1、2.3.3直线与平面垂直的性质习题课直线与平面垂直的性质习题课23.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1已知 b平面，a，则 a 与 b 的位置关系是()AabBabBCa 与 b 垂直相交Da 与 b 垂直且异面2下列命题中，真命题的个数是()C和一条直线成等角的两平面平行；和两条异面直线都平行的两平面平行；和两相交直线都平行的两平面平行A0B1C2D3解析：假，、真3下面四个命题，其中真命题的个数为()B如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直；一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面内的所有直线都不垂直；垂直于同一平
2、面的两条直线平行A1 个B2 个C3 个D4 个4两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是_解析：、是真命题相交、平行、在平面内重点线面、面面垂直的性质定理1线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直线线平行)2面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直用符号语言表示为：若，l，a，al，则a(面面垂直线面垂直)3面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内直线与平面垂直的性质定理的简单应用例 1：如图 1，在四面体 PABC 中，若 PA BC
3、，PBAC，求证：PCAB.图 1思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直证明：过 P 作 PH平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH和 CH.PA BC,PHBC，PA PHP，BC平面 PAH.又 AH平面 PAH，BCAH.同理 ACBH，即 H 为ABC 的垂心，ABCH.PHAB，CHPHH，AB平面 PCH.PC平面 PCH，PCAB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用11.已知 a、b 是两条不同的直线，、为两个不同的平面，a，b，则下列命题中不正确的是()BA若 a 与 b 相交，则与相交B若与相交，则 a
4、与 b 相交C若 ab，则D若，则 ab解析：与相交，a 与 b 可能是异面直线12.、是两个不同的平面，m、n 是、之外的两条不同的直线，给出以下四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题_.解析：答案不唯一，如：也正确图 2证明：作 AHSB 于 H.平面 SAB平面 SBC，AH平面 SBC.AHBC.又 SA平面 ABC，SABC.又AHSAA，BC平面 SAB.BCAB.面面垂直线面垂直平面与平面垂直的性质定理的简单应用例 2：如图 2，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面SAB平面 SBC.求证：ABBC.21.如图 3，四
5、棱锥 VABCD 的底面为矩形，侧面 VAB底面 ABCD，且 VB平面 VAD.求证：平面 VBC平面 VAC.图 3证明：四边形 ABCD 为矩形，BCAB.又面 VBA面 ABCD，面 VBA面 ABCDAB，BC面 VAB.BCVA.VB面 VAD，VBVA.VBBCB，VA面 VBC.又VA面 VAC，面 VBC面 VAC.面面垂直的综合应用例 3：如图 4，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，AESB 于 E 点，过 E 作 EFSC 于 F 点(1)求证：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD.图 4证明：(1)SA平面AC，BC平面AC，S
6、ABC.四边形 ABCD 是矩形，ABBC.BC平面 SAB.又 AE平面 SBC，BCAE.又 SBAE，AE平面 SBC.AESC.又 EFSC，SC平面 AEF，AFSC.(2)SA平面 AC，DC平面 AC，SADC.又 ADDC，DC平面 SAD.又 AG平面 SAD，DCAG.又由(1)有 SC平面 AEF，AG平面 AEF，SCAG，且 SCDCC，AG平面 SDC.AGSD.3 1.已知 PA 矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面ABCD 成 45角，M、N 分别为 AB、PC 的中点求证：平面 MND平面 PDC.图 27证明：如图 27，设 E 为 PD 中点，连
7、接 AE、EN，M、N分别为 AB、PC 中点，ENDCAB，四边形 AMNE 为平行四边形，MNAE.DCAE，DCPD，PDA 是二面角 PDCA 的平面角PDA45，又 PA AD，APD45，PAD 是等腰直角三角形E 为 PD 的中点，AEPD.又DCAE，AE平面 PDC.又 MNAE，MN平面 PDC.平面 MND平面 PDC.PA 矩形 ABCD 所在的平面，PA DC，PA AD.又DCAD，DC平面 PAD，而 AE平面 PAD.例 4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面错因剖析：找不准辅助线，无从下手证法一：如图5，在内取一点 P，作
8、PA 垂直与的交线于A，再作 PB 垂直与的交线于 B，则 PA，PB.l，lPA，lPB.与相交，PA 与 PB 相交又 PA，PB，l.图 5图 6证法二：如图 6，在内作直线 m 垂直于与的交线，在内作直线 n 垂直于与的交线，m，n.mn.又 n，m，ml，l.证法三：如图7，在 l 上取一点 P，过点 P 作的垂线 l，但l，l 与 l重合，l.图 7点评：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法一、证法二的关键证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了 l这条辅助线，这是证法三的关键通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法)D41.(2010 年山东)在空间，下列命题正确的是(A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行
