1、一一 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线三 曲面的切平面与法线问题的提出问题的提出 偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量yxFFxf)(切线方程为切线方程为 法线方程为法线方程为 的某邻域内满足隐函数定理条件，则 一一.平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线求曲线上过点求曲线上过点 的切线方程，这里的切线方程，这里),(0000zyxM 设曲线用参数方程表示为设曲线用参数方
2、程表示为)(),(),(tzztyytxx)(),(),(000000tzztyytxx由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点和点 的割线方程的割线方程),(zyxM0M)()()()()()()()()(000000tztztzZtytytyYtxtxtxX在上式各端的分母都除以在上式各端的分母都除以0tt 000000000)()()()()()()()()(tttztztzZtttytytyYtttxtxtxX由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，取极限，就得到曲线在点就得到曲线在点 的切线方程：
3、的切线方程：0tt 0M)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX)(),(),(000tztytx由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是的切线的一组方向数是0M曲线在点曲线在点 的法平面就是过的法平面就是过 点且与该点的切线垂直的点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是点的法平面方程是0M0M0)()()(000000zZtzyYtyxXtx 如果曲线的方程表示为如果曲线的方程表示为)(),(xzzxyy)(),(,xzzxyyxx可以把它写成如下的以
4、可以把它写成如下的以 为参数的参数方程为参数的参数方程x于是可得曲线在点于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：的切线方程和法平面方程如下：0M)()()()(100000 xzxzZxyxyYxX0)()()(00000zZxzyYxyxX 一般地，如果曲线表示为两个曲面的一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：交线：0),(0),(zyxGzyxF设设 ，设上述方程组在点，设上述方程组在点 确定了一对函数确定了一对函数0),(),(0MzyDGFD0M)(),(xzzxyy由这两个方程可解出由这两个方程可解出),(),(),(),(,),(),(),(),(zyDGFDyxDGFDdx
5、dzzyDGFDxzDGFDdxdy这时容易把它化成刚才讨论过的情形：这时容易把它化成刚才讨论过的情形：从而可得曲线在点 的切线方程：0M000),(),(),(),(),(),(000MMMyxDGFDzZxzDGFDyYzyDGFDxX和法平面方程0)(),(),()(),(),()(),(),(000000zZyxDGFDyYxzDGFDxXzyDGFDMMM解：解：2tt3z ,2y ,1 ttxt 在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为 t=1 3 ,2 ,1 T切线方程：切线方程：312211zyx法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：即：x
6、+2 y+3 z=8例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的处的切线及法平面方程。切线及法平面方程。3,2,tztytx)1,2,1(例例2、求曲线、求曲线 在点在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。）处的切线及法平面方程。0,6222 zyxzyx1,0,163,0,32 22,22,22 12 12,12 12,12 12 1,2,11,2,1yxxzzyTyxxzzyT即：解：法平面方程：法平面方程：x-z=0 切线方程：切线方程：110211 zyx例 求曲线32,tztytx在点 的切线与法平面方程)1,1,1(解解23,2,1tztyx在曲线方程中分别对 求导，得t对应于点 的参数
7、 ，于是)1,1,1(1t3,2,1111tttzyx从而切线方程为312111zyx法平面方程为0)1(3)1(21zyxZYXO0MTZ例 求两柱面222222,RzxRyx的交线在点：2,2,2RRR处的切线方程。解解222222,RzxRyx在方程组中分别对 求导数，得x022,022dxdzzxdxdyyx于是zxdxdzyxdxdy,从而在点 有：2,2,2RRR1,1dxdzdxdy所以切线方程为：121212RzRyRx即)2()2(2RzRyRx此直线可看作是 平面与平面 的交线。Ryx2zy 三 曲面的切平面与法线 设曲面方程为0),(zyxF过曲面上点 任作一条在曲面上的
8、曲线 ，设其方程为),(0000zyxMl0)()()()()()(tzFtyFtxFzyx)(),(),(tzztyytxx显然有0)(),(),(tztytxF在上式两端对 求导，得tnTM),(),(),(0/0/0/tztytxT 曲线在M处的切向量nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0)()()()()()(000000tzFtyFtxFMzMyMx上式说明向量 与切线向量 正交。)(,)(,)(000MzMyMxFFFn)(),(),(000tztytx从而曲面在 点的切平面方程为0M由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与
9、 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。0M0Mnnl0)()()()()()(000000zZFyYFxXFMzMyMx在 点（设 点对应于参数 ）有0tt 0M0M过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为0M0M000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX该法线的一组方向数为：000)(,)(,)(MzMyMxFFF综上所述若曲面方程为0),(zyxF则该曲面在 点的切平面方程为0M0)()()()()()(000000zZFyYFxXFMzMyMx过 点的法线方程为0M000)()()(000MzMyMxFzZ
10、FyYFxX设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为,0Mzyx,),(0000zyxM222222222000000000000)()()()(cos)()()()(cos)()()()(cosMzMyMxMzMzMyMxMyMzMyMxMxFFFFFFFFFFFF 若曲面方程为),(yxfz 容易把它化成刚才讨论过的情形：0),(),(zyxfzyxF0)()(,()(,(0000000zZyYyxfxXyxfyx1),(),(0000000zZyxfyYyxfxXyx于是曲面在 （这里 ）点的切平面方程为),(000zyx),(000yxfz 法线方程为
11、 若曲面方程为参数形式：),(),(),(vuzzvuyyvuxx如果由方程组 可以确定两个函数：),(),(vuyyvuxx),(),(yxvvyxuu于是可以将 看成 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。zyx,代入方程 ，得),(vuzz),(),(yxvyxuzz 因此需分别计算 对 的偏导数。zyx,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz将 分别对 求导，注意到 为 的函数按隐函数求导法则有vu,yx,),(),(yxvyxuzz vu,解方程组，得),(),(),(),(,),(),(),(),(vuDyxDvuDxzDyzvuDyxDvuDzyDxz法线方程于是曲面
12、在 点的切平面方程为0M000),(),(),(),(),(),(000MMMvuDyxDzZvuDxzDyYvuDzyDxX0)(),(),()(),(),()(),(),(000000zZvuDyxDyYvuDxzDxXvuDzyDMMM例 1 求球面 在点 的切平面及法线方程14222zyx)3,2,1(解解14),(222zyxzyxF设zFyFxFzyx2,2,2则6)3,2,1(,4)3,2,1(,2)3,2,1(zyxFFF所以在点 处 球面的切平面方程为)3,2,1(0)3(6)2(4)1(2zyx法线方程634221zyx曲面的夹角曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的
13、夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例 2 证明对任意常数 ，球面 与锥面 是正交的。2222zyx,2222tgzyx即证明证明球面 的法线方向数为0),(2222zyxzyxFzyx2,2,2zyx,锥面 的法线方向数为0tg),(2222zyxzyxG2tg,zyx22020202000000tg)tg,(),(zyxzyxzyx在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积),(000zyx因 在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥面正交。),(000zyx解,632),(
14、222 zyxzyxF)1,1,1()1,1,1(6,4,2zyxn,6,4,2切平面方程为切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2 zyx,032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1)在点632 面3222zyx椭球求例例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0,2,1(处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解,32),(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4
15、 zyx,042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx .42000zyx .0212 5222平行的切平面，是其与平面求椭球面例zyxzyx2,4,2000zyxn 法向量法向量因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,1120 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),118,221,112(2112 zyx切平面方程切平面方程2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面3 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线
