1、第点直线平面的投影2投影法投影法投影中心投影面投影线空间点投影SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法投影法。投影法。中心投影法中心投影法abcdABCDS特点：投影光线交于一点。特点：投影光线交于一点。投投射中心、物体、投影面三者之间的相对射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。距离对投影的大小有影响。度量性较差。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心平行投影法平行投影法
2、斜投影法斜投影法ABCDcabd特点：投影光线相互平行。特点：投影光线相互平行。平行投影法平行投影法正投影法正投影法ABCDabcd特点：投影光线相互平行且垂直投影面。特点：投影光线相互平行且垂直投影面。投投 影影 特特 性性投影：大小与物体和投影面之间的距离投影：大小与物体和投影面之间的距离 无关度量性较好。无关度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法斜投影法正投影法正投影法投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图透视图透视图 透视图
3、是根据中心投影法绘制的，它和人的眼睛实际上看透视图是根据中心投影法绘制的，它和人的眼睛实际上看的形象一样，所以图立体感较强。的形象一样，所以图立体感较强。但由于不能真实地度量出物体的大小且作图繁琐，目前多但由于不能真实地度量出物体的大小且作图繁琐，目前多在建筑工程上使用。在建筑工程上使用。斜轴测图斜轴测图 正轴测图正轴测图 三面正投影三面正投影图图 日期日期153.437.384.50.0220H7h620H7h620H7h620H7h61230.0245H7r745H7r7110 91 65G3/816H7k6AAA-A123456789101112131415技术要求 1.齿轮安装后用手转
4、动传动齿轮轴 时,应灵活。2.两齿轮轮齿的啮合面应占齿长的 3/4以上。数量审核姓名73序号21654名 称11109812重量比例（图号）合肥工业大学合肥工业大学材料m=2.5,Z=20齿轮油泵01-06GB/T6701-0201-0101-03GB/T119Q235Q235Q235传动齿轮轴销 A518左端盖齿轮轴泵体垫片44511451纸12m=3,Z=9m=3,Z=9=1轴套压紧螺母右端盖密封圈01-0701-0901-1011Q235橡胶11354501-11GB/T93GB/T6170GB/T70.1GB/T1096螺母M121.5垫圈12传动齿轮65Mn1145135螺钉M616
5、键 410135451213141501-08代号备注齿轮油泵装配图齿轮油泵装配图另外两个投影，反映线A、B为水平投影面的重影点的投影c、c。定理三：相互垂直的两直线，其中一条直线平行于投影面时，则两条直线在该投影面上的投影仍反映直角。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角=Aa（A到H面的距离）与三个投影面都倾斜的直线挡关系，即判别可见性。在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。ab=AB*cos例2：判断直线AB、CD的相对位置。及：侧面投影积聚成直线。三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不
6、反映空间线投影：大小与物体和投影面之间的距离投影有积聚性。已知ABCDEFMH比较A、B两点的相对坐标2 平面对投影面的相对位置点在三投影面体系中的投影从属性从属性投影规律投影规律*平行性平行性积聚性积聚性真实性真实性类似性类似性点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点P Pb A AP P 过空间点过空间点A的投射的投射线与投影面线与投影面P的交点即的交点即为点为点A在在P面上的投影。面上的投影
7、。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a 物体的单面投影图物体的单面投影图影投方向结论：利用单面投影图无法确定物体的空间形状 投影面投影面 正面投影面正面投影面 （简称正面或（简称正面或V面）面）水平投影面水平投影面 （简称水平面或（简称水平面或H面）面）投影轴投影轴 ox轴轴 V面与面与H面的交线面的交线（简称（简称x轴）轴）H HV VO OX X两个投影面两个投影面互相垂直互相垂直1.1.两投影面体系的建立两投影面体系的建立a点点A A的水平投影的水平投影
8、a 点点A A的正面投影的正面投影X XO OV VH HA Aaa xa注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。V VH HX XO OV VH HA Aaa 4.4.点的投影规律点的投影规律:（1 1）a aOXOX轴轴（2）aax a ax xxa=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）=A Aa（A A到到H H面的距离）面的距离）a aaX3.投影面展开投影面展开省略不画绕绕X轴下轴下旋转旋转90不动不动H HW WV V1.投影面投影面正面投影面正面投影面（简称正面或（简称正面或V V面）面）水平投影面水平投影
9、面（简称水平面或（简称水平面或H H面）面）侧面投影面侧面投影面（简称侧面或（简称侧面或W W面）面）2.投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y3.3.空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a点点A A的水平投影的水平投影a点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影X XZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayYH HW WV VX XY YZ ZO O
10、V VH HW WA Aaa a xaazay绕绕Z轴向右轴向右旋转旋转90绕绕X X轴向下轴向下旋转旋转9090不动不动4.投影面展开投影面展开aaxazZ Zaa yayaX XY YH H Y YW WO O 省略不画省略不画X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 5.点的投影规律点的投影规律:（1）a aOXOX轴轴（2）a ax=a ax=xaazayY YW WZ Z aza X XY YH HayWO OaaxayHa a a OZOZ轴轴=y=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）a ay=
11、z=A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）a aza ay=在其垂直的W投影面 上，例2：判断直线AB、CD的相对位置。在其垂直的W投影面 上，另外两个投影面上的投影为类似形。例题2 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。空间点A在三个投影面上的投影定理三：相互垂直的两直线，其中一条直线平行于投影面时，则两条直线在该投影面上的投影仍反映直角。V面与H面的交线（简称x轴）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。（简称水平面或H面）空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。与三个投影面都
12、倾斜的直线特点：投影光线交于一点。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。平面在三投影面体系中的投影特性点在两投影面体系中的投影通过在面内作辅助线求解无关度量性较好。另外两个投影面上的投影为类似形。及：正面投影积聚成直线。例：已知点A的两个投影a,a,求第三a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa ZOXYWYHa aaxZOXYHYW投影a。AaaaaxayazVHWOXYZXaaaOaxayazZayYHYWHWxyzxyzy例：例：求点求
13、点A(40,20,30)的三面投影的三面投影XOaxazZYHYWayHayW40203020已知点已知点A:A:X X坐标坐标=40=40毫米；毫米；Y Y坐标坐标=20=20毫米；毫米；Z Z坐标坐标=30=30毫米。毫米。aaa空间点的重建法空间点的重建法(a)(a)坐标法坐标法(b)(b)逆投影线法逆投影线法已知点已知点A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、点在空间的上下、前后、左右位置关系。左右位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的
14、在前坐标大的在前z 坐标大的在上坐标大的在上A点在点在B点之点之前、之右、之前、之右、之上。上。b aa a b bX XY YH HY YW WZ Zo o1.两点的相对位置两点的相对位置O比较比较A A、B B两点的相对坐标两点的相对坐标xxzzyyA A点在点在B B点之右点之右A A点在点在B B点之后点之后A A点在点在B B点之上点之上()a cc 2.重影点重影点 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的投影重合为一影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该点时，则称此两点为该投影面的重影点。投影面的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面
15、的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点ZXYWOYH()a bA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayb Bb(b)b a a b ZXYWOYHd(c)cdCDa(b)abABaba(b)d(c)cdA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点C C、D D为正面投影面的重影点为正面投影面的重影点4.3.1 直线的投影直线的投影4.3.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置一般位置直线的实长及倾角一般位置直线的实长及倾角4.3.4 属于直线的点属于直线的点4.3.5
16、两直线的相对位置两直线的相对位置直角投影定理直角投影定理直线的投影直线的投影OO 两点确定一条直线，将两点的同面投影用两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线连接，就得到直线的同名投影。AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac点位于平面上，在前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。平面在三投影面体系中的投影特性(2)判别两者之间的相互遮1 平面的几何元素表示法3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点
17、，故交点K的水平投影也积聚在该点上。=Aa （A到V面的距离）2 平面对投影面的相对位置另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影有积聚性。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。两点的相对位置及重影点比较A、B两点的相对坐标段实长，且垂直 于相应abOZ abOYH 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 abab=AB=AB 直线倾斜于投
18、影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短投影不反映线段实长投影不反映线段实长 abab=AB=AB*coscos A AB Ba(b)M MA AB Bab(m)若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。则点的投影必在直线的同面投影上。从属性从属性M MmmM M 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）侧平线（平行于面侧平线（平行于面)正垂线（垂直于面）
19、正垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。影面间的相对位置。投影面平行线投影面平行线V VW WH HY YX XZ Z侧平线侧平线水平线水平线正平线正平线水平线水平线ABHABHX XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影面上在其平行的那个投影面上的投影反映实长的投影反映实长,并反映直线
20、与并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。另两投影面倾角的真实大小。另两个投影面上的投影平另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。行的投影面之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WZXYoABHABHab=AB=ABa b OX OX a b OYOYW W正平线正平线ABVABV正平线正平线 在其平行的那个投影面上在其平行的那个投影面上的投影反映实长的投影反映实长,并反映直线与并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。另两投影面倾角的真实大小。另两个投影面上的投影平
21、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。行的投影面之间的距离。投影特性：投影特性：ABVABVa b =AB=ABabOX OX a b OZOZZV VH HabAaa BbbW W oXY X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W实长实长侧平线侧平线ABWABW侧平线侧平线V VH HAaBbW W aba bZoXY 在其平行的那个投影面上在其平行的那个投影面上的投影反映实长的投影反映实长,并反映直线与并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。另两投影面倾角的真实大小。另
22、两个投影面上的投影平另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。行的投影面之间的距离。投影特性：投影特性：ABWABWa b =AB=ABa b OZ OZ abOYOYH H bY YW W实长实长Y YH HX XZ ZbaaabO O 投影面垂直线投影面垂直线V VW WH HY YX XZ Z铅垂线铅垂线AB H正垂线正垂线AC V侧垂线侧垂线AD WC CD DB BA A铅垂线铅垂线ABAB H Ha b a(b)a b ZXYHYW2.另外两个投影，反映线另外两个投影，反映线
23、段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的H投影面投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:正垂线正垂线ABVABV2.另外两个投影，反映线另外两个投影，反映线 段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的V投影面投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a(c)acc a ZOXYHYW侧垂线侧垂线ABAB W W2.另外两个投影，反映线另外两个投影，反映线 段实长，且垂直段实长，且垂直 于相应于相应 的投影轴。的投影轴。1.在其垂直的在其垂直的W投影面投影面 上
24、，上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a d ada(d)ZXYHYWV VW WH HY YX XZ ZB BA A 一般位置直线一般位置直线 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YH HaO OX XabbaY YW Wb 投影特性投影特性:H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线 段与三个投影面夹角的大小。段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。四、
25、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1|zA-zB|AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO|yA-yB|aXab ObAB a b|yA-yB|a b AB|yA-yB|AB|yA-yB|ABbb a b aa|xA-xB|xA-xB|xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。影上。定比性：点的投影将线段的同面投影分成与空间线段相定比性：点的投影将线段的同面投影分成与空
26、间线段相同的比例。同的比例。即：即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c:c b cAH HacaV VbBabcCbW WX XY YO OZ ZcacX XabcY YW WY YH HbO OaZ Zbcc 例题例题11 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成2 21 1两段，求分点两段，求分点C 的投影的投影c、c 。例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?X XX XZ ZX XO OY YH HY Y
27、W Wc 4.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线平行两直线平行 两直线相交两直线相交空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）平行、相交、交叉（异面）两直线交叉两直线交叉 两直线平行两直线平行空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX XO OX X若：若：ABABCD CD；则：则：abcd ；a b c d ；a b c d 。例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只
28、要有两组同面线，只要有两组同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直对于特殊位置直线，只有两组同面投线，只有两组同面投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。a b c d b d c a dO O(1)abcc a b d X XZ ZY YH HY YW WZ Zcbad d b a c(2)X XO OY YH HY YW W 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空
29、间一点的投影特性。影特性。ac V VX Xb H HDacdCAKd bO OBcabd b a c d kk X Xkkcd k kd例例1 1：过：过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c X X例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一点的合空间一点的投影特性。投影特性。判断方法？判断方法？应用定比原理应用定比原理 利用侧面投影利用侧面投影X Xc abdabcdX X解法一：解法一：（应用定比定理）（应用定比定理）解法二：解法二
30、：（应用侧面投影）（应用侧面投影）ca bdabcda b d c 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点不符合点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbX XaccAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)21投影特性：投影特性：同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合不符合空间一点的投影规律。空间一点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一对重影点的投影，是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位
31、置。211(2)43(4)33(4)34 一一.垂直相交的两直线垂直相交的两直线定理一：垂直相交的两直线，其中一条直线平行于投影面时，则两定理一：垂直相交的两直线，其中一条直线平行于投影面时，则两条直线在该投影面上的投影仍反映直角。条直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在一投影面上的投影反映直角，且其中一条直定理二：相交两直线在一投影面上的投影反映直角，且其中一条直线平行于该投影面，则空间两条直线的夹角必是直角。线平行于该投影面，则空间两条直线的夹角必是直角。二二.交叉垂直的两直线交叉垂直的两直线定理三：相互垂直的两直线，其中一条直线平行于投影面时，则两定理三：相互垂直的两直线
32、，其中一条直线平行于投影面时，则两条直线在该投影面上的投影仍反映直角。条直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在一投影面上的投影反映直角，且其中一条直线平定理四：两直线在一投影面上的投影反映直角，且其中一条直线平行于该投影面，则空间两条直线的夹角必是直角。行于该投影面，则空间两条直线的夹角必是直角。cOXbacbaABAB垂直于垂直于AC,AC,且且ABAB平行于平行于H H面面,则有则有ab ab ac acABAB垂直于垂直于AC,AC,且且ABAB平行于平行于H H面面,则有则有ab ab ac ac 例题例题11过点过点A作线段作线段EF的垂线的垂线AB，并使并使AB平行于平
33、行于V 面面。bbf 例题例题22 过点过点E E作线段作线段ABAB、CDCD的公垂线的公垂线EFEF。feeb 例题例题33 作三角形作三角形ABC，ABC为直角，使为直角，使BC在在 MN上，且上，且BC AB =2=2 3 3。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa4.4.1 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法4.4.2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置4.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交直线两相交直线平面图形平面图形
34、c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法平面对一个投影面体的投影特性平面对一个投影面体的投影特性投影特性：投影特性：平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现。投影就把实形现。平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线。投影积聚成直线。平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面。投影类似原平面。积聚性实形性类似性平行平行A AB BC Cabc垂直垂直A AB BC Cabc倾斜倾斜A AC CabcB B 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投
35、影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面(V)V)铅垂面铅垂面(H)H)侧垂面侧垂面(W)W)正平面正平面(V)(V)水平面水平面(H)(H)侧平面侧平面(W)(W)侧垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面V VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面铅垂面铅垂面c c 铅垂面铅垂面abca b b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂
36、面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴及：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW Wc c 正垂面正垂面abca b b a 积聚性积聚性正垂面正垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴及：正面投影积
37、聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性X XO OY YH HY YW W类似性类似性c c 侧垂面侧垂面abca b b a 积聚性积聚性侧垂面侧垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另
38、外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW WX XY YZ ZH HV VW W侧平面侧平面正平面正平面水平面水平面投影面平行面投影面平行面a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。它在水平投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。Z ZX XO OY YH HY YW W积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性正平面正平面投影特性：投影特性：它在正面投影面上的投影反
39、映实形。它在正面投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性侧平面侧平面投影特性：投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。它在侧面投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW WX XY YZ ZH HV VW W一般位置平面一般位置平面
40、三个投影都为类似形。三个投影都为类似形。投影特性：投影特性：a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面与三个投影面都倾斜。平面与三个投影面都倾斜。a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？45Z ZX XO OY YH HY YW WA AB BM MQ QM MN NP P平面上的点和直线平面上的点和直线位于平面上的直线应满足的条件
41、：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线平面上取任意直线若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上若一直线过平面上的一点且平行于该的一点且平行于该平面上的另一直线平面上的另一直线，则此直线在该平，则此直线在该平面内。面内。abcb c a d d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a X XX X例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水
42、平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知例：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。面上取点的方法：面上取点的方法：d d通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取首先面上取线线kabca b c X Xk 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解baca k b
43、c X Xkddeeddeeeebckada d b c k b 已知已知AC为正平线，补全平行为正平线，补全平行四边形四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX Xmnmnrsrs1015ee4.5.1 平行问题平行问题 4.5.2 相交问题相交问题4.5.1 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。D DB BC CA AP P若：若：ABABCD则
44、：则：ABABPPn a c b m abcmn例例1 1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解d dX X正平线正平线例例2 2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX X直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 XOABa(b)CDEFGHcde(f)h(g)a b a(b)c cd de fe(f)g h h(g)当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平
45、面线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。必定平行。两平面平行两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另一若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ABAB；ACAC；则：则：P PQ Q 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。积聚性的那组投影必相互平行。XOe(f)Fh(g)GEHg fh(g)e(f)Oe h ABCacba b c acb两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 c f b d e a abcdefX Xf g
46、abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行 acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，已知已知ABCDEFMHABCDEFMH4.5.2 相交问题相交问题 直线与平面相交直线与平面相交 两平面相交两平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。共有点。直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1)(1)求直线与平面的交点。求
47、直线与平面的交点。(2)(2)判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。处于特殊位置的情况。例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析:平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn的交点即为的交点即为K点的点的水平投影。水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面
48、投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影还可通过重影点判别可见性。点判别可见性。平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1(2)21X Xkm(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析:直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 11 (2)X X 两平面相交两
49、平面相交 两平面相交其交线为两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。abcdefc f db e a m(n)例：求两平面的交线例：求两平面的交线
50、 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析：求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们的交线为一正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OX轴。轴。还可通过重影点还可通过重影点判别可见性判别可见性a abd(e)ebdh(f)cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析：平面平面DEFH是
