1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值A 一般地一般地,设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个值取每一个值x xi i(i i1 1，2 2，)的概率的概率P(P(x xi i)p pi i，则称下表则称下表为随机变量为随机变量的概率分布的概率分布.由概率的性质可知由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布都具有任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性质：下述两个性质：x1x2xiPp1p2pi按按3：2：1的比例混合，混合糖果的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等中每一粒糖果的质量都相等.定价
2、为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景问题情景18元元/kg24元元/kg36元元/kgm千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为321182436666mmm18元元/kg24元元/kg36元元/kg情景探究情景探究按按3：2：1混合以下糖果混合以下糖果 181824362436P XP XP X 平均价格为平均价格为32118243666632118243623/.666mmmmkg元元362418PX362616一一.离散型随机变量的均值或数学期望离散型随机变量的均值或数学期望 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 X X 的概率分布为的概率分布为
3、XP1x2x3xnx1p2p3pnp 1122nnXEXxpxpxp 均均值值则则称称为为随随机机变变量量的的或或，它它反反映映了了离离散散型型随随机机变变量量取取值值的的平平数数学学期期望望均均水水平平.1.定义定义2.2.性质性质 已知随机变量已知随机变量X X,其均值为其均值为E E(X X).).若若Y YaXaXb b,其中其中a a,b b为常数为常数,则则Y Y也是随机变量也是随机变量.并且随机变量并且随机变量Y Y的均值为：的均值为：E E(Y Y)=E E(aXaXb b)aEaE(X X)b b 1122112212()()().()(.)(.)().nnnnnE Yaxb
4、 paxb paxb pa x px px pb pppaE Xb pnxnpkxkp2x2p1x1PXpnaxn+bpkaxk+bp2ax2+bp1ax1+bPY随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为：随机变量随机变量Y Y=aXaX+b b的分布列为：的分布列为：随机变量随机变量Y Y的数学期望是：的数学期望是：()()E aXbaE Xb即例例1.1.在篮球比赛中在篮球比赛中,罚球命中罚球命中1 1次得次得1 1分分,不中得不中得0 0分。如分。如果某运动员罚球命中的概率为果某运动员罚球命中的概率为0.70.7,那么他罚球那么他罚球1 1次的得次的得分分X X的均值是多少？的均值是多
5、少？X10P0.7 0.3()1 0.70 0.30.7.E X 解解:据题意据题意,X,X的分布列为的分布列为故他罚球故他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是的均值是0.70.7一般地一般地,如果随机如果随机变量变量X X服从两点分服从两点分布布,那么那么E E(X X)=)=？X01P1 pp()10(1).E Xppp 若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=)=p.p.二二.两点分布的均值两点分布的均值如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？三三.二项分布的均值二项分布的均值若若XB(n，p),则则E(X)=np.注注:(1).:(1).随机变量的均值是常数
6、随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着而样本的平均值是随着样本的不同而变化的样本的不同而变化的.因此因此,样本的平均值是随机变量样本的平均值是随机变量;(2).若,都是离散型随机变量,则 E(a+)=aE()+E()0.40.132.45.81212,XB(20 0.9)(20,0.25)XXXB和则，1X2X1X2XE(5E(5 )5E5E()()5 518189090，1X2X1X2X1122()iinnE Xx px px px pP1xix2x1p2pipnxnpX()()E aXbaE XbpEX ()E Xnp如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？1110.nkknkn
7、knpCp qnp 若若XB(n，p)，则，则E(X)=np.111(1)101()nnkkn kkknknnkkE XkC p qnpCpq ()1(0 1 2)n kkknP XkC ppkn ，11.kknnkCnC 这这里里用用到到，请请自自己己证证明明则则E(X)p若若XH(N，M，n)则则E(X)nMN若若XB(n，p)则则E(X)np若若XB(1，p)各种不同概率模型下的数学期望各种不同概率模型下的数学期望例例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量的随机变量X与与Y，且且X，Y的分布列为的分布列为：问：甲、乙两名射手谁的射击水平
8、高问：甲、乙两名射手谁的射击水平高?X123P0.3 0.1 0.6Y123P0.3 0.4 0.3()1 0.32 0.13 0.62.3E X ；()1 0.32 0.43 0.32.0.E Y 所以，甲射手比乙射手的射击水平高所以，甲射手比乙射手的射击水平高.解：解：例题讲解例题讲解设在一组数据设在一组数据x1，x2，xn中，各数据与它们的中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：平均数的差的平方的平均值是：叫做这组叫做这组数据的方差数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn 方差说明了这组数据的波动情况方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义离散型随机变
9、量的方差定义对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表：的概率分布如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi(i=1，2，n)相对于均值相对于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2.(xnE(X)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X).其算术平方根为其算术平方根为X的的标准差标准差：记为记为()D X().X 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的的稳定与波动稳定与波动，集中
10、与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义定义深析定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是加工的零件相等，所得次品数分别是 、，分布，分布列如下列如下：试求随机变量试求随机变量 、的期望和方差的期望和方差.解：解：1122()9()0.4()9()0.8.EDED ，；，从上可知，从上可知，.所以，在射所以，在
11、射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分环较多，而射手乙所得环数比较分散，得散，得8环和环和10环的次数要多些环的次数要多些.1212()()()()EEDD ，例题讲解例题讲解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：分布列如下表：射手甲射手甲 射手乙射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平击水平.0
12、.4100.290.48概率概率p击中环数击中环数 2 20.2100.690.28概率概率p击中环数击中环数 1 1 (3)1()(1)XBpD Xpp若若，则则；2(2)()()D aXba D X；212221122()()()()()niiinnD XxE XpxE XpxE XpxE Xp 重要结论：重要结论：(4)()(1).XB npD Xnpp若若，则则 2222212(1)1nXD xsxxxxn对对于于 取取各各个个值值的的概概率率相相同同时时，；公式推广公式推广例例2 一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择个选择题构成，每个选择题有题有4个选项，其中仅有一
13、个选项正确个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对每题选对得得5分，不选或选错不得分，满分分，不选或选错不得分，满分100分分.学生甲学生甲选对任意一题的概率为选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.例题讲解例题讲解可设甲、乙两学生做对题的个数分别为可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1、X2.例例2 一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个个选项，其中仅有一个选项正确选项
14、，其中仅有一个选项正确.每题选对得每题选对得5分，不选或分，不选或选错不得分，满分选错不得分，满分100分分.学生甲选对任意一题的概率为学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解：解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是正确答案的选择题个数分别是X1 和和 X2，则则X1B(20，0.9)，X2 B(20，0.25)，所以所以E(X1)200.91
15、8，E(X2)200.255由于答对每题得由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是测验中的成绩分别是5 X1和和5 X2所以，他们在测所以，他们在测验中的成绩的期望分别是验中的成绩的期望分别是E(5 X1)5E(X1)51890，E(5 X2)5E(X2)5525答答:甲、乙同学得分的期望分别是甲、乙同学得分的期望分别是90分和分和25分分.求离散型随机变量均值的步骤：求离散型随机变量均值的步骤：确定离散型随机变量可能的取值；确定离散型随机变量可能的取值；写出分布列，并检查分布列的正确与否；写出分布列，并检查分布列的正确与否；求出均值求出均值.
16、方法与步骤方法与步骤例题讲解例题讲解例例3 一年中一辆车受损的概率为一年中一辆车受损的概率为0.03.现保险公司现保险公司拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为为1000元，若在一年内该车受损，元，若在一年内该车受损，则保险公司需则保险公司需赔偿赔偿3000元元.一年内，一辆车保险公司一年内，一辆车保险公司平均收益平均收益多少？多少？分析：分析：设保险公司平均收益为设保险公司平均收益为X.则则X的分布列为：的分布列为：X 2000 1000P0.030.97()2000 0.03 1000 0.97910.E X 答：一辆车保险公司平均收益答：一
17、辆车保险公司平均收益910元元.1.现要发行现要发行10000张彩票，其中中奖金额为张彩票，其中中奖金额为2元的元的彩票彩票1000张，张，10元的彩票元的彩票300张，张，50元的彩票元的彩票100张，张，100元的彩票元的彩票50张，张，1000元的彩票元的彩票5张张.问问1张张彩票可能中奖的均值是多少元？彩票可能中奖的均值是多少元？2.在只需回答在只需回答“是是”与与“不是不是”的知识竞赛时，的知识竞赛时，每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输1分，分，否则赢否则赢0.3分分.用用 X表示甲的得分，如果甲随机猜表示甲的得分，如果甲随机猜测测“是是
18、”与与“不是不是”，计算，计算X 的数学均值的数学均值.小试身手小试身手方案方案2：建建保护保护围墙围墙，建设费建设费2000元元，但围墙只能，但围墙只能防小洪水防小洪水；试比较哪一种方案好？试比较哪一种方案好？遇大洪水损失遇大洪水损失60000元元遇小洪水损失遇小洪水损失10000元元有小洪水的概率为有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01大型设备大型设备方案方案3：不采取措施不采取措施.方案方案1：运走设备运费为：运走设备运费为3800；能力展现能力展现2.3.2 离散型随机变量离散型随机变量的的方方 差差例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人
19、加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是加工的零件相等，所得次品数分别是 、，分布，分布列如下列如下：012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：E(=E(=1那么甲、乙两人的技术水平相同吗？那么甲、乙两人的技术水平相同吗？情景引例情景引例设在一组数据设在一组数据x1，x2，xn中，各数据与它们的中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：平均数的差的平方的平均值是：叫做这组叫做这组数据的方差数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn 方差说明了这组数据的波动情况方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义离散
20、型随机变量的方差定义对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表：的概率分布如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi(i=1，2，n)相对于均值相对于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2.(xnE(X)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X).其算术平方根为其算术平方根为X的的标准差标准差：记为记为()D X().X 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的的稳定与波动稳定与波
21、动，集中与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义定义深析定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是加工的零件相等，所得次品数分别是 、，分布，分布列如下列如下：试求随机变量试求随机变量 、的期望和方差的期望和方差.(3)1()(1)XBpD Xpp若若，则则；2(2)()()D aXba D X；2122211
22、22()()()()()niiinnD XxE XpxE XpxE XpxE Xp 重要结论：重要结论：(4)()(1).XB npD Xnpp若若，则则 2222212(1)1nXD xsxxxxn对对于于 取取各各个个值值的的概概率率相相同同时时，；公式推广公式推广解：解：1122()9()0.4()9()0.8.EDED ，；，从上可知，从上可知，.所以，在射所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比
23、较分环较多，而射手乙所得环数比较分散，得散，得8环和环和10环的次数要多些环的次数要多些.1212()()()()EEDD ，例题讲解例题讲解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：分布列如下表：射手甲射手甲 射手乙射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平击水平.0.4100.290.48概率概率p击中环数击中环数 2 20.2100.690.28概率概率p击中环数击中环数 1 1例例3 袋中有袋中有4只只红红球，球，3只黑球，今从袋中随机取只黑球，今从袋中随机取出出4只球只球.设取到
24、一只红球得设取到一只红球得2分，取到一只黑球分，取到一只黑球得得1分，试求得分分，试求得分 的分布列，数学期望的分布列，数学期望E(，方，方差差D(.例题讲解例题讲解例例4 每人在一轮投篮练习中最多可投篮每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次次为止为止.已知一选手的投篮命中率为已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习，求一轮练习中该选手的实际投篮次数中该选手的实际投篮次数 的分布列，并求出的分布列，并求出 的的期望期望E(与方差与方差D(和标准差和标准差 .例例5 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10次，求正面次数与反面次次，求正面次数与反面次数之差数之差 的概率分布，并求出的概率分布，并求出 的期望的期望E(与方与方差差D(.例题讲解例题讲解
