1、第三章 平面问题的直角坐标解答Theory of Elasticity and Finite Element Method弹性力学与有限元弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答目录3-1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答40 (a),.
2、(b)xyxxsyxyyslmfmlf当体力为常量，按应力函数 求解平面问题时，应满足S S=上应力边界条件,体内满足相容方程3-1 3-1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解法多项式解法一、按应力函数求解弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答由 求应力的公式是:22222,d.xxyyxyf xyf yxx y 多连体中的位移单值条件。(c)弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答二、逆解法逆解法1.在面力(e)作用下的解答，即上述 及相应的应力。
3、2.逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。3.逆解法主要适用于简单边界条件的问题。说明逆解法基本步骤：设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入 式（3-10）应力边界条件确定弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例2 二次式 ，分别表示常量的应力和边界面力。如图所示。例1 一次式 对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。axbyc22cybxyax逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问
4、题的直角坐标解答例3.三次多项式（1）3223axbx y cxydy其中:a、b、c、d 为待定系数。检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxy40可作应力函数（3）计算应力分量（不计体力）：222xybxcyx y 2226xcxdyy2226ybyaxx结论：三次多项式对应于线性应力分布。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例4.四次多项式（1）432234axbx ycx ydxyey检验(x,y)是否满足双调和方程（2）4428cx y 4424ax4424ey代入：40得0
5、33eca024824eca 可见，对于上述四次多项式函数，其待定系数必须满足上式才能作为应力函数。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答总结：多项式应力函数 的性质：(1)一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。(2)二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。(3)用多项式构造应力函数(x,y)的方法逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答
6、平面问题的直角坐标解答例5.设图中所示的矩形长梁，l h，试考察下面的应力函数 能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2(l h)按逆解法可见 满足相容方程。有可能成为该问题的解。(1)将 代入 相容方程04 弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(3)由边界形状和应力分量反推边界上的面力。因此在这些边界面上无面力作用，即在主要边界(大边界)上,2/hy0y0yx0 xyff(2)由 求出应力分量).41(23,0,1222222322hyhFyxxhFxyyxyyx弹性力学与有限元弹性力
7、学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答在x=0，l的次要边界（小边界）上，).41(23)(,12)(),();41(23)(,0)(),(02232200hyhFfyhFlfxlxhyhFffxxlxxyylxxxxxyyxxx面正面负端面上的面力分布如图(a)所示，面力的主矢和主矩如图(b)所示。结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力F作用的问题。(a)(b)弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答三、半逆解法半逆解法 针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状
8、和受力情况，针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方
9、面不能满足，就要另作假设，重新考察。能满足，就要另作假设，重新考察。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答半逆解法基本步骤：半逆解法基本步骤：设定(,)xx y反推出(,)x y满足40求出其他应力分量确定积分常数求出其他应力分量弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界
10、条件。ss xyl1hMM弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 .04,6ayx.0 xyy3ay(a)求解步骤：检验应力边界条件，原则是:b.后校核次要边界(小边界)，若不能精确满足应力边界 条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界(大边界)，必须精确满足应力边界条件。主要边界:2/hy,0)(2/hyy 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,0)(,0lxxy满足。次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。x.02/hyxy(b)弹性力学与有限
11、元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答可用两个积分的条件代替 ,0)(,0lxxy满足。次要边界次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。x.1)(,01)(2/2/,02/2/,0Mdyydyhhlxxhhlxx(d)当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa最终得应力解,123yIMyhMx(e)hl lx,0 x.0 xyy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3-3 3
12、-3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出形变分量、位移分量？以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出形变分量、位移分量？xyl1hMM由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：12/3hMyyIMx0 xy0y平面应力状态的物理方程：平面应力状态的物理方程：1.形变分量形变分量(a)将式将式(a)代入得：代入得：yMyE I 1xMyE I0 xy(b)(1xyyE)(1yxxEGxyxy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（2）位移分量）位移分量将式（b）代入几何方程得：0 xvyuxyI
13、MyExux1IMyEyvy(c)将式（c）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：)(),(21xfyf式中：为待定函数。0)()(21xfyfxEIM)()(12yfxfxEIM整理得：弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)()(12yfxfxEIM整理得：要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：为常数。积分上式，得01)(uyyf0222)(vxxEIMxf将上式代入式（d），得0MuxyyuEI22022MMvyxxvEIEI(f)弹性
14、力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（1）讨论：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。常数00 xEIMyuxx当 x=x0=常数xEIMyu(f)0MuxyyuEI22022MMvyxxvEIEI xyl1hMM:u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面:材料力学中“平截面”的假设成立。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(2)将式(f)中的第二式对 x求二阶导数
15、：常数EIMxv221在微小位移下,梁纵向纤维的曲率相同。此即材料力学中挠度曲线微分方程。2.2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支000yxu000yxv00ylxv弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答22022MMvyxxvEIEI 0MuxyyuEI(f)将其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回(f)式，有()2MluxyEI2()22MMvlx xyEIEI(3-3)梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20与材料力学中结果相同弹性力学与有限元弹性力学与有限元河
16、南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁边界条件：0lxv0lxu22hyh由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：0,000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）22022MMvyxxvEIEI 0MuxyyuEI(f)弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答代入式（f），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv(3-4)挠曲线
17、方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3-4 简支梁受均布载荷要点 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlq
18、l1yzh/2h/2q一、应力函数的确定一、应力函数的确定(1)分析：y 主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；xy由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又 q=常数，受力和几何都对称与x，不随 x变化。y推得：)(yfy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(2)由应力分量表达式确定应力函数 的形式：),(yx22()yfyx积分得：1()()xf yf yx212()()()2xf yxf yfy(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数(3)由由 确定：确定：40)(),(),(21yfyfyf4
19、(2)2222()fyxy440 x42(4)(4)(4)124()()()2xfyxfyfyy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答代入相容方程：444442242xxyy0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。必有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处略去了f1(y)中的常数项弹性力学与
20、有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答对第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)将式(c)、(d)代入式(b)，有23232()()2xAyByCyDx EyFyGy)610(2345KyHyyByA(e)式中含有9个待定常数。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :.0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程
21、对于任何x,y均满足,故 的系数均应等于0，012,xxx得三个常微分方程。半逆解法3232154322106fAyByCyDfEyFyGyABfyyHyKy 说明：式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)解出，对称性条件由于结构和荷载对称于y轴，故 应为x的偶函数，为x的奇函数，故 。由 求应力。,xy xy0GFE在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用由 q 对称、几何对称：yx,x
22、的偶函数xy x 的奇函数由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意的 y 成立，须有：0GFExyllqlql1yzh/2h/2q弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)(2232DCyByAyx)610(2345KyHyyByA应力函数成为：2.应力分量的确定应力分量的确定22xyKHyByAyBAyx2622)26(223222yxDCyByAy232xyx y )23(2CByAyx(f)(g)(h)弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解
23、答xyllqlql1yzh/2h/2q 考察边界条件。(a)上下边界：上下边界：;0,2xyhy;,2qhyy;0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答由此解得：,23hqA,0B2qDhqC23代入应力公式得：KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623(i)(j)(k)弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答
24、(b)左右边界（由于对称，只考虑右边界即可。）22hhxyx ldyql 220hhxx ldy220hhxx lydyxyllqlql1yzh/2h/2q0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhq0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答qllyhqyhqlhy223232362可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)2211
25、2hyhyqy22346yhxhqxy最终的应力分量为：截面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次抛物线三次抛物线q弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,3121hI惯性矩：惯性矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：)(222xlqM剪力：剪力：sFqx
26、 将其代入式将其代入式(p)，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqysxyF SbI（3-19）弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqysxyF SbI（19）说明：说明：（1）xxy第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该项误差很小，可略；，该项误差很小，可略；当当 h/l较大时，须修正。较大时，须修正。（2）y为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑
27、。为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。两端用了圣维南原理，（两端用了圣维南原理，（3-19）式再端面附近不适用。）式再端面附近不适用。（4）弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答1.当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x 的偶函数，而 应为x的奇函数。vyx,uxy,思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平 衡条件的？3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面 假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工
28、大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答ggxyO楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：g)m/N(3（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：g)m/N(3（楔形体的容重）；（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。xyyx,1.应力函数及应力分量应力函数及应力分量(1)分析：分析：(a),gg,x 的量纲为：的量纲为：,gg)m/N(3 的形式应为：的形式应为：xgygxgygx,的线性组合。的线性组合。x 的量纲为：的量纲为：2N/m(b)由由 推理得：推理得：22xy应为应为 x、y 的
29、三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：3223axbx ycxyey3-5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyO(2)应力分量应力分量3223axbx ycxyey考虑到：考虑到：fx=0，fy=（常体力）（常体力）gcybx2222xxf xyeycx6222yyf yx2xyx y gybyax26(a)显然，上述应力函数满足相容方程。显然，上述应力函数满足相容方程。2.边界条件的利用边界条件的利用(1)x=0 （应力边界）：（应力边界）：
30、gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2)（应力边界）：（应力边界）：tanyx 0yxff0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中：其中：sin将将(b)代入，有代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得
31、：代入，可求得：弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式（代入式（b），有：），有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)xyx)(y)(李维（李维（Levy）解答）解答沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布与材力结果比较：与材力结果比较：xyxy 沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压沿水平方向线性分布，与材力中偏心受
32、压公式算得结果相同。公式算得结果相同。沿水平方向沿水平方向线性分布线性分布，材力中为，材力中为抛物线分布。抛物线分布。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答结果的适用性：结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶
33、处有其它载荷，故坝顶处结果实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。误差较大。三角形重力坝的精确分析，常借助于有三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。限元数值方法求解。工程应用：工程应用：求使坝稳定时的角度求使坝稳定时的角度 。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（1）024422444yyxx(3-11)（2）xyyx,然后将然后将 代入式（代入式（3-10）求出应力分量：）求出应力分量：),(yx先由方程（先由方程（3-11）求出应力函数：）求出应力函数：),(yxyfxyy22xfyxx2
34、2yxxy2(3-10)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,04小结：小结：按应力函数求解平面问题的基本步骤：按应力函数求解平面问题的基本步骤：求解方法：求解方法：逆逆解解法法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（3-11）的）的(x,y)的形式；的形式；（2）然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（3-10），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件
35、式（再利用应力边界条件式（2-26），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y)对对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求可以求解什么问题。解什么问题。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)
36、的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（3-10）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。xyyx,半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。数理方程中分离变量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）将已求得的应力分量将已求得的应力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量xyyx,将应变分量将应变分量xyyx,代入几何方程，并积分求得位移分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边界条件确定表达式中常
37、数，得最终结果。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答作业作业(03)P48习题3-3,3-6,3-8,3-9,3-10任选3题弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题1(习题3-7)设单位厚度
38、的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数 求解应力分量。hl 332DxyCyByAxy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1.将 代入相容方程，显然是满足的。2.将 代入式(2-24)，求出应力 分量。)3(,0,6622DyADxyCyBxyyx3.考察边界条件：(a)主要边界 上应精确满足应力边界条件(即式(2-15)2/hy/22/2()0,3()0,0.(a)4yyhxyyhADh满足；得弹性力学与有限元弹性力学与有
39、限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 (b)次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：xyx 和3.考察边界条件：(a)主要边界 上应精确满足应力边界条件(即式(2-15)2/hy/22/2()0,3()0,0.(a)4yyhxyyhADh 满 足；得/20/2()d,;2hNxxNhFyFBh得/203/22()d,;hxxhMy yMCh得/230/21()d,.(b)4hxYxsshyFAhD hF得由(a),(b)解出332 ,.2
40、ssFFADhh (c)另一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，不必再校核。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答将上面求得的系数A、B、C、D代入应力公式，即得该问题的应力解答：33221212,0,3(14).2NsxysxyFFMyxyhhhFyhh 弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题2(习题3-11)挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。12解：用半逆解法半逆解法求
41、解 因在 y=-b/2边界上,y=b/2 边界上，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 ;0y2;ygx y()yxf y1.假设应力分量的函数形式。2.按应力函数的形式，由 推测 的形式2221312(),()(),2()()().6yxfyxx fyfyxxfyxfyfyy弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.由相容方程 求应力函数4044342124424dddd20.6 ddddffxffxyyyy要使上式在任意的x处都成立，必须要求各项系数均为零,解之 3254321322;106.fAyByCyD
42、ABfyyGyHyIyfEyFy 代入 ,即得应力函数解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4.由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24),并注意 求得应力分量为1,0,xyfg f232321(3 (2262)(62),xxBxfxAyyxAyByGyHEyFgx2232 =(),yyyfxx AyByCyD222432 (32)22 (32).23xyx yxAyByCAByyGyHyI 弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答5.考察边界条件：(a)主要边界主要边界 上,有2/by/22(),yy bgx/2()0,
43、yyb/2()0,xyyb322();(a)842bbbx ABCDgx 32()0 842bbbxABCDb2243233()()0.2432124xbbbbABb CABGHb I由此得到23 0 (c,d)4bABbC43230 (e,f)32124bbbABGHbI(b)次要边界次要边界(小边界)x=0上,列出三个积分的边界条件：/20/2/20/2/20/2()d0;()d0;g,h,i()d0bxxbbxxbbxyxbyyyy 由方程(a)-(i)即可确定系数A-I,代入应力分量的表达式得最后的应力解答：332221333232322233234,521 (2);3233(3)()
44、41080 xyxygggx yxyxygxbbbyygxbbyyybgxgybbbby。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题3已知,)();()()(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，即.04 将 代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答
45、例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。2FbM32AxBx解：解：应用应力函数求解：(1)校核 相容方程 ，满足.04(2)求应力分量，在无体力时，得62,0.yxxyAxB(3)考察主要边界条件主要边界条件，,0,0,xxyxb满足考察次要边界条件次要边界条件，在y=0上，0()0,xyy0()d,by ybxF0()d,2byybFbx x满足。2,.82FFABbb得弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答上述应力已满足相容方
46、程和全部边界条件，是上述问题的解。得应力的解答为:3(1),0.22yxxyFxbb(4)求应变分量，33(1),(1),02222xyxyFxFxEbbEbb 。(5)求位移分量，3(1),22xuFxxxEbb由对 积分得3(1),22yvFxyyEbb 由对 积分得213()();24FxuxfyEbb23()().22FxyvyfxEbb 将u,v代入几何方程的第三式，0 xyvuxy两边分离变量，并全都等于 常数，即212d()d()3,dd4f xf yFyxyEb从上式分别积分，求出20(),fxxv21023().8FfyyyuEb弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力
47、学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答代入u,v,得2202033(),2483().22FxFuxyyuEbbEbFxyvyxvEbb 再由刚体约束条件，0,0,0,()0,()0,()0 xyhxyhxyhuuvy002233,.824FFFuhvhhE bE bE b可得，22233()()2483()(1).22FxFuxhyEbbEbFxvhyEbb，代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，0().2xyFhvEb弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题5 图中矩形截面的简支梁上，
48、作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。335333,Ax yBxyCx yDxyExFxy 解：应用上述应力函数求解：(1)将 代入相容方程，721200,5ABAB3得。由此，33533353 Bx yBxyCx y DxyExFxy。(2)代入应力公式，在无体力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(3)考察主要边界条件主要边界条件),2/(hy/2 0,xyyh。，)33515(6610
49、6201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx对于任意的x值，上式均满足，由此得,041532BhC42530164BhDhF(a,b),0)6345(,0 ,2/3EChBhxhyy.)6345(,2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)(4)考察小边界小边界上的边界条件(x=0),6d)(02/2/qlyxhhxy53.1646hhqlBDFh(e)可验证另两个积分边界条件满足.由方程(a)-(e)解出B-F,于是得到应力解答.22421553(3)()04164xCBhBhDhF弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三
50、章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。222222323222232(2),10(134),2(14)(3).420 xyxyxy lxyqlhhhxyyqlhhqylxhyhhlhllh 试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的。.3d)(,0d)(0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx，弹性力学与有限元弹性力学与有限元河南理工大学力学系第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例题6 矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用如下应力函数求解其应力分量。F2
