1、1第第7章章 杆的变形杆的变形分析分析 刚度计算刚度计算lld d7.1.1 拉压杆的变形和应变拉压杆的变形和应变lll 纵向变形纵向变形反映变形的大小。反映变形的大小。P P轴向线应变（轴向线应变（线应变、应变线应变、应变）ll 反映了杆件横截面上任一点沿轴向的变形程度。反映了杆件横截面上任一点沿轴向的变形程度。7.1 7.1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形2ddd 横向变形横向变形（了解）（了解）横向线应变横向线应变dd 实验表明：实验表明：材材料料的的弹弹性性常常数数。比比）。：横横向向变变形形系系数数（泊泊松松 横向变形横向变形第第7 7章章 杆的变形杆的变形分析分析 刚度计算刚度计
2、算7.1.1 拉压杆的变形和应变拉压杆的变形和应变7.1 7.1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形37.1.2 胡克定律胡克定律实验证明：在弹性范围内实验证明：在弹性范围内E材料拉压时的胡克定律。材料拉压时的胡克定律。EAlFlN EAFN ll EA：杆的杆的抗拉抗拉(压压)刚度刚度。反映了杆抵抗拉压变形的能力。反映了杆抵抗拉压变形的能力。当轴力、截面分段不同时，分别计算变形，再求代数和。iiiNiEAlFll轴力要代入符号。轴力要代入符号。4例：例：阶梯杆直径分别为阶梯杆直径分别为A1=4cm2，A2=8cm2，材料为，材料为Q235钢，钢，E=200GPa，求杆的总变形和最大轴向线应变。
3、，求杆的总变形和最大轴向线应变。40kN8kN20kN200200FN2=20kN EAlFliiN.mm0 10 0250 075FN1=40kN解：解：(1)分段求轴力，画轴力图。分段求轴力，画轴力图。（2）分别计算变形，求代数和。）分别计算变形，求代数和。FNx 40kN20kN112260kN（3）计算最大线应变。）计算最大线应变。ABmaxABABl.l 40 15 10200334 10200200 10400 3320 10200200 10800 BAC57.2 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算TpMddxGI TpMddxGI 相距相距 l 的两横截面的相
4、对扭转角的两横截面的相对扭转角:lTlpMddxGI0 在长为在长为 l 的轴上的轴上MT、GIP均为常量时：均为常量时：TpM lGI NF llEA （）的单位为的单位为radGIP称为圆轴的称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。7.2.1 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形若轴上各段若轴上各段MT、G和和IP 不同时，轴的总扭转角为不同时，轴的总扭转角为 T i iiPiM lG I MTi 代入符号代入符号6圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量 Dd 41324DIP yzDd Dd 41163DWP 抗扭转截
5、面系数抗扭转截面系数7解：解：0.8kNm1.5kNm例例7.2 阶梯轴如图，已知阶梯轴如图，已知AB段直径段直径d1=40mm，BC段直径段直径d2=70mm。材料的剪切弹性模量材料的剪切弹性模量G=80GPa。求钢轴。求钢轴A、C两个截面的相对扭转角。两个截面的相对扭转角。0.8m1mBAC0.8kNm2.3kNm1.5kNmMTxT AB ABABpMlGI T BC BCBCpMlGI ACABBC rad 63432701.5 1010000.007980 101800 0241 376.0 03190 00790 024.rad rad 634320.8 1080080 10400
6、.03198 单位为单位为 rad m TpMddxGI 刚度条件：刚度条件：7.2.2 圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算 根据载荷性质和工作条件等因素确定。根据载荷性质和工作条件等因素确定。对精密稳定传动对精密稳定传动对一般传动对一般传动对精度要求不高传动对精度要求不高传动 0.50.5 m 1 1 m 2 2 m刚度计算：刚度计算：刚度校核；刚度校核；设计截面；设计截面；确定许可载荷。确定许可载荷。max 工程实际中工程实际中 常用单位为常用单位为 m TmaxmaxpMGI180 注意：注意：单位：单位：Nm9例题例题 受扭圆轴承受的外力偶矩如图所示，已知轴的直径受扭圆轴承受的外
7、力偶矩如图所示，已知轴的直径d=80mm，材，材料的许用切应力料的许用切应力=40MPa，G=80GPa，1/m。试校核轴的强度和。试校核轴的强度和刚度。刚度。2kNm2kNm2kNm6kNm2kNm4kNm2kNm解：解：（1）画扭矩图）画扭矩图 TmaxMkNm4（2）校核强度：）校核强度：强度满足要求。强度满足要求。（3）刚度校核）刚度校核刚度满足要求。刚度满足要求。TmaxTmaxmaxPMMWd 316TmaxmaxpMGI180 MPa8.39801610436 49080.03210801804000 .m0 713 x MT10例例7.3 传动轴为钢制实心轴，传动轴为钢制实心轴
8、，60MPa，G=80GPa，1.51.5/m。要。要求按强度和刚度条件设计轴的直径。求按强度和刚度条件设计轴的直径。95Nm287Nm 286NmxMT95Nm解：解：TmaxMNm 287（3）由刚度条件：）由刚度条件：（2）由强度条件：）由强度条件：TmaxTmaxPMMWD316 TmaxTPDMMGIG432180180 TmaxMDmm.3331616 287 10293 14 60 432180TmaxMDGD 34mm取：取：D 3434mm（1）画扭矩图）画扭矩图刚度条件起决定作用。刚度条件起决定作用。ACDB286Nm573Nm192Nm4932 28718080 101
9、50 03434.mmm 117.3 梁的弯曲变形和刚度计算梁的弯曲变形和刚度计算 为保证弯曲构件正常的工作，不但要求构件具有足够的为保证弯曲构件正常的工作，不但要求构件具有足够的强度，在某些情况下，还要要求构件有足够的刚度，即弯曲强度，在某些情况下，还要要求构件有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。变形不应过大，否则，将影响正常工作。l电葫芦爬坡，出电葫芦爬坡，出现振动、噪音。现振动、噪音。12齿轮轴变形将导致齿轮不能正常齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。不好，出现噪音。P1P2轧辊轧辊钢板钢板轧钢轧钢轧辊变
10、形，钢板沿宽度轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。方向的厚度不均。齿轮轴齿轮轴13F利用弯曲变形利用弯曲变形缓冲、减震缓冲、减震汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁的变形。求解静不定梁则必须考虑梁的变形。测力矩扳手测力矩扳手14（1）挠曲线：）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）对于平面弯曲，当外力位于梁纵向对称面内时，梁轴线在该对于平面弯曲，当外力位于梁纵向对称面内时，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。平面内弯成一条平面曲线。P P随梁的变形，横截面发生位移：随梁的变形，横截面发生位移：（2）挠度：）挠度：横截面绕中性轴产生的角位移，称为转角横截面绕中
11、性轴产生的角位移，称为转角 。某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的。挠度和转角挠度和转角（3）转角：）转角：截面形心的水平位移忽略不计截面形心的水平位移忽略不计15P P在纵向对称面内建立坐标系在纵向对称面内建立坐标系挠曲线方程挠曲线方程挠度：向上为正。挠度：向上为正。转角：逆时针为正。转角：逆时针为正。xf x dtanfxdx tan (通常通常 1=0.01745弧度弧度)挠度和转角的关系：挠度和转角的关系：xf =f(x)讨论弯曲变形的讨论弯曲变形的关键关键在于：建立梁的挠曲线方程。在于：建立梁的挠曲线方程。（4）挠度和转角的关系）挠
12、度和转角的关系（挠度方程）（挠度方程）x x16 23211yy 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 EIxM 2321 挠曲线近似微分方程 因为讨论小变形，因为讨论小变形，1o=0.0175(弧度)12 弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式 EIxM 1中性层曲率半径中性层曲率半径：即为轴线的曲率半径。即为轴线的曲率半径。对于平面曲线，对于平面曲线，)(xfy 曲率为：曲率为：EIxM 7.3.2挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 EIxM)xk 1(引入曲率：引入曲率：17xM0 xM0)(xf 0)(xf 0 与与M 的符号总是相同。的符号总是相同。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程对于等
13、直梁：对于等直梁：xMEI EIxM EIxM 187.3.3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 CdxEIxMdxd DCxdxdxEIxM 每段梁有每段梁有C、D两个两个积分常数。积分常数。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程 根据支座处、分段处梁的已知位移情况，在规定坐标系中根据支座处、分段处梁的已知位移情况，在规定坐标系中的数学表示式称为的数学表示式称为边界条件边界条件。EIxMdxd 22 19mmxxxmmxxx挠曲线方程不同。挠曲线方程不同。弯矩方程相同弯矩方程相同 mxM EIM 1曲率相同曲率相同 mxMEI 挠曲线近似微分方程相同挠曲线近
14、似微分方程相同受力相同受力相同m原因：梁的约束条件不同。原因：梁的约束条件不同。在图示坐标系中：在图示坐标系中：m20BqAl满足支座约束特点。满足支座约束特点。边界条件的个数应等于梁段数的边界条件的个数应等于梁段数的2倍。倍。构件不折断，不开裂。（构件不折断，不开裂。（连续光滑条件连续光滑条件）例：写出下列梁的边界条件。例：写出下列梁的边界条件。建立坐标系建立坐标系x，根据外力，梁分一段。，根据外力，梁分一段。x0，xl，A点：点：B点：点：xx xM x x 00 0 l 21CqABlx例例7.4简支梁抗弯刚度为简支梁抗弯刚度为EI，求其挠度和转角方程、跨中点挠度和求其挠度和转角方程、跨
15、中点挠度和A截面的转角。截面的转角。（1）列出弯矩方程）列出弯矩方程（2）列出挠曲线微分方程并积分）列出挠曲线微分方程并积分（3）确定积分常数）确定积分常数解：解：x M xqlxqx211220 xlEIqlxqx 21122EIqlxqxC 231146EIqlxqxCxD 34111224x0，xl，A点：点：B点：点：00 l 0ql12ql12qlqCD341100001224D 0qllqlCl341101224Cql 3124梁的挠度和转角方程梁的挠度和转角方程qlxqxqlEI 23311114624qlxqxql xEI 3431111122424（4）求指定截面的挠度和转角
16、）求指定截面的挠度和转角lx 2qlEI 4384qlEI 324为梁的最大挠度和转角。为梁的最大挠度和转角。227.3.4 叠加法叠加法 材料力学讨论的是材料力学讨论的是线弹性小变形线弹性小变形，反力、内力、应力、，反力、内力、应力、变形都是载荷的变形都是载荷的线性齐次线性齐次函数，所以在计算反力、内力、应函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。力、变形等都可以应用叠加法。叠加法：叠加法：几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和。各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和。23解解EIqlCq38
17、454 EIqlBq243 EIqlEImlCm161642 EIqlEImlBm333 Bm 叠加叠加qCmCC EIql384194 qBmBB EIql2473 lABm=ql2CBq q单独作用单独作用m单独作用单独作用求梁求梁的挠度和的挠度和的转角。的转角。例例BqAlm=ql2CBqAlC例例7.5自习自习24例例 求悬臂梁求悬臂梁B端的挠度和转角。端的挠度和转角。CBAq lqBAq1=qBA解解BqqlEI 148136BqqlEI 叠加叠加q1单独作用单独作用将载荷等效变换将载荷等效变换 BqCqCqqaqalalaEIEI 2224386236CqqaEI q2单独作用单独
18、作用12BBqBqCqqaEI 248由受力可知由受力可知B点挠度转角最大。点挠度转角最大。22BqCq BBqBqqlqaqavvvlaEIEIEIqllaaEI 12443434()886(34)24 3333666qlqaqlaEIEIEI aqqBAq2=q2Cqy2Cq 25刚度条件刚度条件 rad001.0 滑动轴承处滑动轴承处 rad001.0 安装齿轮处安装齿轮处 rad005.0 向心轴承处向心轴承处吊车梁吊车梁 l 005.0001.0 l 为梁的跨度。为梁的跨度。l 0005.00001.0 普通机床主轴普通机床主轴l 为支撑的跨度。为支撑的跨度。l1rad=57.37.
19、3.5 梁的刚度设计梁的刚度设计 许可转角许可转角许可挠度许可挠度 maxmax26例例7.7 起重起重20kN的单梁吊车，由的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知。已知 =l/500，=170MPa，E=210GPa。要求：校核其强度和刚度。要求：校核其强度和刚度。解：解：受力情况：受力情况：q=479N/mF=20kNqmaxMql 218梁的最大应力：梁的最大应力：q单独作用时，梁中点有最大弯矩单独作用时，梁中点有最大弯矩F单独作用时，梁中点有最大弯矩单独作用时，梁中点有最大弯矩F maxMFl 14叠加：叠加：max
20、MqlFlNm2231111479 920 109485045000498508484WMmaxmax .MPa33334850 1045000 109 0884 393 38534 10534 10 l.mmm 90 01818500500刚度不满足要求刚度不满足要求.q单独作用单独作用F单独作用单独作用.m.mm 0 00262 6需要加大截面，选定后需要校核刚度。需要加大截面，选定后需要校核刚度。28例例7.7 起重起重20kN的单梁吊车，由的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知。已知 =l/500，=170MPa，E
21、=210GPa。要求：校核其强度和刚度。要求：校核其强度和刚度。解：解：受力情况：受力情况：q=479N/mF=20kN梁的最大应力：梁的最大应力：梁中点的最大弯矩梁中点的最大弯矩Nm2311479 920 1094850450004985084WMmaxmax .MPa33334850 1045000 109 0884 393 38534 10534 10 强度满足要求强度满足要求CqlFl.mm.mm.mmEIEI 4352 619 3421 9438448梁的最大挠度为：梁的最大挠度为：lmm 18500刚度不满足要求刚度不满足要求需要加大截面，选定后需要校核刚度。需要加大截面，选定后需
22、要校核刚度。maxMqlFl21184说明：说明：在很多情况下，构件自在很多情况下，构件自重对强度、变形的影响与载荷的影重对强度、变形的影响与载荷的影响相比很小，所以常常忽略重力。响相比很小，所以常常忽略重力。297.4 7.4 提高梁弯曲强度和刚度的措施提高梁弯曲强度和刚度的措施zWM max 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件提高梁弯曲强度可从以下几个方面考虑：提高梁弯曲强度可从以下几个方面考虑：zIMy 1、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）2、选用合理的截面、选用合理的截面(增大弯曲截面系数）增大弯曲截面系数）3、采用变截面梁、采用变截面梁307.4.1
23、7.4.1合理安排梁的受力合理安排梁的受力(降低最大弯矩）降低最大弯矩）（1）合理安排载荷）合理安排载荷P2l2lPbal4maxPlM lPabM max时时当当6la 536maxPlM 2PRA2PRBlaPRBlbPRA31（2）分散载荷）分散载荷(从使用方面考虑)alPM 4maxPllPM61324max 3la 若：若：4maxPlM 22al2l2PRA 2PRB 2l2P2P2l2l2a2PRA 2PRB 2aPP2l2l2PRA 2PRB P32lPq lPlllPM81812max 2max81qlM 33281qlqlql0.2l0.2l（3）调整支座位置（从设计角度）
24、调整支座位置（从设计角度）合理的支座位置合理的支座位置应使最大正弯矩和应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相等。最大负弯矩数值相等。合理布置支座位置，使合理布置支座位置，使 M max 尽可能小。尽可能小。移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。2401ql2501ql2501ql34 PxxlP 24lx61 双杠双杠xxl当人在两支座中点时，当人在两支座中点时，当人在自由端点时，当人在自由端点时，xlPM241max ）（PxM）（2max合理的设计应使：合理的设计应使：）（）（2max1maxMM 龙门吊车龙门吊车35（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大
25、抗弯截）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大抗弯截面系数。面系数。7.4.2 合理选用截面的形状合理选用截面的形状即用最少的材料获取最好的抗弯效果。即用最少的材料获取最好的抗弯效果。yzbhPP621bhW 622hbW 显然，显然，1W2W 矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。36zIMy 中性轴处应力为零，离中性轴最远的上下边缘应力最大。中性轴处应力为零，离中性轴最远的上下边缘应力最大。从理论上讲，可将材料布置的离中性轴远些。从理论上讲，可将材料布置的离中性轴远些。z37h 当截面形状不同时，可以用当截面形状不同时，可以用Wz/A的比值来衡量截面形状的比值
26、来衡量截面形状的合理性和经济性。的合理性和经济性。(0.290.31)h(0.270.31)h0.205h0.125h0.167hyzbhyzhyzhdyzh38（2）在满足所需抗弯截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减）在满足所需抗弯截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。d=137250000395020b号号h20025000010400b=72h=144250000yzh要求的要求的Wz（mm3）截面形状截面形状所需尺寸所需尺寸（mm）yzh14800截面面积截面面积（mm2）yzbh39采用关于中性轴对称的截面
27、采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴不对称的截面采用关于中性轴不对称的截面塑性材料塑性材料 ct 脆性材料脆性材料 ct 可调整各部分尺寸，使可调整各部分尺寸，使tCyy 12（3）合理的截面形状要符合材料的力学性能）合理的截面形状要符合材料的力学性能yzyzyzyzy1y2zytmaxtzMyI 1CmaxCzMyI 2理想情况：理想情况：40 PxxM 7.4.3采用变截面梁采用变截面梁 zWMmaxmax变截面梁变截面梁:截面尺寸沿梁轴线变化的梁截面尺寸沿梁轴线变化的梁等强度梁等强度梁:各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力设截面宽度不变，高度
28、随截面位置变化，设截面宽度不变，高度随截面位置变化，62xbhxW 则：则：xWxM 由由 bPxxh6 得得例例:设计等强度矩形截面悬臂梁。设计等强度矩形截面悬臂梁。xPx挑出阳台挑出阳台 Pbh 32由由 minPhb 32得得41由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁。P摇臂钻床摇臂钻床P2P1齿轮轴齿轮轴汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧P鱼腹梁鱼腹梁421、选择合理截面形状，增大惯性矩、选择合理截面形状，增大惯性矩2、改善梁的受力和支座位置、改善梁的受力和支座位置3、减小梁的长度、减小梁的长度4、增加支座（约束）、增加支
29、座（约束）5、预加反弯度、预加反弯度EIln常数常数载荷载荷位移位移 EIxM 1要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。7.5 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施43提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施 由于钢材的由于钢材的E值接近，为提高弯曲刚度而采用优质钢，不会达值接近，为提高弯曲刚度而采用优质钢，不会达到预期效果。到预期效果。44提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2、改善梁的受力和支座位置、改善梁的受力和支座位置CqqlPlEIEI4355384384 CPPlPlEIEI33848384 Cq.q
30、l.PlEIEI430 110 11384384 Cq.PlEI35 5384 原材料的堆放：原材料的堆放：453、减小梁的长度、减小梁的长度lPmaxPlEI33 albP1P2减小外伸长度减小外伸长度l，弯矩减小，弯矩减小，变形相应减小。变形相应减小。减小外伸长度减小外伸长度a、b，弯矩，弯矩减小，变形相应减小。减小，变形相应减小。提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施464、增加支座（约束）、增加支座（约束）q提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施475、预加反弯度、预加反弯度l提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施48轴向拉压轴向拉压扭扭 转转内力分量内力分量内力分量
31、内力分量轴力轴力FN扭矩扭矩MT平面弯曲平面弯曲内力分量内力分量弯矩弯矩M,剪力剪力FS应力分布规律应力分布规律应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布正应力均匀分布切应力与距圆心切应力与距圆心距离成正比分布距离成正比分布应力分布规律应力分布规律正应力与中性轴距离成正比正应力与中性轴距离成正比AFNPTIMZIMybISFZZS*强度条件强度条件 max强度条件强度条件 max强度条件强度条件 max max49轴向拉压轴向拉压扭扭 转转平面弯曲平面弯曲变形公式变形公式变形公式变形公式变形公式变形公式EAFNPTGIM轴向线应变轴向线应变单位长度扭转角单位长度扭转角ZEIM1挠曲线曲率挠曲线曲率截面位移截面位移截面位移截面位移截面位移截面位移轴向线位移轴向线位移挠度与转角挠度与转角扭转角扭转角刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件 maxLfLfmax max变形刚度条件变形刚度条件变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件位移刚度条件
