1、y=ax2(a0)a0a0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向上向下向下(0,0)(0,0)y轴轴y轴轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。x=0时时,y最小最小=0 x=0时时,y最大最大=0抛物线抛物线y=ax2(a0)的形状是由的形状是由|a|来确定的来确定的,一般说来一般说来,|a|越大越大,抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小.例例1.1.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,画出二次函数画出二次函数y=y=2 2x x2 2+1+1和和y=y=2 2x x2 21 1的图像的图像解解:列表
2、列表x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=2xy=2x2 2+1 1y=2xy=2x2 2-1-119199 93 31 13 39 9191917177 71 1-1-11 17 71717描点描点连线连线(1)(1)抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1的开口方向、对称轴、顶的开口方向、对称轴、顶点各是什么点各是什么?(2)(2)抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1与抛物线与抛物线y=2xy=2x2 2有什么关有什么关系系?（1 1）抛物线）抛物线y=2xy=2x2 2+1:+1:开口向上开
3、口向上,顶点为顶点为(0,1).(0,1).对称轴是对称轴是y y轴轴,抛物线抛物线y=2xy=2x2 21:1:开口向上开口向上,顶点为顶点为(0,(0,1).1).对称轴是对称轴是y y轴轴,(2)(2)抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+1,y=2x+1,y=2x2 21 1与抛物线与抛物线y=2xy=2x2 2的异同的异同点点:1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=2xy=2x2 2+1 1抛物线抛物线y=2xy=2x2 2抛物线抛物线 y=2xy=2x2 21 1向向上上平移平移1 1个单位个单位抛物线抛物线y=2xy=2x2 2向向下下平移平移1 1
4、个单位个单位y=2xy=2x2 21 1y=2y=2x x2 2抛物线抛物线 y=2xy=2x2 2+1 1相同点：相同点：形状大小相同形状大小相同开口方向相同开口方向相同对称轴相同对称轴相同不同点：不同点：顶点的位置不同，抛顶点的位置不同，抛物线的位置也不同物线的位置也不同把抛物线把抛物线y=2x2向上平移向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移个单位，会得到哪条抛物线？向下平移34个单位呢？个单位呢？22yx2224644824522 xy4.322 xy(1)(1)得到抛物线得到抛物线y=2xy=2x2 2+5+5(2)(2)得到抛物线得到抛物线y=2xy=2x2 23.43.4抛物
5、线抛物线y=axy=ax2 2与与y=axy=ax2 2k k之间的关系是：（之间的关系是：（k k 0 0）形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同而顶点位置和抛物线的位置不同抛物线之间的平移规律：抛物线之间的平移规律：抛物线抛物线y=axy=ax2 2抛物线抛物线 y=axy=ax2 2k k向向上上平移平移k k个单位个单位抛物线抛物线y=axy=ax2 2向向下下平移平移k k个单位个单位抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+k k 函数函数y=ax2(a0)和函数和函数y=ax2+k(a0)的图象形状的图象形状 ，只
6、是位置不同；当，只是位置不同；当k0时，函数时，函数y=ax2+k的图象可由的图象可由y=ax2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到，当个单位得到，当k0时，抛物线时，抛物线y=ax2+k的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x=时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 ；当当a0时时,抛物线抛物线y=ax2+k的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，
7、在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x=时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 。42-2-4-6-8y-10-5510 xO108642-2y-10-5510 xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上向上y轴轴(0,k)减小减小增大增大0小小k向下向下y轴轴(0,k)增大增大减小减小0大大k例：在同一个直角坐标系中，画出函数例：在同一个直角坐标系中，画出函数y=-x2和和y=-x2+1的图像，并根据图像回答的图像，并根据图像回答下了问题：下了问题：（1）抛物线）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才经过怎样的平移才能
8、得到抛物线能得到抛物线y=-x2（2）函数）函数y=-x2+1，当，当x 时，时，y随随x的增的增大而减小；当大而减小；当x 时，函数时，函数y有最大值，最大值有最大值，最大值y是是 其图像与其图像与y轴的交点坐标是轴的交点坐标是 ，与，与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是（3）试说出抛物线）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、的开口方向、对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标21二次函数二次函数k当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+的开口向上的开口向上,在对称轴的左在对称轴的左边，即边，即曲线自左向右下降，函数曲线自左向右下降，函数y随随x的增大而的增大而减小；在对称轴的右边，即减小；在对称轴的右
9、边，即曲线自左向右上升曲线自左向右上升，函数，函数y随随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数时，函数y取得最小值，即当取得最小值，即当当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+的开口向下的开口向下,在对在对称轴的左边，即称轴的左边，即曲线自左向右上升，曲线自左向右上升，函数函数y随随x的增大而增大；在对称轴的右边，即的增大而增大；在对称轴的右边，即曲线自左向右下降，函数曲线自左向右下降，函数y随随x的增大的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当取得最大值，即当二次函数没有一次项二次函
10、数没有一次项,则抛物线对称轴是则抛物线对称轴是y轴轴,抛物线对称轴是抛物线对称轴是y轴轴,则二次函数没有一次项则二次函数没有一次项 (1)函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象 向向 平移平移 个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象 可由可由 y=4x2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到。个单位得到。(2)将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得 y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到可由单位得到可由 y=2x2的图象。将的图象。将y=x2-7的图象的图象 向向 平
11、移平移 个单位可得到个单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。上上5下下11下下4上上7上上9（3）抛物线）抛物线y=-3x2+5的开口的开口 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大的增大而而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x=时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 。（4）抛物线）抛物线y=7x2-3的开口的开口 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大的增大而而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x=时
12、，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 。下下y轴轴(0,5)减小减小增大增大0大大5上上y轴轴(0,-3)减小减小 增大增大 0小小-35、在同一直角坐标系中，一次函数、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和和二次函数二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（的图象大致是如图中的（）xyoAxyoCxyoBxoyDB7.抛物线y=ax2c与y=x2的形状相同，且其顶点坐标是（,），则其表达式为_，y=x2或或y=x28 8、按下列要求求出二次函数的解析式：、按下列要求求出二次函数的解析式：（1 1）已知抛物线）已知抛物线y=axy=ax2 2+c+c经过点（经过点（-3-3，
13、2 2）（）（0 0，-1-1）求该抛物线线的解析式。求该抛物线线的解析式。（2 2）形状与）形状与y=-2xy=-2x2 2+3+3的图象形状相同，但开口的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（方向不同，顶点坐标是（0 0，1 1）的抛物线解析式。）的抛物线解析式。（3 3）对称轴是）对称轴是y y轴，顶点纵坐标是轴，顶点纵坐标是-3-3，且经过，且经过 （1 1，2 2）的点的解析式，）的点的解析式，（4 4）抛物线）抛物线y=axy=ax2 2c c对称轴是对称轴是y y轴，顶点（轴，顶点（0 0，-3-3），），且经过（且经过（1 1，2 2），求抛物线的解析式），求抛物线的解析式
14、.9已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其图象上在其图象上,且且x2 x40,0 x3|x1|,|x3|x4|,则则 ()x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B x2 x1 B A o y x10 已知二次已知二次函数函数y=ax2+c，当，当x取取x1,x2(x1 1x2,x1,x2分别是分别是A,B两点的横坐标两点的横坐标)时，函数值相等，时，函数值相等，则当则当x取取x1 1+x2时，函数值为时，函数值为 （）A.a+c B.a-c
15、C.c D.cD11.已知抛物线已知抛物线 ，把它向下平移，得到，把它向下平移，得到的抛物线与的抛物线与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于轴交于C点，点，若若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？平移几个单位？221xy y=ax2+k(a0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向上向下向下(0,k)(0,k)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线抛物线y=ax2+k(a0)的图象可由的图象可由y=ax2
16、的图象通过上的图象通过上下平移下平移|k|个单位个单位得到得到.|a|越大开口越小，反之开口越大。越大开口越小，反之开口越大。1 某涵洞是抛物线形某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示它的截面如图所示.现测得水面现测得水面宽宽AB=1.6m,涵洞顶点涵洞顶点C到水面的距离为到水面的距离为2.4m.在图在图中直角坐标系内中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式求涵洞所在抛物线的函数解析式.试一试xyABOC415415解解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将将x=0.8,y=0 代入代入y=ax
17、2+2.4得得0=0.64a+2.4a=_涵洞所在抛物线的函数解析式涵洞所在抛物线的函数解析式为为y=_ x2+2.42.如图如图,是一座抛物线形拱桥是一座抛物线形拱桥,水位在水位在AB位置时位置时,水面水面宽宽4 米米,水位上升水位上升3米达到警戒线米达到警戒线MN位置时位置时,水面水面宽宽4 米米,某年发洪水某年发洪水,水位以每小时水位以每小时0.25米的速度上米的速度上升升,求求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?6 N M B Axyc 解解:以以AB为为x轴轴,对称轴为对称轴为y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系,设抛物线的代数表达式为设抛物线的代数表达式为y=ax2+c.则则B点坐标为点坐标为(2 ,0),N点坐标为点坐标为(2 ,3),63故故0=24a+c,3=12a+c,解得解得a=-,c=6,14即即y=-x2+6.14其顶点为其顶点为(0,6),(6-3)0.25=12小时小时.
