1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为
2、了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.1111111000000000其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：111213142122232431323334aaaa
3、aaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表(1,2,;1,2,)ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 简记为简记为()()m ni
4、jm nijAAaa元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元.n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12(1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 1.行数与列数都等于行数
5、与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 .2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).3.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O.12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如：2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵4.形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵12000000n 12(,)nAdiag 记作记作100010001 记作记作 nE同型
6、矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵.例如例如1214356843739与与为同型矩阵为同型矩阵.2.两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B.()ijAa(1,2,;1,2,)ijijabim jn()ijBb 注意：不同型的零矩阵是不相等的注意：不同型的零矩阵是不相等的.00000000 0000.00000000例如例如 表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换
7、，其中其中 为常数为常数.四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.1122121200,
8、0110001,nnnnyxxxyxxxyxxx 例例 线性变换线性变换 1122,nnyxyxyx 称为称为恒等变换恒等变换.1122,nnyxyxyx 对应对应 100010001 单位阵单位阵 En1000对应对应 11,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincos 对应对应 11cossin,sincos.xxyyxy 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 111(,)P xy(,)P x y yx02 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半
9、年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc试求：工厂在一年内向试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量1112131421222
10、32431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac解：解：工厂在一年内向工厂在一年内向各商店发送货物
11、的数量各商店发送货物的数量 一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa
12、 知识点比较知识点比较111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 111311131113212321232123313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC()0AA ,()ABAB 设设 A、B、C 是同型矩阵是同型
13、矩阵设矩阵设矩阵 A=(aij)，记记A=(aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 1112212231324142bbbbbbbb 1112212231324142bbbbbbbb1112
14、212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：定义：数数 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 A 或或 A ，规定为，规定为111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaa结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律,
15、a b cR()()ab ca bc()abcacbc()()AA ()AAA()cabcacb()ABAB设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，,是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 111213212223313233aaaaaaaaa 知识点比较知识点比较111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa 其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家
16、商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量
17、解：解：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa1112212231324142bbbbbbbb以以 ci1，ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i=1,2,3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 11c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 1141kkka b 11
18、1212221332114422ca ba ba ba b1241kkka b 41 12233441ijijijijkkkijijca ba ba ba ba b (1,2,3;1,2)ij1112111213141112212221222324212231323132333431324142bbaaaaccbbaaaaccbbaaaaccbb 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中()ijm sAa ()ijs nBb ()i
19、jCc 1 1221sijijisijsjkkkijca ba ba ba b (1,2,;1,2,)im jn并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB 03410121211130,3110514121AB 例：例：设设567102621710AB 则则11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 知识点比较知识点比较11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 有意义有意义.没有意义没有意义.只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.312
20、321 10 3212 31 369246123 例例 P.35P.35例例5 5 2 22 224241236 2 21632816 2 22 224243612 2 20000 结论：结论：1.1.矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律.2.2.矩阵矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论,AO BOABO ABO AO BO 矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1)乘法结合律乘法结合律 ()()AB CA BC(3)(3)乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律()()A BCABACBC ABACA(2)(2)数乘和乘法的结合律数乘和乘法
21、的结合律 （其中（其中 是数）是数）()ABA B(4)(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即mmmnnnE AAEA推论：推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 EE 与任何与任何同阶方阵都是可交换的同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同纯量阵不同于对角阵于对角阵(5)矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义kkAAAA 显然显然,()klk lklklA AAAA 22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB 思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时
22、候成立？A、B可交换时成立可交换时成立四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT.例例122,458A 186,B 1425;28TA 18.6TB 转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质(1)();TTAA(2)();TTTABAB (3)();TTAA(4)().TTTABB A 例：例：已知已知 171201,423,.132201TABAB 求求解法解法11712014231322010143 ,171310AB 017()1413.3 10TAB 解法解法2()
23、TTTABB A 14221017720031413.13112310定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵.,1,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果满足如果满足 A=AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵反对称阵.对称阵对称阵 061607170A 反对称阵反对称阵 例：例：设列矩阵设列矩阵 X=(x1,x2,xn)T 满足满足 X T X=1，E 为为 n 阶阶单位阵，单位阵，H=E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT=E.证明：证明：(2)TTTHEXX2()TTE
24、XX(2)TTTEXX 2()TTTEXX2TEXXH 从而从而 H 是对称阵是对称阵 22(2)TTHHHEXX224(2)TTEXXXX 44TTTEXXXX XX44()TTTEXXX X X X44TTEXXXXE 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作|A|或或detA.运算性质运算性质(1);TAA(2);nAA(3);ABA B.ABBA证明：证明：要使得要使得|AB|=|A|B|有意义，有意义，A、B 必为同阶方阵，必为同阶方阵，假设假设 A=(aij)nn
25、，B=(bij)nn.我们以我们以 n=3 为例，构为例，构造一个造一个6阶阶行列式行列式111213212223313233111213212223313233000000000100010001aaaaaaaaaDbbbbbbbbb|AB11121311 1111 1211 1321222321 1121 1221 1331323331 1131 1231 13212223313233100000010001aaaa ba ba baaaa ba ba baaaa ba ba bbbbbbb 512 1cb c 111213212223313233111213212223313233000
26、000000100010001aaaaaaaaabbbbbbbbb 411 1cb c 613 1cb c 5222cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 11322131 12322231 133223313233100000010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4212cb c 6322cb c 11121311 111221133111 1212221332
27、11 131223133321222321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba b2333100000010000001000a b 5323cb c 11121311 11122111 12122211 13122321222321 11222121 12222221 13222331323331 1132
28、2131 12322231 133223313233100000010000001aaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba bbbb 4313cb c 6333cb c 11121311 111221133111 121222133211 131223133321222321 112221233121 122222233221 132223233331323331 113221333131 123222333231 133223aaaa ba ba ba ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba
29、 ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba ba ba b2333100000010000001000a b 111213111213212223212223313233313233100000010000001000aaacccaaacccaaaccc 25rr14rr36rr令令 ，则，则 C=(cij)=AB 31ijikkjkca b 3111213111213212223212223313233313233100000010000001000(1)aaacccaaacccaaaccc 11121311121321222321222331323331323
30、3100000010000001000aaacccaaacccaaaccc 从而从而 3|EC|C|AB ABA B 定义：定义：行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列ijaijA性质性质.AAA AA E|000|000|AAA 性质性质.AAA AA E证明证明 AA|A E 000|000|AAA 000000|AAA 00000|0AAA 11121
31、1121121222122221112nnnnmmmnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA 000|00|0|AAA|000|000|AAA（设（设A，B 为复矩阵，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵六、共轭矩阵运算性质运算性质当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记，称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.()ijAa ijaija()ijAa AA 2;AA 3.ABAB 1;ABAB3 逆矩阵矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘
32、法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵.从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以可以用等式用等式 a a1=1 来刻划来刻划.类似地，我们引入类似地，我们引入对于对于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 A，都有，都有nnnnnA EE AA定义：定义：n 阶方阵阶方阵
33、A 称为称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方阵阶方阵 B，使得，使得这里这里 E 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵.ABBAE根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的对于任意的 n 阶方阵阶方阵 A，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 B 是唯是唯一的（如果有的话）一的（如果有的话）.定义：定义：如果矩阵如果矩阵 B 满足上述等式，那么满足上述等式，那么 B 就称为就称为 A 的的逆矩阵逆矩阵，记作记作 A1.下面要解决的问题是：下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵在什么条件下，方阵 A 是可逆的？是可逆的？如果如果 A 可
34、逆，怎样求可逆，怎样求 A1？111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 结论：结论：，其中，其中*|AAA AA E定理：定理：若若 ，则方阵，则方阵A可逆，而且可逆，而且|0A 1*1.|AAA 推论：推论：若若 ，则，则 .|0A 11|AA 元素元素 的代数的代数余子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列ijaijA例：例：求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.abAcd 11dbAadbcca 例：例：求求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵.221315323A 解解：|A|=1，11121321222
35、33132337,6,3,4,3,2,9,7,4,MMMMMMMMM 则则1121311*1222321323331|AAAAAAAAAAAAA 112131122232132333MMMMMMMMM 749637324 方阵方阵A可逆可逆|0A 此时，称矩阵此时，称矩阵A为为非奇异矩阵非奇异矩阵容易看出：对于容易看出：对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果,ABE 那么那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.1*1|AAA 定理：定理：若方阵若方阵A可逆，则可逆，则|0A 推论：推论：如果如果 n 阶方阵阶方阵A、B可逆，那么可逆，那么 、与与AB也可逆，
36、且也可逆，且11(),AA 1A TA(0)A 11()(),TTAA 111(),AA 111().ABB A 线性变换线性变换 11111221221122221122,nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxa x 的系数矩阵是一个的系数矩阵是一个n 阶方阵阶方阵 A，若记，若记 1122,nnxyxyXYxy则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y=AX.例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 112233,xyXxYyxy221315323A 记记则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y=AX 求变量求变量
37、 y1,y2,y3 到变量到变量 x1,x2,x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵.已知已知 ，于是，于是 ，即，即1749637324A 112321233123749,637,324.xyyyxyyyxyyy 1XA Y 4 矩阵分块法矩阵分块法前言n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.n家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小
38、块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12211122AAAA 这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.111213141112131421222324212223243132333431323334,aaaabbbbA
39、aaaaBbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323233333434ababababABabababababababab11A12A21A22A11B12B21B22B1111AB 1212AB 2121AB 2222AB 分块矩阵的加法若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即11111111,rrssrssrAABBABAABB则有则有11111111rrsssrsrABABABABAB形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！1112131421222324313233
40、34aaaaAaaaaaaaa 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 11A12A21A22A分块矩阵的数乘11A 12A 21A 22A 若若 是数，且是数，且 1111rssrAAAAA 则有则有1111rssrAAAAA 形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 A为为m l 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵，把，把 A、B 分块如下：分块如下：11111211112121222221222122122121 ,trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllB
41、lBB 1112121222112,(1,;1,)rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC 121212strlmmmmnnnnlll 按行分块以及按列分块mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作若将第 j 列记作则12(,)Tiiiinaaa 1112112122221212,.TnTnnTmmmnmaaaaaaAaaa 12,jjjmjaaa 于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，若把 A 按行分块，把 B 按列块，则 1111222121122122(),TTTnTTTTnTTijm nnTTTmmmnmCcAB 12121,.jsj
42、Tijijiiisikkjksjbbcaaaa bb 分块矩阵的转置若 ，则例如：1111rssrAAAAA 1111TTsTTTrsrAAAAA 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaa 1121311122232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaa 分块矩阵不仅分块矩阵不仅形式上进行转形式上进行转置，置，而且每一个子而且每一个子块也进行转块也进行转置置分块对角矩阵定义：设 A 是 n 阶矩阵，若1.A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2.其余子块都为零矩阵，3.对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵例
43、如：112235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA分块对角矩阵的性质n|A|=|A1|A2|As|n若|As|0，则|A|0，并且12sAAAA 111121sAAAA 例例:设设 ，求，求 A1 解：解：500031021A 12500031021AOAOA1111(5),5AA 1223111,2123AA 111121/500011023AOAOA 例：例：往证往证 Am n=Om n的充分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ATA=On n 证明：证明：把把 A 按列分块，有按列分块，有于是于是那么那么即即 A=O 12(),ijm nnAa 1112212211222121,TTTnTTTTnTTTnTTTnnnnnA AO 122221212,0jjTjjjjmjjjmjmjaaaaaaaaa 120jjmjaaa
