1、1水葫芦生长及治理模型水葫芦生长及治理模型水葫芦生长及治理模型 周继顺 0018103复旦大学 03.04.022提出问题分析问题提出解决问题的方案利用数学方法解决问题应用举例模型改进3 水葫芦是50多年前从南美的巴西引进来的，是外来物种。它喜欢生长于温暖向阳及富含养分的水域中，无性繁殖能力特别强，每年的九、十月份是生长旺季。在适宜的条件下，每5天就能繁殖新株，也能开花结实产生种子而进行有性繁殖，一枝花大约结300粒种子。一公顷水面的水葫芦就能挤满200万株，重达300多吨。在上海，每年内河水域的水葫芦总量高达200万吨，覆盖了405.57平方公里中25%的水面。4 由于水葫芦在水中不及时打捞
2、上岸，会腐烂变臭，从而造成环境污染。上海的水葫芦污染已日趋严重，水域整治已迫在眉睫，在上海水域的水葫芦污染形成有以下几个原因。由长江上游及苏浙地区漂移而下。水葫芦自身强大的繁殖能力。水葫芦与周围的许多昆虫和病原菌建立了稳定的生态平衡关系。5w 河道堵塞w 航运受阻w 水质污染w 破坏生态6 由于上游的水葫芦也在不断繁殖，所以每天从上游漂移进上海的水葫芦的速度也不断增加，于是我们设流速为f(t)，而已在上海水域的水葫芦自身繁殖加速度与水域中水葫芦增加速度成正比，我们设为k v。而这个k的大小取决于此水域生态系统的大小。我们设水葫芦增加速度为v，这样我们可排出如下方程。)(tfkvdtdv+=7
3、由以上方程我们可以利用微分方程数值方法计算每一个t时刻，水葫芦增加量v的值，我们只需得到若干个v的值，就能利用数值积分方法计算水葫芦数量M。（见右边）-1;1*b)a,pp,ppval(int_Sspfnint(pp);int_ppy);spline(t,ppyt,：具体命令如下行积分之后我们对插值函数进进行样条插值我们先对这一组8 我们由假设可知流速函数f(t)必为递增的，且其一阶导数也为递增的。而k必为正值，那么可知v也为递增的。这样，水葫芦的增长必定越来越快，所以我们必须及时对它进行治理，否则其必将迅速蔓延，无法控制。以下我们将讨论如何治理。9截断上游漂移的水葫芦大力打捞漂浮在水域中的水
4、葫芦运用生物（如象甲）防治以降低水葫芦繁殖速度破坏水葫芦生态系统10 我们先使用打捞这一最简单的方法。设v(0)=10000吨/月，而流速f(t)为 吨/月,且k=0.5，每月可打捞4000 吨,那么我们可以得出方程如下：te500=+=10000)0(5.0500vvedtdvt11 使用RK4方法可观察到前十月的速度曲线从中可知单纯打捞是无济于事的，水葫芦的增长速度很快会超过打捞速度。12 再看利用生物防治方法，设象甲幼虫定期投放入水域，而随着幼虫的生长，其对水葫芦的食用量也越来越大，我们设其食用量为 ，则方程可写为：2500t10000)0(10005.0500vtvedtdvt13 使
5、用RK4方法可观察到前十月的速度曲线从中可知单纯生物治理也是没有什么作用的。14 由于破坏水葫芦生态系统只是单纯减少之前的系数，速度仍增长很快，所以也是没有很大作用的。从观察可知截断上游漂移的水葫芦可使方程中的 这一项没有，这样再使用以上方法就会有明显效果。te50015 我们在截断上游污染的前提下，使用8（1），8（3），8（5）三种方法。得到方程为：3.0,)0(10000取繁殖系数为生态系统被破坏后的kvvtvkdtdv16 我们也观察10个月的速度变化（取值如前），可以看出速度得到了控制，污染不会再蔓延了。17黄浦江中某水域现有水葫芦10万吨水葫芦繁殖系数0.5,生态系统破坏后为0.3
6、现今水葫芦增长速度为1万吨/月每月可打捞4000吨每批象甲虫食用水葫芦速度为500 吨/月2t18 在以上几点假设下，问二年内黄浦江中此水域能否完全消除水葫芦污染？我们先建立速度方程。10000)0(10003.0vtvdtdv19 我们通过 matlab命令ode45作出v在两年内的函数图象。（见右边）20 从图中可以看出当t=13时，水葫芦的增长速度几乎为0，即在第13个月时，我们就能控制水葫芦增长了。接下来我们就要计算能不能在余下的几个月中清理完已在水域中的水葫芦。21 要计算水域中的水葫芦数量，我们可以利用已学过的数值积分的Matlab命令。（具体操作见右边）5+4176943e2.4
7、6841372-1;1*0,13)pp,ppval(int_Mfnint(pp);int_ppy);spline(t,ppMatlabM可得：下键入：在22 则此时水域中有水葫芦M=3.4684137e+5吨。由于水葫芦增长速度为0，象甲虫由于食物量减少，从而其数量也会减少，那么象甲虫消灭水葫芦的速度也会相应减少，于是，我们要在此时再投入一批象甲虫，增加消灭水葫芦的速度。23 为计算方便，我们可假设第一批象甲虫消灭水葫芦的速度已和水葫芦繁殖速度相同。即我们可认为此时象甲消灭水葫芦速度为0，而水葫芦则不再繁殖，第二批象甲虫消灭水葫芦速度以1000 t速度递增，则可得方程：0)0(1000vtdt
8、dv24 解上述方程，并得到余下11个月的图象，并对其进行积分，可知在11个月内，象甲能在控制水葫芦繁殖之外再消灭2.2183333e+5吨水葫芦。25 这样还有1.250080390843610e+5吨水葫芦需要由环卫工人打捞，由简单计算可知二年内可捞 ，由于有近13万吨水葫芦要打捞，所以可知在两年内无法将水葫芦整治干净，必须加大打捞力度。如果每月打捞6000吨，即能在两年内清除水葫芦污染。（可见下页简图）吨96000244000 2610（10）27 由于我们完全不考虑上游漂浮来的水葫芦，得到的结果并不能完全反映实际情况，所以我们仍可考虑上游水葫芦的漂浮速度为f(t)。可得方程：0)0(1
9、000)(vvtvktfdtdv28 而也有一部分水葫芦流入大海中，我们设其速度与水葫芦增长速度有关，其速度增量为0.1v,设f(t)为1000 t，则有方程及图象：10000)0(10002.01000vtvdtdv29 右图中绿线为原方程曲线，蓝线为新方程曲线。从中可以看出实际上不需要二年时间就能完全治理好水葫芦污染。30 上海作为国际大都市,治理环境问题刻不容缓，而保护水资源是我们每个人的责任，相信只要我们人人树立保护环境的意识，不久的将来，黄浦江又会恢复清澈。31参考资料 以上资料皆为网上查得。数学内容参考微分方程数值解法、数值逼近。Matlab部分参考MATLAB工程计算及应用。32
