1、工科数学1感谢你的观看2019年8月25第五讲第五讲 矩阵矩阵2感谢你的观看2019年8月25(一)矩阵的定义由nm 个数),2,1;,2,1(njmiaij排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵.简称nm 矩阵记作mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为 nmijaA实矩阵复矩阵例191481819139152111717AnmA记号一、一、矩阵的概念矩阵的概念3感谢你的观看2019年8月25(二)一些特殊的矩阵零矩阵:记作:O行矩阵:对nmA型矩阵而言个元素都为零的矩阵.nm1m)(21naaaA列矩阵：1nmbbbA214感谢你的观看2019年8月25方阵:nm 称A
2、为n阶方阵.单位矩阵：主对角元全为1,其余元素全为零的n阶矩阵.数量矩阵:主对角元全为非零常数的n阶矩阵.,k其余元素全为零nnnE111nnnkkkkE记作:或EnE5感谢你的观看2019年8月25对角阵:非主对角元皆为零的n阶矩阵.nnaaaaaadiag2121),(行列式与矩阵的区别:一个是算式,一个是数表一个行列数相同,一个可不同.对 n阶方阵可求它的行列式.记为:A6感谢你的观看2019年8月25(一)矩阵相等,加减法,数乘(二)矩阵的乘法(三)矩阵的转置(四)方阵的行列式二、二、矩阵的基本运算矩阵的基本运算7感谢你的观看2019年8月25相等相等:设,)(nmijnmaAtsij
3、tsbB)(则tnsm,且),2,1;,2,1(njmibaijij时,称矩阵A与矩阵B相等.记作:BA 420134081zyx加法加法:)(ijnmaA ijnmbBijijbaBA321222654123975345(一)矩阵相等,加减法,数乘8感谢你的观看2019年8月25满足运算规律:;)1(nmnmnmnmABBA);()()2(nmnmnmnmnmnmCBACBA)(ijnmaA)(ijnmaAOAA)(减法减法:)(nmnmnmnmBABAnmnmnmAAO)3(9感谢你的观看2019年8月25数乘数乘:,)(nmijnmaA数规定:nmijaAA注意注意:矩阵的数乘与行列式的
4、线性 性质的区别.满足运算规律:A1 A2;A;AA)(3BA;BA,nmAnmB数,2502312410046252212542210感谢你的观看2019年8月25(二)矩阵的乘法定义:smijaA nsijbB规定:A与B的乘积是一个nm阵nmijcC)(sjisjijiijbababac2211kjskikba1njmi,1;,1记作:ABC 11感谢你的观看2019年8月25注:(1)两矩阵BA,可做乘积AB的必要条件的行数的列数BA(2)矩阵相乘对初学者来说是较为陌生的运算法则,需通过大量,反复练习来掌握.例如43675003112101A2411232140B12感谢你的观看201
5、9年8月25mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mnnnmmaaaaaaaaa212221212111TA(三)矩阵的转置13感谢你的观看2019年8月25满足运算规律:TTA1A TBA2TTBA TkA3TkA是数k TAB4TTABTkAAA21TTTkAAA1214感谢你的观看2019年8月25对称矩阵:反对称矩阵:njiaaAjiijnn,2,1,若njiaaAjiijnn,2,1,若083801310例AAATnn是对称矩阵AAATnn是反对称矩阵15感谢你的观看2019年8月25定义:.,n的行列式称为方阵的元素所构成的行列式阶方阵由nnnnAA记作:AAde
6、t或运算规律:是数,nnnnBA ABAAT321;A;An.BA(四)方阵的行列式16感谢你的观看2019年8月25定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义:,),(,A,A,的逆矩阵是并称可逆简称为可逆矩阵则称使得如果存在一个矩阵对于矩阵ABAEBAABB1,:AB即记作1A.,:1的逆矩阵是唯一的则是可逆矩阵若定理AA.0,:2AA则是可逆矩阵若定理三、逆三、逆矩阵矩阵17感谢你的观看2019年8月25AAAAA*1,0:3且可逆若定理奇异矩阵非奇异矩阵.0 AA可逆.,:1ABEBAEAB且则若推论例1.,?,求其逆矩阵若可逆是否可逆下列矩阵BA101111123A321bbb
7、B18感谢你的观看2019年8月25101111123A解:02101111123A1 1111101 1 21 1101 1 1 3111110 2 121211201A 2 2223 11211A 2 323321210A 3 131211111A 3 2323 11211A 3 333321111A 11A12A13A19感谢你的观看2019年8月25AAA*112122012121,0321可逆时 BbbbB321bbbB1123111bBbb20感谢你的观看2019年8月25例211122122aaAaa1A求1121122211aaaaAA例3.,4,:,01032并求它们的逆矩阵
8、都可逆证明设方阵满足方程EAAEAAEEAAEEAAEAA)3(10110)3(1032EEAEAEEAEA)(61)4(6)(4(112212210,Aa aa a21感谢你的观看2019年8月25可逆矩阵的性质:则数是同阶可逆阵设,0,kBA AAAAABABAkkAAATT15;4;3;2;111111111111注:111BA,BABABABA一般地可逆既使不一定可逆皆可逆200110011001CBA22感谢你的观看2019年8月25针对:行数,列数较高的矩阵(大型矩阵),采用分块法.目的:大矩阵运算转化为若干小矩阵运算,使运算更为简明.41000140000110031010200
9、01A例如3E1A2A02130AAEA四、分块四、分块矩阵矩阵23感谢你的观看2019年8月25常用的分块矩阵常用的分块矩阵nmijnmaAmA21miaaainiii,2,121按行分块nA,21njaaaTmjjjj,2,121按列分块24感谢你的观看2019年8月25对角块矩阵(准对角矩阵)mAAAA21nrrmiAmiiii1),2,1(阶方阵是其中条件:有时可分为对角线附近中非零元素都集中在主,nnA对角块矩阵25感谢你的观看2019年8月25420000231000013000000100000020000012A例321AAA20121A12A4202310133A26感谢你的
10、观看2019年8月25分块矩阵的运算加法tskltsklBBAAtsklklBABA232221131211aaaaaaA232221131211bbbbbbB22211211AAAA22211211BBBB BA2222212112121111BABABABA27感谢你的观看2019年8月25数量乘法是数分块矩阵,tsklAAtsklAA分块矩阵的乘法 则的行的分块法完全相同法与的列的分块且分块矩阵分块为分别如果把设,BA,AtssrBAbBapnijnmijstssttrsrrssBBBBBBBBBAAAAAAAAAAB212222111211212222111211trklCC28感谢你
11、的观看2019年8月25),1;,1(12211tlrkBABABABACilsikislkslklkkl41000201013001100004100014A例.2A用分块乘法求3E1A02A29感谢你的观看2019年8月25221320AAEA2221130AAAAE151421024114013120013120211AAA1788174114222A30感谢你的观看2019年8月25221320AAEA2221130AAAAE1780008170001510014201010200131感谢你的观看2019年8月25分块矩阵的转置tsklAAstlkTBAsktlABTkllk,1;,
12、1,22211211AAAAA例如TTTTTAAAAA2212211132感谢你的观看2019年8月25可逆分块矩阵的逆矩阵mAAAA21对角块矩阵可逆的充要条件是：.,21都是可逆矩阵子块mAAA112111mAAAA33感谢你的观看2019年8月25例51,2000012000012000005200021AA求设1A2A12111AAA34感谢你的观看2019年8月25矩阵的初等变换和初等矩阵用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵五、初等变换与初五、初等变换与初等等矩阵矩阵35感谢你的观看2019年8月25三种初等变换三种初等变换三种初等矩阵三种初等矩阵 .3;2;1置将矩阵的某两列对换位后加到另
13、一列零常数将矩阵的某一列乘以非乘矩阵的某一列以非零常数kk倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换对换变换对换变换初等变换初等变换由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.E初等列变换初等列变换初等行变换初等行变换36感谢你的观看2019年8月25初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵 1111kkiE行第i第第 列列i0k37感谢你的观看2019年8月25初等倍加矩阵初等倍加矩阵 1111kkijE行第i行第j第第 列列i第第 列列j0k38感谢你的观看2019年8月25初等对换矩阵初等对换矩阵1101111011,jiE行第j行第i第第 列列i第第 列列j39感谢你的观看201
14、9年8月25一般结论一般结论:.A,AkikiAEkiAkiE列乘的第表示行乘的第表示 .A,A列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示jkikijAEikjAkijE.A,A,列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示jijiAEjiAjiE40感谢你的观看2019年8月25初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的 EkiEkiE 1 EkijEkijE EjiEjiE,kiEkiE11 kijEkijE1jiEjiE,141感谢你的观看2019年8月25 (二二)用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵定理:可逆矩阵可以经过若干次 初等行变换化为单位矩阵.推论1 可逆矩阵可以表示
15、为若干个初等矩阵的乘积.1 1推推论论2 2:如如果果对对可可逆逆矩矩阵阵A A和和同同阶阶单单位位矩矩阵阵E E作作同同样样的的初初等等行行变变换换，那那么么当当A A变变成成单单位位矩矩阵阵时时，E E就就变变成成A A。1,AEEA，初初等等行行变变换换1AEEA初等列变换初等列变换42感谢你的观看2019年8月25例例61 11 11 12 21 11 11 12 20 0A A阵A的逆矩阵阵A的逆矩阵用初等行变换求可逆矩用初等行变换求可逆矩100111010211001120,EA 10011100112001021121rr43感谢你的观看2019年8月25 11010000112
16、001021113rr 11010011102001021132rr110100212121010010211212r44感谢你的观看2019年8月251102121212523211A1101002121210102523210013212rrr45感谢你的观看2019年8月257.A,2,423110123BABABBA例 设满足求其中2AE BA变形022EAEA知求AEAB12(1)(3)(2)(4).B求46感谢你的观看2019年8月25321011324A EA2100010001121011322),2(EEA 1101100213400100111312212rrrrrr12101132247感谢你的观看2019年8月25 46110011011001001123324rrrr 4611003510100100113231rrr 46110035101034100121rr48感谢你的观看2019年8月2546135134121EAAEAB12321011324461351341912269268349感谢你的观看2019年8月25
