1、东北三省四市东北三省四市 2020 年教研联合体高考模拟试卷年教研联合体高考模拟试卷 数学（理科）数学（理科） 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 考生须知：考生须知： 1本试卷分试题卷和答题卡，满分本试卷分试题卷和答题卡，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟分钟 2答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号 3所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效 4考试结束，只需上交答题卡考试结束，只需上交答题卡 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题
2、小题，每小题 5分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知全集1,2,3,4,5,6,7U ，集合 2,3,5,7A，1,2,4,6B ，则 U AB （ ） A. 2,5,7 B. 3,5,7 C. 3 D. 5,7 【答案】B 分析】先由已知得到3,5,7 U C B ，再与 A 求交集即可. 【详解】由已知，3,5,7 U C B ，故3,5,7 U AC B . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知复数 2 1 i z i ，则
3、z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 1 D. i 【答案】A 【分析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】 2i2i(i1)22i 1i i1(i1)(i+1)2 z ，故z的虚部为1. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 3.2019 年某校迎国庆 70 周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为 茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是 86，乙队得分的平均数是 88，则x y（ ） A 170 B. 10 C. 172 D. 12 【答案】D 【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在
4、最中间的那个数，平均数指一串数据的 算术平均数. 【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x，故6x； 乙的平均数为 78828089919397 88 7 y ， 解得6y ，所以12xy. 故选：D. 【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题. 4. 5 (1 2 )(1)xx的展开式中 2 x的系数为（ ） A 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】C 【分析】 由 5 (12 )(1)xx 5 (1)x 5 2 (1)xx知， 展开式中 2 x项有两项， 一项是 5 (1)x中的 2 x项， 另一项是2x 与 5 (1)x中含 x的项乘积构成.
5、【详解】由已知， 5 (12 )(1)xx 5 (1)x 5 2 (1)xx，因为 5 (1)x展开式的通项为 5 rr C x，所以 展开式中 2 x的系数为 21 55 220CC. 故选：C. 【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道 基础题. 5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍. 其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底 面周长L与高h，计算其体积 2 1 36 VL h的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似
6、取为 3.那 么近似公式 2 3 112 VL h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A. 22 7 B. 157 50 C. 28 9 D. 337 115 【答案】C 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即 2 1 3 Vr h 2 3 (2) 112 rh，解出即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r，则 2 1 3 Vr h，又 22 33 (2) 112112 VL hrh， 故 2 3 (2) 112 rh 2 1 3 r h，所以， 11228 369 . 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 6.已知公
7、差不为 0的等差数列 n a的前n项的和为 n S， 1 2a ，且 139 ,a a a成等比数列，则 8 S （ ） A. 56 B. 72 C. 88 D. 40 【答案】B 【分析】 2 319 aa a 2 111 (2 )(8 )ada ad，将 1 2a 代入，求得公差 d，再利用等差数列的前 n项和公式计算 即可. 【详解】由已知， 2 319 aa a， 1 2a ，故 2 111 (2 )(8 )ada ad，解得2d 或0d （舍） ， 故2(1) 22 n ann， 18 8 8() 4(228)72 2 aa S .故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前 n项和公式
8、，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 7.下列说法正确的是（ ） A. 命题“ 0 0x， 00 2sinxx”的否定形式是“0x ，2sinxx” B. 若平面，满足 ，则/ C. 随机变量服从正态分布 2 1,N （0） ，若(01)0.4P，则(0)0.8P D. 设x是实数，“0x ”是“ 1 1 x ”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项 A；, 可能相交，可判断 B选项；利用正态分布的性 质可判断选项 C； 1 1 x 0x或1x ，利用集合间的包含关系可判断选项 D. 【详解】命题“ 0 0x， 00 2sinxx”的否定形式是“0x
9、，2sinxx”，故 A错误；， ，则, 可能相交，故 B错误；若(01)0.4P，则(12)0.4P，所以 10.40.4 (0)0.1 2 P ，故(0)0.9P，所以 C 错误；由 1 1 x ，得0x或1x ， 故“0x”是“ 1 1 x ”的充分不必要条件，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必 要条件等，是一道容易题. 8.已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点与圆M： 22 (2)5xy的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，则双曲线的离心率为（ ） A.
10、2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】A 【分析】 由已知，圆心 M 到渐近线的距离为3，可得 22 2 3 b ab ，又 22 2cab，解方程即可. 【详解】 由已知，2c ， 渐近线方程为0bxay， 因为圆M被双曲线一条渐近线截得的弦长为2 2， 所以圆心 M 到渐近线的距离为 22 ( 2)3r 22 22bb b c ab ，故 22 1acb ， 所以离心率为2 c e a . 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易 题. 9.已知, AA A xy是圆心为坐标原点O，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线OA
11、绕点O逆时针旋转 2 3 到 OB交圆于点, BB B xy，则2 AB yy的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【分析】 设射线 OA 与 x 轴正向所成的角为，由三角函数的定义得sin A y， 2 sin() 3 B y ， 2 AB yy 33 sincos 22 ，利用辅助角公式计算即可. 【详解】设射线 OA与 x 轴正向所成的角为，由已知，cos ,sin AA xy， 22 cos(),sin() 33 BB xy ，所以2 AB yy2sin 2 sin() 3 13 2sinsincos 22 33 sincos3sin()3 226 ，
12、当 3 时，取得等号. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题. 10.从集合3, 2, 1,1,2,3,4 中随机选取一个数记为m，从集合 2, 1,2,3,4 中随机选取一个数记为 n， 则在方程 22 1 xy mn 表示双曲线的条件下， 方程 22 1 xy mn 表示焦点在y轴上的双曲线的概率为 （ ） A. 9 17 B. 8 17 C. 17 35 D. 9 35 【答案】A 【分析】 设事件 A 为“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”，事件 B为“方程 22 1 xy mn 表示焦点在y轴上的双曲线”，分别
13、计算出 ( ), ()P A P AB，再利用公式 () (/) ( ) P AB P B A P A 计算即可. 【详解】设事件 A 为“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”，事件 B为“方程 22 1 xy mn 表示焦点在y轴上 的双曲线”，由题意， 3 34217 ( ) 7535 P A ， 3 39 () 7535 P AB ，则所求的概率为 ()9 (/) ( )17 P AB P B A P A . 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 11.已知函数 1 2 22,0, ( ) log,0, x x f x x x 若
14、关于x的方程 2 ( )2( )30f xaf xa有六个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为（ ） A. 16 3, 5 B. 16 3, 5 C. (3,4) D. 3,4 【答案】B 【分析】 令 ( )f xt ，则 2 230tata，由图象分析可知 2 230tata在(2,4上有两个不同的根，再利用一 元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令 ( )f xt ，则 2 230tata，如图 yt 与( )yf x顶多只有 3个不同交点，要使关于x的方程 2 ( )2( )30f xaf xa有 六个不相等的实数根，则 2 230tata有两个不同的根1 2 ,(2,4t t ，
15、 设 2 ( )23g ttata由根的分布可知， 2 4120 (2,4) (2)0 (4)0 aa a g g ，解得 16 3 5 a. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结 合的思想，是一道中档题. 12.已知定义在0,上的函数 ( )f x满足 1 ( )(2) 2 f xf x， 且当0,2x时， 2 ( )2f xxx .设 ( )f x 在22,2nn上的最大值为 n a（ * nN） ，且数列 n a的前n项的和为 n S.若对于任意正整数n不等式 129 n k Sn恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A.
16、 0, B. 1 , 32 C. 3 , 64 D. 7 , 64 【答案】C 【分析】 由已知先求出 1 max ( )2nf x ，即 1 2n n a - =，进一步可得21 n n S ，再将所求问题转化为 29 2n n k 对 于任意正整数n恒成立，设 n c 29 2n n ，只需找到数列 n c的最大值即可. 【详解】当222nxn时，则0222xn ，(22 )(22 )(2 )f xnxn xn ， 所以， 11 ( )22(1)2 nn f xf xn (22 )(2 )xn xn，显然当21xn时， 1 max ( )2nf x ，故 1 2n n a - =， 1 (
17、12 ) 21 12 n n n S ，若对于任意正整数n不等式 129 n k Sn恒成立，即 229 n kn对于任意正整数n恒成立，即 29 2n n k 对于任 意正整数n恒成立，设 n c 29 2n n ， 1 1 112 2 nn n n cc ，令 1 112 0 2n n ，解得 11 2 n ， 令 1 112 0 2n n ，解得 11 2 n ，考虑到 * nN，故有当5n时， n c单调递增， 当6n时，有 n c单调递减，故数列 n c的最大值为 6 6 33 264 c ， 所以 3 64 k . 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数
18、解析、等比数列前 n 项和、数列单调性的判 断等知识，是一道较为综合的数列题. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13.若曲线( )ln x f xaex（其中常数0a）在点(1, (1)f 处的切线的斜率为 1，则a_. 【答案】 2 e 【分析】 利用导数的几何意义，由 (1
19、) 1f解方程即可. 【详解】由已知， 1 ( )exfxa x ，所以 1 (1)e11fa ，解得 2 e a . 故答案为： 2 e . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 14.若函数( )sin23cos2f xxx的图像向左平移 8 个单位得到函数( )g x的图像.则( )g x在区间 3 , 88 上的最小值为_. 【答案】3 【分析】 注意平移是针对自变量 x，所以( )() 8 g xf x 2sin(2) 12 x ，再利用整体换元法求值域（最值）即 可. 【详解】由已知，( )sin23cos22sin(2) 3 f xxxx ，(
20、)() 8 g xf x 2sin2()2sin(2) 8312 xx ，又 3 , 88 x ，故 2 2, 1233 x ， 2sin(2)3,2 12 x ，所以( )g x的最小值为 3 . 故答案为：3. 【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是 一道基础题. 15.如图所示，在边长为 4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去AOB，将剩余部分沿OC， OD折叠，使OA、OB重合，则以( )A B、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为_. 【答案】8 6 【分析】 将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球
21、的直径即可得到答案. 【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示 4CD， 2 2OAOCOD ，故正方体体对角线长为 222 2 6OAOCOD ， 所以外接球半径为 6R ，其体积为 3 4 8 6 3 R. 故答案为：8 6. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其 置入正（长）方体中，是一道中档题. 16.已知椭圆C： 22 1 62 xy 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，如图AB是过 1 F且垂直于长轴的弦，则 2 ABF 的内切圆方程是_. 【答案】 2 2 44 39 xy 【分析】 利用公式 2 1 2 ABF S
22、lr 计算出r，其中l为 2 ABF的周长，r为 2 ABF内切圆半径，再利用圆心到直线 AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】由已知， 6 ( 2,) 3 A ， 6 ( 2,) 3 B ， 2(2,0) F，设内切圆的圆心为( ,0)(2)tt ，半径为r，则 2 1222 111 ()4 222 ABF SABFFABAFBFrar ，故有 2 6 44 6 3 r， 解得 2 3 r ，由 2 |( 2)| 3 t ， 4 3 t 或 8 3 t （舍） ，所以 2 ABF的内切圆方程为 2 2 44 39 xy . 故答案为： 2 2 44 39 xy . 【点睛】本题考查椭
23、圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学 生的运算能力，是一道中档题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 2223题为选考题，考题为选考题，考生根据要求作答生根据要求作答 17.在ABC中，M为BC边上一点， 45BAM， 5 cos 5 AMC . （1）求sinB； （2）若 1 2 MCBM，4AC ，求MC. 【答案】 （1） 10 10 ； （2）4 【分析】 （1）BA
24、MCBAM，利用两角差的正弦公式计算即可； （2）设MCx，在ABM中，用正弦定理将AM用 x表示，在ACM中用一次余弦定理即可解决. 【详解】 （1） 5 cos 5 AMC， 2 5 sin 5 AMC， 所以，sinsin()BAMCBAM sincoscossinAMCBAMAMCBAM 2 525210 525210 . （2） 1 2 MCBM， 设MCx，2BMx， 在ABM中，由正弦定理得， sin45sin BMAM B ， 2 210 210 xAM ， 2 5 5 AMx， 222 2cosACAMMCAM MCAMC， 222 42 55 42 555 xxx x 4M
25、Cx. 【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了 20 人的分数.以下茎叶图记录了他们的 考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶） ： 若分数不低于 95分，则称该员工的成绩为“优秀”. （1）从这 20人中任取 3人，求恰有 1人成绩“优秀”的概率； （2）根据这 20 人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问 题. 组别 分组 频数 频率 频率 组距 1 60,70 2 70,80 3 80,90 4 90,100 估计所有员工的平均分
26、数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 若从所有员工中任选 3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】 （1） 8 19 ； （2）82，分布列见解析， 3 () 5 E X 【分析】 （1）从 20人中任取 3人共有 3 20 C种结果，恰有 1人成绩“优秀”共有 13 416 C C种结果，利用古典概型的概率计 算公式计算即可； （2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；要注意X服从的是二项分布，不是超几 何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可. 【详解】 （1）设从 20人中任取 3 人恰有 1人成绩“优秀”为事件A，
27、 则 12 416 3 20 8 ( ) 19 C C P A C ，所以，恰有 1人“优秀”的概率为 8 19 . （2） 组别 分组 频数 频率 频率 组距 1 60,70 2 1 10 0.01 2 70,80 6 3 10 0.03 3 80,90 8 2 5 0.04 4 90,100 4 1 5 0.02 1342 6575859582 10101010 ， 估计所有员工的平均分为 82 X的可能取值为 0、1、2、3，随机选取 1人是“优秀”的概率为 41 205 P ， 3 464 (0) 5125 P X ； 2 1 3 1 448 (1) 5 5125 P XC ； 2 2
28、 3 1412 (2) 55125 P XC ； 3 11 (3) 5125 P X ； X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 1 3, 5 XB ，数学期望 13 ()3 55 E X . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计 值等知识，是一道容易题. 19.已知抛物线C： 2 4yx的焦点为F，过C上一点 (1, )Pt（ 0t ）作两条倾斜角互补的直线分别与C交 于M，N两点， （1）证明：直线MN的斜率是1； （2）若8|MF，|MN，|NF成等比数列，求直线MN的方程. 【答
29、案】 （1）见解析； （2）1yx 【分析】 （1）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，由已知0 MPNP kk，得 12 4yy ，代入 12 12 MN yy k xx 12 4 yy 中 即可； （2）利用抛物线的定义将 2 |8|MNMFNF转化为 2 121212 8440xxx xxx，再利用韦 达定理计算. 【详解】 （1）P在抛物线 2 4yx上，2t ， (1,2)P 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 由题可知，0 MPNP kk， 12 12 22 0 11 yy xx ， 12 22 12 22 0 11 44 yy yy ， 12 44 0 22
30、yy ， 12 4yy ， 12 12 MN yy k xx 12 4 1 yy （2）由（1）问可设：l：y xm ， 则 12 |2MNxx， 1 |1MFx ， 2 |1NFx， 2 |8|MNMFNF， 2 1212 2811xxxx， 即 2 121212 8440xxx xxx（*） ， 将直线l与抛物线C联立， 2 4 yxm yx 可得： 22 (24)0xmxm-+=， 所以 12 2 12 16160 24 m xxm x xm ， 代入（*）式，可得1m满足，l：1yx . 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及 韦达
31、定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题. 20.如图，在直角AOB中，2OAOB， AOC通过AOB以直线OA为轴顺时针旋转120得到 （120BOC）.点D为斜边AB上一点.点M为线段BC上一点，且 4 3 3 MB . （1）证明：MO平面AOB； （2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B CD O的正弦值. 【答案】 （1）见解析； （2） 4 70 35 【分析】 （1）先算出OM的长度，利用勾股定理证明OMOB，再由已知可得OAOM，利用线面垂直的判定 定理即可证明； （2）由（1）可得MDO为直线MD与平面AOB所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得
32、D为AB中 点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值. 【详解】 （1）在MOB中，30OBC，由余弦定理得 22 2 3 2cos30 3 OMOBBMOB BM， 222 OMOBMB， OMOB， 由题意可知：OAOB，OAOC，OBOCO， OA平面COB， OM 平面COB，OAOM， 又OAOBO， OM 平面AOB. （2）以O为坐标原点，以OM，OB，OA的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. OM 平面AOB，MD在平面AOB上的射影是OD， MD与平面AOB所成的角是MDO，MDO最大时，即ODAB，点D为AB中点. (0,2,0
33、)B ，( 3, 1,0)C，(0,0,2)A，(0,1,1)D，(3,2,1)CD ， (0,1, 1)DB ，(0,1,1)OD ，设平面CDB的法向量( , , )nx y z， 由 0 0 n CD n DB ，得 320 0 xyz yz ，令1z ，得1,3yx， 所以平面CDB的法向量( 3,1,1)n ， 同理，设平面CDO的法向量, ,mx y z，由 0 0 m CD m OD ，得 320 0 xyz yz ， 令1y ，得 3 1, 3 zx ，所以平面CDO的法向量 3 ,1, 1 3 m ， 105 cos, 35 m n， 3 sin,1 35 m n 4 70
34、35 ， 故二面角B CD O的正弦值为 4 70 35 . 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是 一道中档题. 21.已知函数 2 ( )cos 2 a f xxx（aR） ，( )fx 是 ( )f x的导数. （1）当1a 时，令( )( )lnh xfxxx ，( )h x 为( )h x的导数.证明：( )h x 在区间0, 2 存在唯一的 极小值点； （2）已知函数 4 2 (2 ) 3 yfxx在0, 2 上单调递减，求a的取值范围. 【答案】 （1）见解析； （2）1a 【分析】 （1）设 1 ( )( )cosg xh
35、xx x ， 2 1 ( )sing xx x ，注意到 ( ) g x在0, 2 上单增，再利用零点存在性 定理即可解决； （2） 函数 4 2 (2 ) 3 yfxx在0, 2 上单调递减， 则 0y 在0, 2 恒成立， 即 3 4 2sin20 3 axxx在 0, 2 上恒成立，构造函数 3 4 ( )2sin2 3 m xaxxx，求导讨论( )m x的最值即可. 【详解】 （1）由已知， ( ) sinfxxx，所以( ) lnsinh xxx ， 设 1 ( )( )cosg xh xx x ， 2 1 ( )sing xx x ， 当0, 2 x 时， ( ) g x单调递增
36、，而(1)0g， 0 2 g ，且 ( ) g x在0, 2 上图象连续 不断.所以 ( ) g x在0, 2 上有唯一零点， 当(0,)x时， ( ) 0g x ；当, 2 x 时， ( ) 0g x ； ( )g x在(0,)单调递减，在, 2 单调递增，故( )g x在区间0, 2 上存在唯一的极小 值点，即( )h x 在区间0, 2 上存在唯一的极小值点； （2）设( )sink xxx，0,x，( )1 cos0k xx ， ( )k x在0,单调递增，( )(0)0k xk， 即sinxx，从而sin22xx， 因为函数 4 2 (2 ) 3 yfxx在0, 2 上单调递减， 3
37、 4 ( )2sin20 3 m xaxxx在0, 2 上恒成立， 令 2 ( )22cos24( )m xaxxp x， sin22xx， ( ) 4sin280p xxx， ( ) m x在0, 2 上单调递减， max ( )(0)22m xma， 当1a 时， ( ) 0m x ，则 ( )m x在0, 2 上单调递减，( )(0)0m xm，符合题意. 当1a 时， ( ) m x在0, 2 上单调递减， (0) 220ma所以一定存在 0 0, 2 x ， 当 0 0xx时，( )0m x ， ( )m x在 0 0,x上单调递增， 0 (0)0m xm 与题意不符，舍去. 综上，
38、a的取值范围是1a 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函 数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计 分分 选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 2 1 t x t t y t （t为参数） .点 00 ,p x y在曲线C上， 点( , )Q m n 满足 0 0 2 3 mx ny
39、 . （1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹 1 C的极坐标方程； （2）点A，B分别是曲线 1 C上第一象限，第二象限上两点，且满足 2 AOB ，求 22 11 |OAOB 的值. 【答案】 （1） 2222 3cos4sin12p（ ） ； （2） 7 12 【分析】 （1）由已知，曲线C的参数方程消去 t 后，要注意 x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运 算即可； （2）设 11 ,A ， 21 , 2 B ，由（1）可得 22 11 2 1 3cos4sin1 12 ， 22 11 2 2 3cos4sin 122 12 ，相加即可得到
40、证明. 【详解】 （1） 2 2 2 22 22 12 1 11 tt xy tt ， 2 2 1 1,1 1 t t ，1x， 22 1(1)xyx ， 由题可知： 0 0 2 3 mx ny 022 0 2 1(2) 43 3 m x mn m n y ， 1 C： 2222 3cos4sin12（ ）. （2）因为 2 22 12 3cos4sin ， 设 11 ,A ， 21 , 2 B ， 则 22 11 2 1 3cos4sin1 12 ， 22 11 2 2 3cos4sin 122 12 22 11 3sin4cos 12 ， 2222 12 11117 |12OAOB . 【
41、点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23.已知关于x的不等式| 1|3| |2|xxmm 有解. （1）求实数m的最大值t； （2）若a，b，c均为正实数，且满足abct.证明： 333 3a bb cc aabc . 【答案】 （1）3t ； （2）见解析 【分析】 （1）由题意，只需找到( ) |1|3|f xxx的最大值即可； （2） 222 333 33 bca a bb cc aabc abc ，构造并利用基本不等式可得 222 ()2() bca abcabc abc ，即 222 3 b
42、ca abc abc . 【详解】 （1）( ) |1|3|f xxx 4,3 22, 13 4,1 x xx x ， ( )f x的最大值为 4. 关于x的不等式|1|3| |2|xxmm有解等价于 max( ) 4 |2|fxmm， （）当2m时，上述不等式转化为42mm ，解得23m， （）当2m时，上述不等式转化为42mm ，解得2m， 综上所述，实数m取值范围为3m，则实数m的最大值为 3，即3t . （2）证明：根据（1）求解知3t ，所以3abct ， 又0a，0b，0c ， 222 333 33 bca a bb cc aabc abc ， 222222 () bcabca abcabc abcabc 222 2222() bca abcabc abc ，当且仅当abc时，等号成立， 即 222 bca abc abc ， 222 3 bca abc ， 所以， 333 3a bb cc aabc . 【点睛】本题考查绝对值不等式中的能
