1、定理证明（1）1111121111111211122221,1,1 (,),11nnnnnnnnnnnnAA LULUD diag uuPD UPuuuuuuuuuuUuuuu 证：因 对称正定，其各阶顺序主子式均大于零，故有其中 为单位下三角矩阵，为上三角阵。令则 为单位上三角阵。TTTTTDPA LULDPAP DLLUPLA P DP故由分解的唯一性三、追赶法11112222211111 .iiiiinnnnnnnnnxdbcxdabcxdAxdabcabcxdabxd 在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组简记 此系数矩阵的非零元素
2、集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。111122231 0 0(2,3,1)01111(1,2,1)iiiiinnnnnibcbaca cinbauclucALUlcluc in 定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件：则它可分解为其中为已给出的，且分解是唯一的定理证明（1）11111111 ,(2,3,)0(1 2,)/(2,3,)iiiiiiiiiiiiiiiAbualuimbc luuimublauimubc l将上式右端按乘法规则展开 并与 进行比较 得如果，则由上式可得定理证明（2）11()111111111/(2,3,)kkkkkknn
3、nnnkkkkkGausekucucAabcabcabubcaukn按消去法步骤易得，经次消元后，三对角方程的系数矩阵变为其中。定理证明（3）11112221 2121 2121 21 2121 2121 2122221111(2)2 0.,00(1,2,)iAubbcbacbbbabcc abcbbc abbc abcc aubcubbbuAuinLU由于 满足定理所给条件，显然有又因为于是从而有故且矩阵仍满足定理条件。依此类推可得出。因此由上面公式唯一确定了 和。追赶法的计算公式11111111 /(2,3,)(2,3,)/:()/(1,2,1),iiiiiiikkkknnnkkkkkub
4、ALUla uimubc lydLydydl yknxyuUxyxyc xuknnGause分解公式：解得：再解得追赶法的基本思想与消去法及三角分解法相同只是由于系数中出现了大,量的零可使计算公式简化减少了计算量。可证当系数矩阵为严格对角占优时此方法具有良好的数值稳定性。5.向量和矩阵的范数一、向量范数:,1,0,00;()2,()3,nnxRxxxx x x x xy xy ,x yR 向量范数定义设对任意向量按一定的规则有一实数与之对应 记为若满足且当且仅当正定为任意实数齐次对任意 ()xx三角不等式则称为 向量 的范数向量范数例 )x(xxxnin12i212212 =+=1i11 nn
5、ixxxx,maxxmaxxxxnini11=1/1,pnpipixx 1111 -:1,2,(1,)maxmax maxmaxniiiiiii ni niii ni nx yRx y inxyxyxyxyxy 可验证上面范数均满足范数定义的条件。以范数为例满足条件显然。由于为向量，而其分量为实数，故有12 (1,2,3)6,3,14.,0,TnxxxxRm Mnxm xxM x例：计算向量的各种范数。解：如果中两个范数和，存在实数，使得对任意 维向量都有 ，则称这两个范数是等价的。对两个等价范数而言，同一向量序列有相同的极限。2221221122212222 12 max.max.2 ini
6、 njii nnjxxxxxxxxxxxxxxxnnxxxn 不难证明，范数，范数和 范数是等价的。例：设则范数和 范数等价。如不作说明，今后是指任意一种向量范数。二、矩阵的范数 1,0,00;()2,()3,()4 nAAAAA A A A AB AB ,A Bn ABABAA定义：对任意 阶方阵，按一定的规则由一实数与之对应，记为。若满足且当且仅当正定为任意实数齐次对任意两个 阶方阵三角，（相容性条件）则称为矩阵 的范数。1 max ()1 maxmaxnxijxxAnRAxAxAanxnAxxAxxxxAxAAxx定理：设 为 阶方阵，是中的向量范数，则 是一种矩阵范数，称其为由向量范数
7、诱导出的矩阵范数。证：设为任意 阶方阵，为任意 维非零向量。因为为范数是 的单位向量，故1111 10.0,max0.00 0.2 maxmax max.3,xxxxAAAAxAAxAxAAAxAxAxAnABAB ，显然若则反之，若，对任意两个 阶方阵 和，11111max()max max()maxmax .xxxxxAB xAxBxAxBxAxBxAB1111 4 .max()max()maxmax 5 xxxxnxAxAAxAxxABAB xA BxABxABxABnxAxAx，对任意 维非零向量,有 即 故有，对任意 维向量，都有。这一 性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。可由三种常
8、用的向量范数诱导出矩阵范数。矩阵范数例 211221max ,()TxijAAxA AAan其中是的最大特征值。又称为谱范数。设为 阶方阵。与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：111111maxmax ,1nijxjniAAxa 为矩阵的列向量的 范数的最大值称为矩阵的列范数。111m axm ax ,1nijxinjAA xa 为 矩 阵 的 行向 量 的 范 数 的 最 大 值 称 为 矩 阵 的 行 范 数。212*12 ,34 6,7,5.46./nRAAAAAAAAAAAAA如果将矩阵范数看作空间上的向量范数，则由向量范数的等价性可得矩阵范数的等价性。例：计算 的各种范数。解：矩阵
9、的误差可用矩阵范数表示：设是 的近似矩阵，、分别称为的关于范数的绝对误差与相对误差。矩阵A的谱半径1 (1,2,)()maxn niii nARinAA 定义：设的特征值为称为 的谱半径。(),A (,A()AAAAxxxAxxxAxAAA定理：为的任意矩阵范数5.误差分析一、矩阵的条件数1211221211225 22 .1.000012021.1.000012.000011 10,xxxxxxxxxxxx一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，即有扰动，从而使计算结果产生误差。例：方程组而方程组比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差1别，最大相对误差为但它们的解却大不相
10、同，解分2量1的相对误差至少为。2 AbAxbAAAxb定义：如果矩阵 或常数项 的微小变化，引起方程组解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵 称为“病态”矩阵（相对于方程组而言）。否则称方程组为“良态”方程组，称为“良态”矩阵。矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性。为了定量刻划方程组的“病态”程度，下面对方程组就系数矩阵或右端项分别有扰动的两种情形进行讨论。右端项b的扰动对解的影响111111 ,(),bbxxA xxbbAxbAxbxAbxAbAbAxbxAAAbAAbxbxbAAA设有 扰 动，相 应 解 的 扰 动 记 为即由，两 边 取 范 数又 因 为此 式 表 明 当 右
11、 端 项 有 扰 动 时 解 的 相 对 误 差 不 超 过右 端 项 的 相 对 误 差 的倍。系数矩阵A的扰动对解的影响11111111 ,()()()0()()1,11AAxxAAxxbA xA xxxAA xxAAxxAAAAAAAAxAAxAAAAAAAAA如果右端项无扰动，系数矩阵 有扰动，相应的解的扰动仍记为则如果充分小，使得则由上式得上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与有关。一般地，1越大，解的扰动也越大。条件数的定义-11-11max222min ,()(1,2 (1)()(2)A()().()vvvTTAAAcond AAAvAcond AAAA Acond AAAA
12、 AA综上分析可知 量实际上刻划了解对原始数据变化的灵敏程度 即刻划了方程组的“病态”程度。定义：设 为非奇异阵，称数或）为矩阵 的条件数。常用的条件数，有的谱条件数当 为对称矩阵时121 (),nncond AA，其中，为 的绝对值最大和绝对值最小的特征值。条件数的性质1122 1()1.()1.20 ()()3()1 ()vvvvvvvAcond Acond AAAA AIAccond cAcond AAcond AARcond RAcon、对任何非奇异矩阵，都有由定义、设 为非奇异矩阵且（常数），则、如果 为正交矩阵，则；如果 为非奇异矩阵，为正交矩阵,则22()().d ARcond
13、A3 1112111 231111121nHilbertnHnnnnH例：矩阵计算的条件数。133331333661112393630111 ,3619218023430180180111345(1)().11()408748.6()2.9 10.nHHHcond Hcond HHHcond HHn 解：计算条件数 同样可计算一般矩阵当 越大时，病态越严重。1122331122311111236111113 2 1234121471116034531.000.5000.333 0.5000.3330.2500.3330.2500.200 xxxxxxHbxxxxx（）考虑设及 有微小误差（取
14、位有效数字）有3331.831.080.783()().(1.0895,0.4880,1.491)TxHHxxbbxx简记为其解为3333 (1.0895,0.4880,1.491),(1,1,1)(0.0895,0.5120,0.4910)0.18 100.02%0.51200.182%51.2%1 50TTTxxxxHHbxbxHb由于 这表明 与 相对误差不超过0.2%，而引起解的相对误差超过.“病态”方程的经验判断 123 ,det()0,()(nAAAIAcond Acond计算条件数需要求矩阵的逆，因而比较困难。根据数值经验，在下列情况下，方程组常是“病态”的。（）在用主元素法时出
15、现小主元；（）如果 的最大特征值和最小特征值之比（按绝对值）是大的，则 是“病态”的。（）系数矩阵中有行（或列）近似线性相关，或系数行列式的值近似于零。但这不是绝对的，如当为很小的数时，有但)1,4IAA方程组状态良好。（）系数矩阵 元素间数量级相差很大，并且无一定规则可能“病态”。1 ;.,()().,AxbPAQyPbyQ xP Qcond PAQcond AP Q用选主元素的消去法不能解决病态问题，对病态方程组可采用高精度的算术运算或采用预处理方法。即将求解转化为一等价方程组选择非奇异矩阵使一般选择为对角阵或者三角矩阵。二、误差分析*12112112 22 1.00001201,1 Ax
16、bxxrbAxrxrxxxxxxxx在求得方程组的一个近似解 后，检验精度的一个简单方法是将 代入方程组求得残量（余量）。如果很小，就认为解 比较准确。但在“病态”严重的方程组，也有即使残差量很小，近似解与准确解的差仍很大的情形。上例中，方程组若以作为它的近似解，其残量5*(2,2)(2,2.00001)(0,10)(2,0)(1,1)(1,1)TTTTTTrxx很小，但解的误差却不小。*1*11*11 -().()().xxAxbx xrrxcond AxbbAxA xxxAbAxA rArxxArrrAAcond AbxbbA定理：设 和 分别是方程组的准确解和近似解，为 的残量，则证：因为所以由上式可看出，当方程组“病态”严重时，条件数很大，即使残量很小，解的相对误差仍可能很大。41 结束语结束语
