1、Fractales Un nuevo punto de vista分形理论的新观点分形理论的新观点El estudio de los fractales comenz con muchos protagonistas,pero ninguno de ellos era tan llamativo como los conjuntos de Julia y de Mandelbrot y la biyeccin que se puede establecer entre ellos.La frmula para ambos conjuntos es:Zn+1=Zn2+CSiendo el C f
2、ijo en el conjunto de Julia y siendo el Zo fijo en el Mandelbrot e igual a 0 en el famoso fractal de Mandelbrot(que aqu llamaremos Mo)A.Douady y J.H.Hubbard demostraron que el fractal de Mandelbrot Mo reune en su interior a todos los puntos C a los que corresponde un fractal de Julia conexo y que ad
3、ems,el mismo Mo,era conexo.Sin embargo,es posible avanzar an ms en estas relaciones de conexin.Tomemos un punto cualquiera del hiperespacio complejo,es decir,puntos dados por 2 parejas de coordenadas complejas.Estos puntos se pueden poner en la funcin Julia/Mandelbrot como Zo y C,e iterar hasta sabe
4、r si el punto hace a la funcin divergir o no.Sabemos ahora que ese punto estar en un nico fractal de Mandelbrot,y en un nico fractal de Julia.Por tanto,a cada fractal de cualquier conjunto de Mandelbrot(M)le corresponde un nico fractal del conjunto de Julia(J)en cada punto del primero.Esto establece
5、 una biyeccin que desde mi punto de vista no ha sido utilizada demasiado,aunque ciertamente se han encontrado propiedades interesantes,como la que asocia un nmero de bulbos a un fractal de Julia segn est en el punto comn en un bulbo concreto del Mo.Sabiendo que podemos encontrar un nico fractal de J
6、ulia conexo para cada punto del fractal de mandelbrot podemos usar como variables las coordenadas de los puntos del fractal de Mandelbrot para generar figuras fractales tridimensionales o tetradimensionales.Curiosamente,una propiedad de la que me di cuenta era de que,al variar un punto sobre el mand
7、elbrot,los Julia asociados variaban suavemente,como si realmente estuviramos seccionando una figura conexa tridimensional que nos diera estos fractales de Julia.Sin embargo,al salirnos del conjunto las figuras dejaban de ser conexas,pero no dejaban de variar suavemente.Esto ltimo me hizo pensar lo s
8、iguiente:que realmente la funcin que genera los fractales de Julia y de Mandelbrot era conexa en las cuatro dimensiones.Claro,de ser esto ltimo verdad,la potencia de las propiedades de conectividad de stos conjuntos sera mucho ms potente.Desgraciadamente,sin los teoremas sobre la conexin de fractale
9、s de Douady y Hubbard es imposible la rigurosidad matemtica en la demostracin de tal propiedad.Sin embargo,la falta de herramientas matemticas es posible suplirla con un poco de fe y un ordenador con Fractint.La fe aqu es importante porque,al igual que los matemticos de la antigedad no saban por qu
10、se cumplan una serie de cosas y tampoco podan demostrar su falsedad,yo tengo la certeza de que la propiedad antes mencionada se cumple porque al calcular y comparar,la peculiaridad grfica de las figuras generadas por el programa apoya mi tesis de manera intuitiva,pero sin aportar ningn dato riguroso
11、.A continuacin vamos a observar cuatro progresiones de imgenes,las cuales son fractales de Mandelbrot y de Julia a los cuales se les ha ido haciendo variaciones en las componentes iniciales de manera que se observa esta propiedad.Ahora veremos la primera progresin en la cual veremos los siguientes f
12、ractales tipo mandelbrot en los que variamos slo la componente real:Zo=0Zo=0.25Zo=0.5Zo=0.75Zo=1Zo=2Zo=3Ahora veremos otra vez fractales de Mandelbrot,pero ahora variando la componente imaginaria:Zo=0Zo=0.1iZo=0.2iZo=0.3iZo=0.4iZo=0.5iZo=iZo=1.25iEn la siguiente progresin veremos una que es bastante
13、 famosa,ya que es fcil encontrarla por Internet:los fractales de Julia generados al ir por la parte negativa del eje real asociado al fractal Mo.Los valores son:C=0 C=-0.1 C=-0.2 C=-0.3 C=-0.4 C=-0.5 C=-0.75 C=-1La ltima progresin es la ms espectacular,porque ahora no es un fractal de Julia generado
14、 a partir de.Mo.En principio cualquiera puede encontrar por Internet una progresin de los fractales de Julia asociados a Mo,pero nunca una de este tipo.Tras ver estos fractales se hace difcil no creer que realmente la funcin Julia/Mandelbrot sea conexa en cuatro dimensiones.An as,esto no deja de ser
15、 una conjetura.Los datos son:C=iC=i+0.001C=i+0.005C=i+0.01C=i+0.05C=i+0.1C=i+0.5Bibliografa:dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/sdcomplejos.htmlAgradecimientos:A Bartolom Luque y el resto del profesorado del Departamento de Matemtica Aplicada y Estadstica,tanto por su paciencia como por si ayuda desinteresada.Nota:Siento haber entregado este trabajo tan tarde,pero deseo que al menos lo disfrute.Atentamente:Enrique Casielles Lapeira谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生
