1、1 2-1 线性定常齐次状态方程的解 2-2 矩阵指数函数 2-3 线性定常系统非齐次状态方程的解 2-4 线性时变系统的解 2-5 离散时间系统状态方程的解 2-6 连续时间状态空间表达式的离散化2 状态转移矩阵的性质及求法 线性定常系统齐次方程的解 线性定常系统非齐次方程的解 连续时间状态空间表达式的离散化3设线性定常系统的齐次状态方程为：Axx若初始时刻t0的状态为x(t0)=x0,则自由解为：0)(0)(xetxttA 4设x(t)为t的矢量幂级数形式：kktbtbtbbtx2210)(证明：代入齐次状态方程：)(32221012321kkkktbtbtbbAtkbtbtbb0212!
2、2121bAAbb01Abb 01!11bAkAbkbkkk00)0(xxb11022)!2(xtAktAAtIkk022)!1!21(btAktAAtIkk020200!1!21)(tbAktbAtAbbtxkkkkAttAktAAtIe!1!21220)(xetxAt)()(0)(0txetxttA 51.状态转移矩阵2.状态转移矩阵的基本性质3.几个特殊的矩阵指数函数4.状态转移矩阵的计算 60)(0)(xetxttA Atet )()(00)(ttAett)()()(00txtttx状态转移矩阵x0 xt=t0t t0向量变换7x1x2x10 x20 x11x21x22x120t0=0
3、t1t2)()()(00txtttx2010)0(xxx)0()()(121111xtxxtx)0()()(222122xtxxtx8)()()(00txtttxx1x2x10 x20 x11x21x22x120t0=0t1t2)()()(1122txtttx)0()()()(1122xttttx)()()(2112tttt组合性2010)0(xxx)0()()(121111xtxxtx)0()()(222122xtxxtx9)()()(tt性质一)()()(0()0(ttt)()(t)()(ettA!2!2)1)(1(2222AAItAAtI11!2!222222AtAtAAAtI11)(!
4、)(!2)(22tAktAtAIkk10Itt)(性质二IttAkttAttAIkk)(!1)(!21)(22ettttA)()(11)()(1tt性质三根据性质一和性质二有：Itttt)()()(Itttt)()()()()(1tt所以系统的状态转移具有双向性12AttAt)()()(性质四根据定义：(t)与A矩阵是可以交换的kkAttAktAAtIet!1!21)(22AttAtAktAAtIAtAktAtAAtkkkk)()()!1(1!21)!1(1!21)(1122123213BtAttBAeee)(性质五对于nn矩阵，如果满足AB=BA则：332232233222232223322
5、)()33(!31)2(!21)()(!31)(!21)()(!31)(!21)(tBABBAABABAtBAItBABBABBAABABABAAtBBAABAtBAItBAtBAtBAIetBA左332232233223322)33(!31)2(!21)(!31!21!31!21tBABBAABABAtBAItBtBBtItAtAAtIeeBtAt右14)()()(020112tttttt性质六)()()(02)()()(0112020112tteeettttttAttAttA系统的状态转移过程可把多步状态转移等效为一步状态转移，或可将系统的一步状态转移分解成多步状态转移15)()(kttk
6、性质七)()()()()()(kteeeeettttkAttAAAAtAtAtk16（1）若A 为对角线矩阵，即nA2100neeeetAt21)(00则17证明：2222222121!21111ttttttennAt0000可得根据定义，将对角线矩阵A代入下式：kkAttAktAAtIe!1!21222222222211!211!211!211ttttttnn00tttneee210018（2）若A 能够通过非奇异矩阵予以对角化，即ATT1121)(TeeeTetnAt00则19证明：根据定义kkAttAktAAtIe!1!2122TeTTtAtAAtITTtATTtATATtTIeAtAT
7、tT1332213312211!31!21!31!211tATtTAteeTeT11所以1TTeetAt20（3）若A为约旦矩阵，即1000000)!2(110)!1(1!211)(212ttnttntteetnntJtnnJA111100则21证明：0000100000100001A222220000200000200012A322323300003000003300133AttntttntttiiiiiiniiiiiiiiiniiiiiiiiiAteetnteeetnetteetititntittititntittittitAtAAtIe000)!2(10)!1(1!21!1000!1)!
8、2(1!1!10!1)!1(1!1!21!1!1!31!2121200200010200332222A（4）若A为矩阵则tAtetttttecossinsincos)(23证明：矩阵A的特征值由下式：0)(22AI求得为jj21,根据线性变换，存在非奇异变换矩阵T,可将A化为对角矩阵，即jjATT001变换矩阵T求得为jjT11jjjT1211由性质（2）：tttteeeeeeejeeejeeejjeeeejjTTeettjtjttjtjttjtjttjtjttjttjttAtcossinsincos)(21)(21)(21)(21110011211241.根据eAt或(t)的定义计算kkAt
9、tAktAAtIe!1!2122252.变换A为约旦标准型ATT1（1）A特征根互异1TTeeAtAt（2）A特征根有重根ATTJ11TTeeJtAt263.利用拉氏反变换求eAt11)()(AsILteAt证明：0)0();()(xxtAxtx)()0()(sAXxssX齐次微分方程两边取拉氏变换即0)0()()(xxsXAsI所以01)()(xAsIsX对上式两边取拉氏反变换011)()(xAsILtx所以11)(AsILeAt274.应用凯莱-哈密顿定理求eAt（1）凯莱-哈密顿（Caley-Hamilton）定理定理设矩阵A为nn方阵，则A满足其自身的特征方程，即若0)(0111aaa
10、AIfnnn则0)(0111IaAaAaAAfnnn故IaAaAaAaAnnnnn012211同理：11221231012121120210212121231 101 0()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAAAaAaAaAa Aa AaaAaAa IaAa Aa AaaAaaaAaaa Aaa I+-=-+=-+=-+-+-+依此类推：An+2,An+3,均可用An-1,An-2,A,I的线性组合来表示28（2）化eAt为A的有限项An,An+1,均可用An-1,An-2,A,I的线性组合来表示kkAttAktAAtIe!1!2122112210)()()
11、()(nnAtAtaAtaAtaItaea0(t),a1(t),a2(t),an-1(t)均为时间的标量函数29（3）ai(t)的计算tnnnnntnntnnnetatatataetatatataetatatata112210121222210111212110)()()()()()()()()()()()(21 1）A的特征值互异时121210111211222211()1()1()1nntntntnnnna tea teatellllllllllll-轾轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌 根据凯莱-哈密顿定理，矩阵A满足自身的特征方程。而特征值也满足特征方程，即f()=0
12、;并且e t也可以表示为的有限项30tnnetatatata1111212110)()()()(2）A有重特征值时 设A的特征值中，1为m重特征值，m+1,m+2,n为单特征值。将上式依次对 1求导m-1次，得到tnnettan111)()!1(tnnettanntata12311132)()2)(1()(!3)(2tnntetantata1211121)()1()(2)(再将其余n-m个单特征值考虑在内，即tnnnnnnetatatata112210)()()()(tnmnmmetatatata111212110)()()()(131tnntnntnnettanettanntatatetan
13、tata111112311132211121)()!1()()2)(1()(!3)(2)()1()(2)(tnnnnntnmnmmnetatatataetatatata112210111212110)()()()()()()()(1ttttmtmnmnmmmnmnmmmnnnmmnmeeeetnetnntatatatata1111211112121112121112121111100)!2(1)!1(1111)1(100010000)()()()()(32用三种方法计算矩阵指数0410A330441 2AI由jj2,2 21得jjT2211jjT412141211tttteeeejeejeej
14、jeejjTTejtjtjtjtjtjtjtjtjtjtAt2cos2sin22sin212cos)(21)()(41)(214121412100221122222222221解变换矩阵为34解ssAsI414444144141)(222221sssssssssAsIttttAsILeAt2cos2sin22sin212cos)(1135解tteejjeejjjtjtjtjt2sin212cos41412121212122221100441 2AI由jj2,2 21得ttttttAIeAt2cos2sin22sin212cos04102sin2110012cos1036已知某系统的转移矩阵tt
15、Ateee2201211求矩阵A37解法解法1：ttAteee22012111)(210)211(211)(AsIsssstL20110)121(2121)2()(ssssssssAsI2010A3820102000112112222ttttee ee解：根据状态转移矩阵的性质AttAt)()()(得)t()t()t()t(A1ttAteee22011211解法解法2：392010200220 ee)t(A0tttt解：根据状态转移矩阵的性质)t(A)t(所以ttAteee22011211I)(0解法解法3：40已知二阶系统 的初态和自由运动的两组值如下，求系统的状态转移矩阵和状态系数矩阵 t
16、tttttteeteetx ,x ;eetx ,x211021202211Axx 41 ttttttteeteetx ,x ;eetx ,x211021202211解：由自由运动表达式 及题目给定的两组数据，可以得出)(x),t()t(x0011120222),t(teeteeteeeteeetttttttttt从而解出状态转移矩阵 ttttttttttttteeteteteeteeeteee),t(2421112220142 ttttttteeteetx ,x ;eetx ,x211021202211ttttttttttttteeteteteeteeeteee),t(24211122201进
17、一步解出其状态系数矩阵11430)t(At43 ttttttteeteetx ,x ;eetx ,x211021202211说明：说明：状态转移矩阵又称基本解矩阵，它的每一列都是基本解，即ttttttteetetetee),t(2420ttttetee2和tttteete24分别是初态 和 的解。Tex0101 Tex1002其它初态都可以看作是单位矩阵列向量的组合，所以其自由解应是基本解的相应组合。在本例中44 ttttttteeteetx ,x ;eetx ,x211021202211ttttttteetetetee),t(2420 ;eeteeteteteetx ,eextttttttt
18、2242221201211 ;eeteeteeteteteetx ,eextttttttttt2242110221245线性定常系统，在控制信号作用下，其状态方程为：)()()(tButAxtx若初始时刻t0的状态为x(t0)=x0,则非齐次状态方程的解为：dButtxtttxtt0)()()()()(00当t0=0，x(t0)=x0时，则有dButxttxt00)()()()(46v 直接法直接法)()()(tButAxtx对上式两边在t0，t 闭区间内积分，得ttttAAdBuedxedtd00)()()()()(tButAxtx)()()(tBuetAxtxeAtAt即)()(tBuet
19、xedtdAtAtdBuexettAttA00)(|)(dBuetxetxettAAtAt00)()()(0dBuetxetxtttAttA00)()()()(0)(即dButtxtttxtt0)()()()()(00AtAtAe)e(dtd47v 拉普拉斯法拉普拉斯法)t(Bu)t(Ax)t(x)()()0()(sBUsAXxssX)()0()()(sBUxsXAsI)()()0()()(11sBUAsIxAsIsX 两边取拉普拉斯变换，可得上式两边左乘(sI-A)-1，可得)t(uL)s(U)t(L)AsI(1 dButLsBUAsIt)()()()(01 因为 所以 整理得到d)(Bu)
20、t()t(x)tt()s(BU)AsI(L)(x)AsI(L)t(xtt0001111048)()()(tButAxtxdButtxtttxtt0)()()()()(00自由运动项强迫运动项+49v 单位脉冲响应单位脉冲响应0,0,0)(ttt001)(dtt系统状态方程的解：系统的输出响应BK)t(C)(x)t(C)t(Cx)t(y0当t0=0，x(0)=0时，得系统单位脉冲响应为BK)t(C)t(h0)0(),()(xxtKtuBKexedBKexedBKexetxAtAttAAtttAAt000)(00)(0)()()(50v 单位阶跃响应单位阶跃响应0)0(),(1)(xxtKtu系统
21、状态方程的解系统的输出响应BKItCAxtCtCxty)()0()()()(1BK)Ie(AxeBKeAexeBK)de(exed)(BKexe)t(xAtAttAAtAttAAtAtt)t(AAt100100000151v 单位斜坡响应单位斜坡响应0)0(),(1)(xxtKttu系统状态方程的解系统的单位斜坡响应为BtAAtACxtCtCxty122)()0()()()(BKtAIeAxeBKeIAtAxeBKeAtAxeBKdeeAxeBKdeAxedBKexetxAtAtAtAtttAAtttAttAAtttAAtttAAt1201100)(1100)(0)(100)(100)(0)()()(522-3,2-4(1),2-5(4)2-62-7
