1、1概率论与数理统计第第三三章章随机变量及其分布随机变量及其分布2第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.1 1 随机变量的概念随机变量的概念 v前面我们研究了随机事件及其概率，本章我们将在这个基础上进一步研究随机变量及其分布.v现在先研究随机变量的概念，它是概率论中最基本的概念之一.v在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.3v在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.v例如，考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这个量可能取的值为0,1,2,；v测试灯泡的寿命，这个量可能在00,+)中取值.v再如，在n次打靶试验中，要观察击中目标的次数，这个量可
2、能取的值为0,1,2,n；v在测量某物体长度的试验中，要观察测量长度与标准长度的偏差，这个量可能在(,+)中取值.4v当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.v例如掷一枚匀质的硬币，观察正反面出现的情况这个随机试验，它的样本空间S是正与反的不同组合.v初看起来这个现象与数值无关，但是我们可以用下面的方法使它与数值联系起来：v更一般地，在伯努利试验中，用“1”表示成功，用“0”表示失败.v于是，对试验结果不是数值的情况，我们可用一定的方法将它们数量化，也用数量来描述.v当出现正面时用“1”表示，而出现反面时用“0”表示.5v在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数量X来表示，那么X就具有这样
3、的特点：v随着试验的重复X可以取不同的数值，并且在每次试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言，是带随机性的数量，由此，自然地称X为随机变量随机变量.v由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的，因此，X是基本事件e的函数，即X=X(e).v例如，在1.11.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观察正反面出现情况这个随机试验中，样本空间S=正，反.v若用X表示试验结果，并按上述的方法数量化，那么X就是基本事件的函数：6.,0,1)(当反面出现当正面出现eXXv在1.11.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个随机试验中，样本空间 S=0,1,2,.v若用X表示呼叫次数，那么X=X
4、(e)=e(eS)也是基本事件的函数.7v由上所述，可以得到如下的随机变量的定义.v定义定义3.13.1 设E是随机试验，它的样本空间是S，如果对S中的每个基本事件e，都有唯一的实数值X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量随机变量，简记为X.v引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量来描述了.v例如，设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，则v“0X3”表示“呼叫次数不超过三次”的事件；v“X5”表示“呼叫次数大于5”的事件.8v若.,0,1)(当反面出现当正面出现eXXv则“X=1”表示事件“正面”，v而“X=0”表示事件“反面”.9v不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义
5、函数,0,1)(AeAeeIA当当v称IA(e)为A的示性函数.v显然，IA是一个随机变量，当“IA=1”就表示事件A.v于是，对事件的研究就可以转化为对随机变量的研究了.v由此可见，随机变量的概念的引入是很重要的.v以后我们还会看到，由于引入了随机变量，数学分析的方法就可用来研究随机现象了.10v在上面遇到的随机变量中，有的随机变量所能取的值是有限个(如在n次打靶试验中，中靶的次数)，有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数)，这两种随机变量统称为离散型随机变量离散型随机变量.v象灯泡的寿命和物体长度这样的随机变量，它们所取的的值连续地充满一个区间，以后将
6、它们称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量中的最重要的类型.v下面先讨论离散型随机变量.11第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.13.2.1 概率分布列概率分布列 v如前所述，最多取有限个值或可列无穷多个值的随机变量X称为离散型随机变量离散型随机变量.v设X的所有可能取的值为x1,x2,xk,.12v为了掌握随机变量X的统计规律，只知道它可能取的值是远远不够地(例如掷非均匀的色子)，更主要的，还要了解它取各个可能值的概率是多少.v若事件“X=xk”的概率为pk，即P(X=xk)=pk，k=1,2,v则上式不仅告诉了我们X所
7、能取的值，而且还指出了它以多大的概率取这些值.v所以这样的式子把随机变量取值的概率规律完整地描述出来了.v我们称这样的式子为离散型随机变量的概率分布列概率分布列或简称为分布列分布列，又称分布律分布律.13v它也可以用表格的形式直观地表达如下：Xx1x2xkPp1p2pkv由概率的基本性质可知，对任一分布列都有下面两个性质：v()pk0，k=1,2,；v().1kkp14v反之，满足上述两条性质的数列pk，也可以作为某一个离散型随机变量的分布列.v下面介绍几种常见的分布列15v例例 自动化生产线在调整后出现废品的概率为p，在生产过程中出现废品立即进行重新调整，以X表示两次调整之间出现的正品数，求
8、X的概率分布？v解解 X的概率分布为X 01kP v或P(X=k)=(1p)kp，k=0,1,，0p1，q=1p.16v验证v(1)显然P(X=k)0，k=0,1,；v(2).1)1(1111)(000ppppppkXPkkkkk17v例例 设随机变量(以后简记为r.v)X的概率分布为,2,1,!)(1kekAkXPv求常数A.v解解 由分布列的性质)1(!1!111111eAekAeekAkkv因此.1eeA18第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.23.2.2 0 01 1分布分布(伯努利分布、两点分布伯努利分布、两点分布
9、)v设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=q，0p1，q=1pv则称X服从0 01 1分布分布或伯努利分布伯努利分布，也称两点分布两点分布，记为XB(1,p).19v0 01 1分布分布的表格形式为X01Pqpv显然，伯努利试验可用0 01 1分布来描述.20第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.33.2.3 二项二项分布分布(binomial distribution)v设随机变量X分布列如下：knkknqpCkXP)(k=0,1,2,n，0p1，q=1p.v则称X服从二项二项分布分布
10、(参数为n，p)，常用记号 XB(n,p)表示.21v特别地，当n=1时，二项分布的表达式成为P(X=k)=pkq1k，k=0,1 v此即为01分布.v由前面的定理可知，在n重伯努利试验中，成功的次数X是服从二项分布的.22v对二项分布来说，概率分布列的两个性质也都成立.v因为 nkqpCkXPknkkn,2,10)(又 1)(00nkknkknnkqpCkXPv故分布列的两个性质都成立.23v例例1 1 设有N件产品，其中有M件次品，现进行n次有放回的抽样，每次抽取一件.求这n次中共抽到的次品数X的概率分布？v解解 由于抽样是有放回的，因此这是n重伯努利试验.若以A表示一次抽样中抽到次品这个
11、事件，则p=P(A)=M/N.v故XB(n,M/N)，即nkNMNMCkXPknkkn,1,0)1()()(24v下面我们来考察二项分布的概率分布列表达式随着k取值的不同而变化的情况v先看一个例子v例例1 1 设有20台机床，独立地各加工一件齿轮，若各机床加工齿轮的废品率都是0.2，求得到的20件齿轮中没有废品，恰有一件废品，以及全部都是废品的概率各为多少？v解解 此例可看作是n=20的伯努利试验问题.设X表示20件齿轮产品中的废品个数，则XB(20,0.2)，于是问题即要求:20,2,1,0)2.01()2.0()(2020kCkXPkkk25v我们将计算的结果列于下表：X0123456P0
12、.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X789101120P0.055 0.022 0.007 0.002 0.0000.00026v表中当时k1111，P(X=k)0.001.v为了对此结果有个比较直观的了解，可以将表中的数据用图形来表示(图3.1)P04k816202613579 101113121514181719图3.127v从图中我们看到:v概率P(X=k)先是随着k的增加而单调上升，当k增到4时P(X=k)取得最大值0.218，然后P(X=k)再随k的增加而单调下降.v一般对于固定的n和p，二项分布B(n,p)都具有这一性质.v事实上，因为
13、28v事实上，因为nkkqkpnkqpknqpCqpCkXPkXPknkknknkkn,2,1)1(1)1()1()(11129v故当kP(X=k1)，此时P(X=k)随着k的增加而单调上升；v当k(n+1)p时，P(X=k)m时，Cmi=0.v由上式所确定的概率分布称为超几何分布超几何分布.36v由前面的讨论可见二项分布可以用来描述有放回的抽样，而超几何分布可以用来描述不放回的抽样.v虽然二项分布与超几何分布二者并不相同，但当抽取对象总数N很大，而抽取的次数n相对很小时，它们的差别是很小的，就是说在一定的条件下，超几何分布可以用二项分布来逼近.37v不难证明下面的定理v定理定理3.13.1
14、设在超几何分布中，n是一个取定的正整数，而 10,limppNMNv则nkppCCCCknkknnNknMNkMN,1,0)1(lim38v由上面的结果可见，对固定的n，当N充分大时，有),min(,1,0)1(nMlkppCCCCknkknnNknMNkMv在实际中，一般当n0.1N时，就可用这个近似公式.v由于有专门的二项分布表可查，因此就可以大大节省计算的工作量了.39v3.2.63.2.6 几何分布几何分布(geometric distribution)v设在伯努利试验中，每次试验成功的概率均为p(0p1).今独立重复试验直到出现首次成功为止.若设X为所需试验的次数，则X是一个离散型的
15、随机变量，其可能取的值为1,2,k,v事件X=k相当于“第一次试验不成功，第k1次试验不成功，第k次试验成功”.v由于试验是独立进行的，而每次试验成功的概率为p，不成功的概率1 1p，故X的分布列为,2,1,)(1kpqkXPkv这个概率分布称为几何分布几何分布.40第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 v对离散型随机变量，可以用分布列来描述它，但对于非离散型的随机变量，由于它可能取的值不可数，所以想用分布列来描述它是不可能的.v例如，灯泡的寿命X就是一个可以在某一个区间上任意取值的随机变量，它的值就不是集中在有限个或可列无穷多
16、个点上，因此，其概率规律就不能用分布列来描述了.这时，只有确知X在任一个区间上取值的概率才能掌握它取值的概率分布规律.41v由于对任意实数x1x2有P(x1Xx2)=P(Xx2)P(Xx1)v故研究X落在一个区间上的概率问题，就转化为对任意的实数x求概率P(Xx)的问题了.v而P(Xx)是x的函数，从而导出下面的定义：v定义定义3 3.2 2 设 X为一个随机变量，称FX(x)=P(Xx)v为X的分布函数分布函数，其中x为任意实数.v由分布函数的定义，事件“x1Xx2”的概率可写成P(x1Xx2)=FX(x2)FX(x1)42v分布函数是一个普通的函数，正是由于这个缘故，我们能用数学分析的工具
17、来研究随机变量.v例例1 1 设随机变量的分布列为 X123P1/21/31/6v求 X的分布函数.43X123P1/21/31/644v解解 由分布列可知：v当x1时，FX(x)=P(Xx)=P()=0；v当1x2时，FX(x)=P(Xx)=P(X=1)=1/2；v当2x3时，FX(x)=P(Xx)=P(X=1)+P(X=2)=5/6；v当x3时，FX(x)=P(Xx)=P(S)=1.v于是的X分布函数为 .3,1,32,65,21,21,1,0)(xxxxxF45vFX(x)的图形如图3.2所示.x0F(x)1231/25/61图3.246v由图3.2可以看出，FX(x)的图形是一条阶梯形
18、曲线，该曲线在x=1,2,3处，分别有跳跃值1/2,1/3,1/6.该阶梯形曲线的台阶的个数等于取值的个数+1，跳跃点为取值点，跃度为取相应值的概率.v一般地，设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk，k=1,2,v则X的分布函数可以通过下式求得xxkkxXPxXPxF)()()(v其中和式是对所有满足xkx的k求和.分布函数在X=xk处具有跳跃值pk.47v例例2 2 向区间(a,b 内任意掷一质点，设此试验是几何概型的，求落点的坐标X的分布函数.v解解 由题意可知：v当xa时，FX(x)=P(Xx)=P()=0；v当axb时，FX(x)=P(Xx)=P(aXx)=(xa)/(ba)
19、；v当xb时，FX(x)=P(Xx)=P(aXb)=1.v于是的X分布函数为 .,1,0)(bxbxaabaxaxxF48vFX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.abx1F(x)图3.349v分布函数具有如下的性质：v()当0F(x)1时，x+；v()对任意的x1x2，有F(x1)F(x2)，即F(x)是单调不减的；v()0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFxv()F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的.v可以证明，若某一个函数F(x)满足上面的性质，则必存在一个随机变量X以F(x)为其分布函数.50v分布函数的性质()、()可由概率的定义和性质直接得到，而性质()、
20、()的证明，则需要较多的数学工具.v这些性质的正确性，可由前面的两个例子得到很好的验证.51第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.4 4 连续型随机变量连续型随机变量(continuous)v3.4.13.4.1 连续型随机变量、概率密度连续型随机变量、概率密度v若随机变量X的分布函数F(x)是可微的，则其导数 0lim)()(lim)()(00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx52v如果将概率比作质量，类似于物理学中质量线密度的概念，人们自然称f(x)为随机变量X的概率密度.v若f(x)还是连续的，则有 xdttfxF)()(v一般地，随机变量X的分布函数F(x)当然
21、不一定处处可微，但在实际中常遇到这样一些随机变量，也存在一个非负的函数f(x)使上式成立.53v例如，上节例2中的随机变量的分布函数.,1,0)(bxbxaabaxaxxFv在除了x=a与x=b两点外，均有导数，如令 ,0,),()(baxbaxxFxf或等于和不等于54v即.,0,1)(其它bxaabxfv则xdttfxF)()(55v为了描述这一类随机变量的概率分布律，引入下面的定义v定义定义3 3.3 3 设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在一个非负的函数f(x)，使得对任意的实数x，都有 xdttfxF)()(v则称X为连续型随机变量连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密概率
22、密度函数度函数，简称概率密度概率密度.56v由连续型随机变量的定义，再根据积分学的知识，可以得到下面的两个结果：v(a)在整个实数轴上，F(x)是连续的函数，即连续型随机变量的分布函数一定是连续的；v(b)对f(x)的连续点x，有 F(x)=f(x).v前面的两个式子表示了分布函数和概率密度之间的两个关系，利用这两个关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个.57v概率密度f(x)具有如下的性质：v()f(x)0；v()1)(dxxfv()dxxfxFxFxXxPxx21)()()()(1221v概率密度f(x)上面的性质，可以分别由概率密度的定义，分布函数的性质直接得到.58v性质(
23、)、()是概率密度的基本性质，可以证明满足性质()、()的函数f(x)，一定是某一个随机变量X的概率密度.59v根据概率密度f(x)的基本性质()、()、()，可以画出函数f(x)的图形如下图3.4.f(x)xOy=f(x)图3.460v在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1；f(x)xOy=f(x)图3.461v以(x1,x2 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B，表示概率P(x1Xx2)的值.xOf(x)y=f(x)x1x2B62v以(,x 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A，表示F(x)的值.xOf(x)y=f(x)
24、Ax63v图3.4中以(x,x+x 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C，表示概率P(x064xx+xx1x2xOf(x)ABC图3.465v在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1；v以(x1,x2 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B，表示概率P(x1Xx2)的值.v这就是性质()、()、()的几何说明.v以(,x 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A，表示F(x)的值.这就是连续型随机变量的分布函数与概率密度之间关系式的几何说明.66v图3.4中以(x,x+x 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C，表
25、示概率P(xXx+x)的值.v若y=f(x)在x处连续，则 dxxfdttfxxXxPxxx)()()(v因此，概率密度 f(x)的数值反映了随机变量X取x的邻近值的概率的大小.v但要注意，对连续型随机变量而言，概率P(X=x)不能描述随机变量X取x值的概率分布规律，因为对任何的x值，总有P(X=x)=0.67v事实上，设X的分布函数为F(x)，则有 0P(X=x)P(xx0.v由于连续型随机变量的分布函数是处处连续的，所以0)()(lim0 xxFxFxv而前式的左端与x无关，故得 P(X=x)=0.68v由于连续型随机变量取个别值的概率为0，因此想用列举连续型随机变量取某个值的概率来描述这
26、种随机变量不但作不到，而且也毫无意义.v此外，当计算连续型随机变量落在某一个区间的概率时，区间是否包含端点，是无需考虑的.v由对连续型随机变量有P(X=x)=0v可知，一个事件的概率等于零，这个事件不一定是不可能事件；同样，一个事件的概率等于1，这个事件也未必是必然事件.69v例例1 1 设连续型随机变量X的概率密度为.0,0,0,)(2xxAexfxv求(a)常数A；(b)FX(x)；(c)P(X1).v解解:(a)A=2.70v解解:(a)202)2(2)(120202AeAxdeAdxeAdxxfxxx71v解解:(b)0,10,00,20,0)()(202xexxdtexdttfxFx
27、xtx72v解解:(c)2102222110121)1()1()1(eeedxeeFXPXPxxv下面介绍几种重要的连续型随机变量:均匀均匀分布分布、指数指数分布分布、正态正态分布分布73第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.4 4 连续型随机变量连续型随机变量 v3.4.23.4.2 均匀均匀分布分布(Uniform distribution)v设连续型随机变量X的概率密度为)(.,0,1)(babxaabxf其它v则称随机变量X在区间 a,b 上服从均匀分布(图3.5)，记为XU a,b.74Oax1/(b-a)f(x)b图3.575v由分布函数与概率密度之间的关系式
28、xdttfxF)()(v可得在区间 a,b 上服从均匀分布的随机变量X的相应分布函数为.,1,0)(bxbxaabaxaxxFvF(x)的图形见图3.3.76vFX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.Oabx1F(x)图3.377v由于 f(x)0，且11)(dxabdxxfbav故均匀分布的概率密度f(x)满足概率密度的性质()、().78v若XUaa,bb，(x1,x2 为 a a,bb中的任意一个子区间，则有)(11)(122121xxabdxabxXxPxxv这说明X落在 a a,bb中的任意一个子区间上的概率与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，属于几何概率；故X落在长
29、度相等的各个子区间的可能性是相等的.这个结果也可由图3.5直接看出.“均匀分布”中的“均匀”就是“等可能”的意思.79v在实际问题中，服从均匀分布的例子是很多的，例如：v(a)设通过某站的汽车10分钟一辆，那么乘客的候车时间就是在 0,10 上服从均匀分布的随机变量；v(b)某电台每隔30分钟发出一个信号，我们随手打开收音机，那么我们的等待时间就是在 0,30 上服从均匀分布的随机变量；v(c)在计算机中的舍入误差X，是一个在(0.5,0.5)v上服从均匀分布的随机变量；v(d)随机投一根针在坐标纸上，它和坐标轴的夹角X是一个在 0,上服从均匀分布的随机变量.80第三章第三章 随机变量及其分布
30、随机变量及其分布 v3 3.4 4 连续型随机变量连续型随机变量 v3.4.23.4.2 指数指数分布分布(Exponential distribution)v若连续型随机变量X的概率密度为.0,0,0,)(xxexfxv其中是正常数，则称随机变量X服从参数为的指数分布指数分布，记为XE().81v由分布函数与概率密度之间的关系式 xdttfxF)()(v可得服从参数为的指数分布的随机变量X的相应分布函数为.0,0,0,1)(xxexFx82v由于 f(x)0，且10)(0 xxedxedxxfv故服从参数为的指数分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质()、().83v指数分布有
31、重要的应用，常用它来近似地表示各种“寿命”的分布.v下面给出一个导出指数分布的实际例子.v例例2 2 设已使用了t t小时的电子管在以后的t t小时内损坏的概率为t t+o(t t)，其中是正常数，o(t t)是t t的高阶无穷小.若电子管寿命X为零的概率为零，求X的概率分布密度.v解解 使用了t t小时以后的电子管在以后的t t小时内损坏的概率，就是条件概率P(t tt t)v按题意有P(t tt t)=t t+o(t t)84v由条件概率的定义，式P(t tt t)=t t+o(t t)v左端为)(1)()()(1)()()()(tFtFttFtXPttXtPtXPtXttXtPv代入式P
32、(t tt t)=t t+o(t t)，得)()(1)()(tottFtFttF85v即)()(1)()(ttotFttFttFv令t t0，得)(1)(tFtFv这是关于F(t)的可分离变量的微分方程或一阶线性微分方程，它的通解为.1)(tCetFv其中C为任意的常数.86v根据初始条件0|)(0ttFv得到C=1.于是)0(1)(tetFtv故X的分布函数为.0,1,0,0)(tettFt87v从而 X的概率分布密度为.0,0,0,)(ttetftv由上可知，电子管寿命X是服从参数为的指数分布的.88第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.5 5 正态分布正态分布(Nor
33、mal distribution)v连续型随机变量中，最重要的分布是正态分布，也称高斯分布(Gauss).v定义定义3 3.4 4 若连续型随机变量X的概率密度为xexfx222)(21)(89v定义定义3 3.4 4 若连续型随机变量X的概率密度为xexfx222)(21)(v其中，为常数，且0，则称X服从参数为，的正态分布正态分布，也称为正态变量，记为XN(,2).),(2NXv下面首先验证服从参数为，的正态分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质()、().90v显然，f(x)0，只需证明 1)(dxxfv证证 令t=(x)/，则dtedxedxxftx22)(2222121
34、)(91v而 dudteduedtedteututt22222222222sin,cos2020022 dddeut令92v故 222dtetv代入前式得到 1)(dxxfv故服从参数为，的正态分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质.证毕.93v利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(图3.6).xOf(x)图3.694v当x=时，f(x)取最大值，y=f(x)的曲线关于直线x=对称，曲线y=f(x)在x=处有拐点.当x时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线.-+xOf(x)21x95v利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(图3.6).v当x
35、=时，f(x)取最大值，y=f(x)的曲线关于x=成对称，在x=处有拐点.当x时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线.v当固定值而改变值时，y=f(x)的图形将随着值的增大而沿着Ox轴向右平移，且不改变其形状；v当固定值而改变值时，y=f(x)的图形将随着值的减少而变得越陡峭，且对称中心不变(图3.7).96-+xOf(x)21x图3.697v当固定值而改变值时，y=f(x)的图形将随着值的增大而沿着Ox轴向右平移，且不改变其形状.xO21f(x)98xOf(x)=1=2=1/2v当固定值而改变值时，y=f(x)的图形将随着值的减少而变得越陡峭，且对称中心不变(图3.7).99v由分布函数与概率密
36、度之间的关系式xdttfxF)()(xexfx,21)(222)(v可得X的分布函数为xtdtexF222)(21)(v它的图形见图3.8，在图3.6中阴影部分的面积为 F(x).100O1/21xF(x)图3.8101图3.6-+xOf(x)21x102v下面介绍一个重要的特殊情况v若正态分布N(,2)中的参数,分别为0,1时，则得到N(0,1)，称它为标准标准正态分布正态分布.v标准正态分布对应的概率密度和分布函数分别用(x)与(x)来表示，即 xexx,21)(22xdtexxt,21)(22103xO(x)2221)(xex104v由 (x)的表达式可知，(x)是偶函数，即(x)=(x
37、)v进一步(x)=1(x)v故对(x)及(x)来说，当自变量取负值时所对应的函数值，可用自变量取相应的正值时所对应的函数值来表示.105(x)=1(x)v这是因为)(1)()()()()(xduuduuduuutdttxxxx令106v一般的正态分布N(,2)的分布函数F(x)与标准正态分布的分布函数(x)，有下面的关系:)()(xxFv这是因为xuxtduetudtexF22)(2222121)(令107v由一般的正态分布N(,2)的分布函数F(x)与标准正态分布的分布函数(x)的关系，对随机变量XN(,2)，可得到下面的结果：)()()()()(121221xxxFxFxXxPv其中x1
38、1x2 2是任意的两个实数.v这就是说，计算XN(,2)落在任意一个区间内的概率都归结为计算(x)的数值.为了计算方便，人们编制了x0的(x)的数值表，见附表2.108v例例1 1 设XN(,2)，k为任意的正常实数，求P(|X|1200)0.96v而)400()1200(XP117v故96.0)400(v查标准正态分布表得 76.1400v故27.227118)400()400(1 1)400(1)16001200(1)1200(1)1200(XPXP119v正态分布是概率论中最重要的分布，在实际中，许多随机变量都服从或近似服从这种“中间大，两头小”的正态分布.v例如，测量一个零件长度的测量
39、误差，向一个中心点射击的横向偏差或纵向偏差，电子管的噪声电流或电压，飞机材料的疲劳应力，海洋波浪的高度，农作物的亩产量，人的身高或体重等等，都服从正态分布.v正态分布不仅在实际应用中有重要的意义，而且在理论上也有很重要的意义，这将在后面的章节随机变量的数字特征与极限定理中说明.120v为了数理统计的需要，人们引入了标准正态分布N(0,1)的上侧分位数的概念.v设XN(0,1)，对给定的(00时)()()(abyFabyXPyFXY132v当a0时)(1)(1)()(abyFabyXPabyXPyFXYv由于FY(y)存在且连续，故 133(),0,()1(),0.XYXybFaaFyybFaa
40、若若134.0),(1,0),(1)()(aabyfaaabyfayFyfXXYY若若v总之)(|1)(abyfayfXY135v定理定理 设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g(x)是严格单调的连续函数，其反函数x=h(y)有连续的导数h(y)，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为|)(|)()(yhyhfyfXYv证明证明 不妨设y=g(x)是严格单调递增的连续函数，设Y的分布函数为FY(y)，则 136duuhuhfuhduhfdxxfyhXPyXgPyYPyFyXyXyhXY)()()()()()()()()()(v故Y为连续型的随机变量，其概率密度为|)(|
41、)()(yhyhfyfXY137v定理定理 设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g(x)在不相交的区间I1,I2,In上是严格单调的连续函数，反函数分别为x=h1(y),x=h2(y),x=hn(y)，它们都有连续的导数，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为niiiXYyhyhfyf1|)(|)()(138v例例3 3 设随机变量XN(,2)，求Y=aX+b(a,b为常数，a0)的概率密度？v解解:222222)(2)(|2121|1)(|1)(abayabyXYeaeaabyfayf139v故Y=aX+bN(a+b,a22)，这说明正态随机变量正态随机变量的线性函数
42、仍然是正态变量的线性函数仍然是正态变量.v例例4 4 设XN(,2)，求Y=(X)/的概率密度？v解解 2221)(yYeyfv故YN(0,1).v称Y=(X)/为X的标准化标准化.140v例例 (31.)设随机变量X的概率密度其它,00,2)(2xxxfXv求Y=sinX的概率密度？v解解 函数y=sinx在(0,/2)上严格单调递增，反函数x=h1(y)=arcsiny；v函数y=sinx在/2,)上严格单调递减，反函数x=h2(y)=arcsiny，故 141|)(|)(|)(|)()(2211yhyhfyhyhfyfXXY其它,0arcsin0,arcsin0,11)arcsin(21
43、1arcsin22222yyyyyy其它,010,122yy142v例例 (29.)设随机变量XN(0,1),求Y=|X|的概率密度？v解解;0),(,0),()|(|)()(yyXyPyPyXPyYPyFYv当y0时143v当y0时1)(2)()()()(yyyyXyPyFYv故.0,0,0,22)(22yyeyfyY144v最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：v（1）为求Y=g(X)的概率密度fY(y)，先求Y的分布函数FY(y)GXYdxxfyXgPyYPyF)()()()(v其中G=x|g(x)y；145v（2）若FY(y)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数
44、，则可以通过对FY(y)求导而得fY(y).v若FY(y)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换，将积分式化为如下的形式 yYduuhyF)()(v则)()(yhyfY146v例例5 5 设一质点M随机地落在以原点O为圆心R为半径的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求质点M的横坐标X的概率密度？(图3.11)xOyZM(x,y)R图3.11147v解解 设Z为x轴与OM的夹角，则由题意，Z在,+上服从均匀分布，概率密度为.,0,21)(其它zzfZv显然，X=RcosZ.下面求X的概率密度.148)(cos)cos()()(RxZPxZRPxXPxFX;0)(,0)(,xfxFRxXX时当;0
45、)(,1)(,xfxFRxXX时当149v当|x|R时)(arccos1)arccos()(arccos)arccos()(RxFRxFZRxPRxZPxFZZX150222211)(11)(arccos1)(11)arccos()()(xRRRxRxfRRxRxfxFxfZZXX151v故.,0,|,1)(22其它RxxRxfX152v例例(23.)设电源电压不超过200V，在200V240V和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,252)，试求v(1)该电子元件损坏的概率；v(2)该电子元件损坏时，电源电压在2
46、00V240V的概率.v解解 设A=“电子元件损坏”，Bi=“电源电压在第i档”，i=1,2,3，则v(1)31)|()()(iiiBAPBPAP1532.0252202401001.025220200252202401.0252202002.0)240(001.0)240200(1.0)200(XPXPXP1540641.02.0)7881.01(001.0)17881.02(1.0)7881.01(2.025201001.0252025201.025201550898.00641.0005767.0)()()|(22APABPABP156v解解 设A=“电子元件损坏”，Bi=“电源电压在第
47、i档”，i=1,2,3，则v(1)=P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)157v例例22.假设测量的随机误差XN(0,102)，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).v解解 设Y为测量误差的绝对值大于19.6的测量次数，则YB(100,p)，其中05.0975.022)96.1(22)96.1()96.1(1)6.196.19(1)6.19|(|查表XPXPp158v故所求的概率为1003100100)95.0()05.0()3(kkkkCYPv利用泊松
48、逼近定理875.0!510035kkek159v例例7.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初要至少库存多少此种商品才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上.v解解 设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意151!51)(1)(1)(99977.0NkkNkekkXPNXPNXP160v即00023.0!515Nkkekv查泊松分布表得N+1=15，v故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上.161v例例1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0pt)v而事件“Tt”表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故N(t
49、)=0，于是1730,1!0)(1)0)(1)(1)(0teettNPtTPtFttTv可见，T的分布函数为.0,0,0,1)(ttetFtTv即T服从参数为的指数分布.174v所求的概率为.)8()16()8()8,16()8|16(8816eeeTPTPTPTTPTTP175v例例21某地抽样结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩(即参数之值)为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.v解解 由题意有0.023(96)1(96)96721()241()P XP X 176242412()0.977,2,1.v故所求概率为17784726072(6084)()()1212()()122()12 0.8413 10.6826.PX 178v例例32设随机变量X的分布函数F(x)连续，且严格单调增加，求Y=F(X)的概率密度.v解解 设Y的分布函数为FY(y)，则v当y0时，FY(y)=P(Yy)=P()=0；v当y1时，FY(y)=P(Yy)=P(S)=1；v而当0y1时，yyFXPyXFPyYPyFY)()()()(1179v于是Y的概率密度为.,010,1)(其它yyfY
