个数n n时，方程组有唯一解；当时，方程组有唯一解；当r nr 1）次多项式，次多项式，令令 的全部根
24、（重根按重数计的全部根（重根按重数计算）。乘积算）。乘积)(,21xfCn是叫做多项式叫做多项式 的判别式（这里的判别式（这里表示求积的符号）。表示求积的符号）。)(xf由判别式的定义很容易看出，多项式由判别式的定义很容易看出，多项式 有重有重根的充分且必要条件是它的判别式等于零。根的充分且必要条件是它的判别式等于零。)(xf由定理由定理2.5.2容易推出，多项式容易推出，多项式 有重根必要且只有重根必要且只要要 与它的导数与它的导数 有公根，因为有公根，因为 ，所以，所以由定理由定理4.4.1和和4.4.3，有重根必要且只要有重根必要且只要 与与 的结式的结式 ，由此可见，由此可见，的判别式
25、与结式的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理系，根据定理4.4.2，公式（，公式（1），我们有），我们有)(xf)(xf)(xf 00a)(xf)(xf)(xf 0),(ffR)(xf(,)R ff).()()(),(2110nnfffaffR)()()(210nxxxaxfniniixxxxaxf11110).()()()(在在CxCx 里，里，求导数，我们有求导数，我们有所以所以).()()()(1110niiiiiiiaaaaaaf这样，这样，).()()(),(2110nnfffaffR)()(13121120nnaaa
26、a)()(23212naaa)()(121nnnnaaa 在这个乘积里，对于任意在这个乘积里，对于任意i 和和j（ij）都出现两个因式：都出现两个因式：和和 ，它们的乘积等于，它们的乘积等于 ，由于满足，由于满足条件条件 的指标的指标i 和和j 一共有一共有 对，所以对，所以jiij2)(ji1jin2)1(nnDaaffRnnnnjinjin0121202)1(2)1()1()()1(),(D是多项式是多项式 的判别式的判别式)(xf 从表示从表示 的行列式的第一列显然可以提出因的行列式的第一列显然可以提出因子子 ，因此多项式，因此多项式 的判别式的判别式D可以表成由系数可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是所组成的一个行列式，因而是 的多项式。的多项式。),(ffR0a)(xfnaaa,10naaa,10)4(2002),(2acbababacbaffR于是于是 .4),(),(1)1(2212acbffaRffRaD所以判别式是所以判别式是cbxaxxf2)(例例3 求二次多项式求二次多项式 的判别式。的判别式。baxxf2)(先求出先求出 解解:
