1、第十六章第十六章 二次根式二次根式16.2 16.2 二次根式的乘除二次根式的乘除第第1 1课时课时 二次根式的二次根式的 除法除法1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升二次根式的除法法则二次根式的除法法则商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质最简二次根式最简二次根式 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤次根式的一般步骤是什么是什么？1知识点知识点二次根式的除法法则二次根式的除法法则问问 题题1.计算：计算：(1)=_,=_;(2)=_,=_;(3)=_,=_.知知1 1导导91691616
2、3641616364162.根据上题计算结果，用根据上题计算结果，用“”、“”或或“=”填空：填空：综上所述，二次根式的除法法则：综上所述，二次根式的除法法则：.当二次根式前面有当二次根式前面有 系数时，类比单项式除以单项式法系数时，类比单项式除以单项式法 则进行计算：即系数之商则进行计算：即系数之商 作为商的作为商的 ，被开方数之，被开方数之 商为商为 .知知1 1导导91691616364161636416_ _归归 纳纳知知1 1导导1法则：法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指两个二次根式相除，把被开方数相除，根指 数不变，即：数不变，即：(a0，b0)(1)法则中的被开方数法则
3、中的被开方数a，b既可以是数，既可以是数，也可以也可以是是代数式，代数式，但但都必须是非负的且都必须是非负的且b不不为为0；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式除以时，可类比单项式除以 单项式的法则进行运算，将根号外因数单项式的法则进行运算，将根号外因数(式式)之商作为之商作为 根号外商的因数根号外商的因数(式式)，被开方数之商作为被开方数，被开方数之商作为被开方数aabb 归归 纳纳知知1 1导导2易错警示：易错警示：(1)在在 (a0，b0)中，特别中，特别 注意注意b0，若，若b0，则代数式无意义；，则代数式无意义；(2)二次根式的运算结果要尽量化到
4、最简；二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以 免出现免出现类似类似 这样这样的错误；的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，也可以把除法运算转化为乘法运算来计算也可以把除法运算转化为乘法运算来计算aabb 114422解：解：(1)(2)例例1 计算：计算：(1)；(2)知知1 1讲讲24331.218=242484 2 2 2;33=31313183 9 3 3.2182182总总 结结知知1 1讲讲 利用二次根式的除法法则进行计算，被开
5、方利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数个数的倒数”进行约分、化简进行约分、化简1 计算：计算：(1)；(2)；(3)；(4).知知1 1练练182 72626aa 2520bba 2 成立的条件是成立的条件是()Aa1 Ba1且且a3 Ca1 Da33 计算计算 的结果是的结果是()A.B.C.D.知知1 1练练3311aaaa 223146 323 22242知识点知识点商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质知知2 2导导 把把 反过来，就得到反过来，就得到 (a0，b0)，利用它可以进行二次
6、根式的化简，利用它可以进行二次根式的化简.aabb aabb 知知2 2讲讲 把二次根式的除法法则反过来，得：把二次根式的除法法则反过来，得：(a0，b0)这就是商的算术平方根的性质这就是商的算术平方根的性质 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根以除式的算术平方根要点精析：要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次商的算术平方根的性质的实质是逆用二次 根式的除法法则；根式的除法法则；(2)应用商的算术平方根的性质的前提条件是商中被除式应用商的算术平方根的性质的前提条件是商中被除式 是非负数，除式是正数；是
7、非负数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分 母中的根号化去母中的根号化去aabb 知知2 2讲讲例例2 化简化简：(1)(2)解：解：(1)(2)3100；75.27=333;10010100=2222755355.273333 总总 结结知知2 2讲讲 利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分母是一个完全平方数若被开方数的分母是一个完全平方数(式式)，则可以直，则可以直 接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别接利用商的算术平方根的性质，先将分
8、子、分母分别 开平方，然后求商；开平方，然后求商；(2)若被开方数的分母不是完全平方数若被开方数的分母不是完全平方数(式式)，可根据分式，可根据分式 的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等 于于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式式)，然，然 后利用商的算术平方根的性质进行化简后利用商的算术平方根的性质进行化简1 化简：化简：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练9116；5212116ba；49x；2296111413xxx,yy .（）知知2 2练练2 下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是(
9、)A.B.C.D.3 若若 ，则，则a的取值范围是的取值范围是()Aa0 Ba0 D0a1822 3342 3322 93aabb 211aaaa 知知2 2讲讲例例3 计算计算：(1)(2)(3)解：解：(1)解法解法1：解法解法2：(2)(3)35；3 227；8.2a22333 5151515.55 55555 =223 23 23 22236.3273333333 88242.2222aaaaaaaa 23351515.55555 （）总总 结结知知2 2讲讲分母有理化一般经历如下三步：分母有理化一般经历如下三步：“一移一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数，即将分子、分母中能开得尽
10、方的因数(式式)移移到根号外；到根号外；“二乘二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式式)；“三化三化”，即化简计算，即化简计算1 将下列各式分母中的根号去掉：将下列各式分母中的根号去掉：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练112；aba；152；23 22 3.2 老师在讲解老师在讲解“二次根式及其性质二次根式及其性质”时，在黑板上写下了下面时，在黑板上写下了下面 的一题作为练习：已知的一题作为练习：已知 a，b，用含有，用含有a，b的代的代 数式表示数式表示 .甲的解法：甲的解法：乙的解法：乙的解法：因为因为 所以所以 请你解答下面的问题：请你解
11、答下面的问题：(1)甲、乙两人的解法都正确吗？甲、乙两人的解法都正确吗？(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法请你再给出一种不同于上面两人的解法知知2 2练练7704.94949 107 707704.9;1010 10101010ab=4.949 0.17 0.1,170.1,1070ab 74.97 0.17.aabb3知识点知识点最简二次根式最简二次根式知知3 3导导 观察上面例观察上面例1、例、例2、例、例3中各小题的最后结果，比如中各小题的最后结果，比如 等，可以发现这些式子有如下两个特点：等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；被开方数不含分母；(2)被开方数
12、中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式根式(simplest quadratic radical).在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式次根式，并且分母中不含二次根式.3 22 2,10aa归归 纳纳知知3 3导导定义：定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个 二次根式叫做最简二次根式：二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数不含分母；被
13、开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式要点精析：要点精析：最简二次根式必须满足：最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式式)；(2)被开方数中每个因数被开方数中每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2，即每，即每 个因数个因数(式式)的指数都是的指数都是1.知知3 3讲讲例例4 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简 二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由 (
14、1)(2)(3)(4)(5)(6)导引：导引：根据最简二次根式的定义进行判断根据最简二次根式的定义进行判断解：解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母 (2)是最简二次根式是最简二次根式 (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含即含 有分母有分母)13；21x ；0.2；24x；3269xxx ；32.32 知知3 3讲讲(4)不是最简二次根式，因为被开方数不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开中含有能开 得尽方的因数得尽方的因数4，422.(5)不是最简二次根式，因为不是最简二次根式，因为x
15、36x29xx(x26x 9)x(x3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式，被开方数中含有能开得尽方的因式(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式不是最简二次根式，因为分母中有二次根式 综上，只有综上，只有(2)是最简二次根式是最简二次根式总总 结结知知3 3讲讲 判断一个二次根式是最简二次根式的方法：判断一个二次根式是最简二次根式的方法：利用最利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断，即简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断，即(1)被被开方数不含分母，即被开方数必须是整数开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式式)；(2)被开方被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中
16、每个数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每个因数因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2，另外还要具备分母中不，另外还要具备分母中不含二次根式含二次根式1 在二次根式在二次根式 中，最简二次根式的中，最简二次根式的 个数是个数是()A1 B2 C3 D4知知3 3练练2248,3,11,2,9xmax 22212,5aaabb 2 在下列根式中，不是最简二次根式的是在下列根式中，不是最简二次根式的是()A.B.C.D.知知3 3练练21a 21x 24b0.1y知知3 3讲讲例例5 设长方形的面积为设长方形的面积为S，相邻两边长分别为，相邻两边长分别为a，b.已知已知S=，b
17、=,求求 a.解：解：因为因为S=ab，所以，所以2 3102 32 31030.5101010Sab 总总 结结知知3 3讲讲 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：(1)“一分一分”，即利用因数，即利用因数(式式)分解的方法把被开方数的分分解的方法把被开方数的分 子、分母都化成质因数子、分母都化成质因数(式式)的幂的乘积形式；的幂的乘积形式；(2)“二移二移”，即把能开得尽方的因数，即把能开得尽方的因数(式式)用它的算术平方用它的算术平方 根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式 移到根号
18、外时，要注意应写在分母的位置上；移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化三化”，即将分母有理化，即将分母有理化化去被开方数中的分母化去被开方数中的分母1 把下列二次根式化成最简二次根式：把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)(4)2 设长方形的面积为设长方形的面积为S，相邻两边长分别为，相邻两边长分别为a，b.已知已知S=16，b=，求求a.知知3 3练练32；40；1.5；4.3101.利用商的算术平方根化简二次根式的方法：利用商的算术平方根化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分若被开方数的分 母是一个完全平方数母是一个完全平方数(式式)，则可以直接利用商的算术平方
19、根的，则可以直接利用商的算术平方根的 性质将分子、分母分别开平方，然后再求商；性质将分子、分母分别开平方，然后再求商；(2)若被开方数的若被开方数的 分母不是完全平方数分母不是完全平方数(式式)，则可根据分式的基本性质，将分式，则可根据分式的基本性质，将分式 的分子、分母同时乘一个不等于零的数的分子、分母同时乘一个不等于零的数(整式整式)，使分母变成一，使分母变成一 个完全平方数个完全平方数(式式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简，然后利用商的算术平方根的性质进行化简2.把二次根式化成最简二次根式时，需要注意把二次根式化成最简二次根式时，需要注意 把根号下的带把根号下的带 分数化成假分数；分数化成假分数；被开方式是多项式的要进行因式分解；被开方式是多项式的要进行因式分解；被开方式不含分母；被开方式不含分母；被开方式中能开得尽方的因数或被开方式中能开得尽方的因数或 因式，要将它的算术平方根移到根号外；因式，要将它的算术平方根移到根号外；化去分母中的化去分母中的 根号；根号；约分约分
