1、信号与系统多媒体教学课件多媒体教学课件第六章第六章Part 322023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课内容要点内容要点 双边拉普拉斯变换的定义和收敛域双边拉普拉斯变换的定义和收敛域 单边拉普拉斯变换及其性质单边拉普拉斯变换及其性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 微分方程和电路的微分方程和电路的s域求解域求解 LTI系统的系统函数及其性质系统的系统函数及其性质 LTI系统的框图表示系统的框图表示 32023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统6.0
2、 引言引言6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义6.2 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换6.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质作业一作业一42023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统6.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6.5 微分方程的求解微分方程的求解作业二作业二52023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统6.6 电路的电路的s域求解域求解6.7 双边拉普拉斯变换双边拉普
3、拉斯变换作业三作业三62023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统6.8 LTI系统的系统函数及其性质系统的系统函数及其性质6.9 LTI系统的框图表示系统的框图表示作业四作业四72023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解利用拉氏变换进行电路分析的两种利用拉氏变换进行电路分析的两种方法方法v应用基尔霍夫定律写出描述电路网络应用基尔霍夫定律写出描述电路网络特性的微分方程，然后采用拉普拉斯特性的微分方程，然后采用拉普拉斯
4、变换来求解该方程，再通过逆变换得变换来求解该方程，再通过逆变换得到时域解到时域解v建立电路的建立电路的s域等效模型，在此模型上域等效模型，在此模型上建立的电路方程将是一个代数方程，建立的电路方程将是一个代数方程，求解更方便求解更方便82023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解电路的微分方程解法电路的微分方程解法【例例6-27】已知下图所示的已知下图所示的RC电路，电路，t=0时开关闭合接入一直流电压时开关闭合接入一直流电压V，假设，假设电容电容C上的初始电压为上的初始电压为vC(0-)=V0。求。求t0时的输出时的输出
5、vC(t)，并指出零输入响应，并指出零输入响应vC,zi(t)和零状态响应和零状态响应vC,zs(t)RC vC(t)Vt=0i(t)92023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-27】(续续)v解：应用解：应用KVL，可，可得该电路的微分方程得该电路的微分方程v利用时域微分性质作拉普拉斯变换得利用时域微分性质作拉普拉斯变换得 RC vC(t)Vt=0i(t)()(d)(dtVutvttvRCCC)()(1d)(dtuRCVtvRCttvCCsRCVsVRCvssVCCC1)(1)0()()/(11)/(1)(
6、0RCssRCVRCsVsVCVC,zi(s)VC,zs(s)102023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-27】(续续)v部分分式展开部分分式展开,得得v求求ILT得得 RC vC(t)Vt=0i(t)/(111)/(1)(0RCssVRCsVsVC)()e1()(e)(0tuVtuVtvRCtRCtC)(e)(0zi,tuVtvRCtC)()e1()(zs,tuVtvRCtC112023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解s域等效模
7、型域等效模型v根据电路元件的阻抗根据电路元件的阻抗R与电压与电压v(t)和电和电流流i(t)的关系建立元件的的关系建立元件的s域等效模型，域等效模型，然后根据然后根据KCL和和KVL直接写出直接写出s域的代域的代数方程数方程v电阻的电阻的s域等效模型域等效模型v电容的电容的s域等效模型域等效模型v电感的电感的s域等效模型域等效模型v电源的电源的s域等效模型域等效模型122023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v电阻的电阻的s域等效模型域等效模型o电阻的电阻的R、v(t)、i(t)关系及关系及LT
8、o电阻的电阻的s域模型图域模型图)()(tRitv)()(sRIsVRi(t)v(t)+-RI(s)V(s)+-132023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v电容的电容的s域等效模型域等效模型o电容的电容的C、v(t)、i(t)关系及关系及LTo电容的电容的s域模型图域模型图ttvCtid)(d)()0()()(CvssCVsIsvsIsCsV)0()(1)(i(t)v(t)C+-I(s)V(s)sC1+-sv)0(+-或I(s)V(s)sC1)0(Cv+-142023年年1月月31日星期二日星
9、期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v电感的电感的s域等效模型域等效模型o电感的电感的L、v(t)、i(t)关系及关系及LTo电感的电感的s域模型图域模型图ttiLtvd)(d)()0()()(LissLIsVsisVsLsI)0()(1)(sLI(s)si)0(V(s)+-i(t)v(t)L+-或sLI(s)V(s)+-)0(Li+-152023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v电源的电源的s域等效模型域等效模型o电压源的电
10、压源的s域模型图域模型图o电流源的电流源的s域模型图域模型图+-v(t)+-V(s)+-+-I(s)i(t)162023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-28】应用应用s域模型求解例域模型求解例6-27v解：应用元件的解：应用元件的s域模型，可得到域模型，可得到s域域等效电路等效电路v根据电路可求出根据电路可求出环路电流为环路电流为RVC(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(11)/(1/)(00RCsRVVsCRsVsVsI172023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第
11、章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-28】(续续)v根据电路可直接根据电路可直接写出输出电压为写出输出电压为RVC(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(1)/(1)/1(11)()(0000RCsVsVRCsVsVRCssRCVVsVsCsIsVC182023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-29】已知图示电路中已知图示电路中L=0.5H，C=0.05F,R1=5,R2=2,并假设开关并假设开关在在t=0之前一直处于闭合状态，现将开之前一直处于闭合状态，现将开关断开。求关断开。
12、求t0时电感中的电流时电感中的电流i(t)v解：确定电路的起始解：确定电路的起始状态状态R1C10Vt=0i(t)LR2vC(0-)=10Vi(0-)=2A 192023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.6 电路的电路的s域求解域求解【例例6-29】(续续)vs域等效电路域等效电路 v根据等效电路根据等效电路求电流求电流I(s)sLR2+-+-+-Li(0-)sC1sVc)0(s10sCsLRLisvsIC1)0()0(10)(222222226)2(6326)2()2(26)2(4)2(24042)(sssssssssI)(6sine32)(6c
13、ose2)(22ttuttutitt202LT0)()(coseasasttuat2020LT0)()(sineasttuatBack202023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换的必要性双边拉普拉斯变换的必要性v非因果信号和系统的问题不能用单边非因果信号和系统的问题不能用单边拉普拉斯变换来讨论拉普拉斯变换来讨论应用双边拉普拉斯变换要注意的问应用双边拉普拉斯变换要注意的问题题v收敛域收敛域212023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7 双边拉普拉斯
14、变换双边拉普拉斯变换 收敛域特性收敛域特性双边拉普拉斯变换的性质双边拉普拉斯变换的性质双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换 Back222023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1 收敛域特性收敛域特性性质性质1：收敛域内不能包含任何极收敛域内不能包含任何极点点v如果在收敛域内存在极点，则如果在收敛域内存在极点，则X(s)在在该点的值为无穷大，它就不可能收敛。该点的值为无穷大，它就不可能收敛。这说明收敛域是以极点为边界的。这说明收敛域是以极点为边界的。232023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7
15、.1 收敛域特性收敛域特性性质性质2：信号信号x(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换X(s)的收敛域为的收敛域为s平面上平行于平面上平行于j轴轴的带状区域的带状区域vX(s)的收敛域仅与复变量的收敛域仅与复变量s的实部的实部(即即)有关，而与有关，而与s的虚部无关，这说明收敛的虚部无关，这说明收敛域的边界必然是平行于虚轴域的边界必然是平行于虚轴j的直线的直线ttxttxttxtttstde)(dee)(de)(j242023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1 收敛域特性收敛域特性性质性质3：如果：如果x(t)是一个时限信号，是一个时限信号，并且
16、绝对可积，则并且绝对可积，则X(s)的收敛域为全的收敛域为全s平面平面时当时当0),(0,eedede)()(12212121TTAAtAttxsXTTTTtTTt252023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1 收敛域特性收敛域特性性质性质4：如果：如果x(t)是一个双边信号，是一个双边信号，并且并且X(s)存在，则存在，则X(s)的收敛域一定的收敛域一定是由是由s平面的一条带状区域所组成，平面的一条带状区域所组成，即满足即满足 1 2v将双边信号将双边信号x(t)分为因果信号分为因果信号x(t)u(t)和和反因果信号反因果信号x(t)u(-
17、t)两个分量，则两个分量，则00de)(de)(de)()(ttxttxttxsXststst00de)(de)()(ttxttxsXtt262023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1 收敛域特性收敛域特性性质性质4(续续)v假设假设x(t)为指数阶信号为指数阶信号0,0,)(21tAetAetxtt当当0)(10)(20)(0)(1212e1e1dede)(ttttAAtAtAsXo当当 1 2时双边拉普拉斯变换不存在时双边拉普拉斯变换不存在 272023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1
18、 收敛域特性收敛域特性性质性质5：如果：如果x(t)是一个因果信号或是一个因果信号或右边信号，则右边信号，则X(s)的收敛域在其最的收敛域在其最右边极点的右边右边极点的右边性质性质6：如果如果x(t)是一个反因果信号是一个反因果信号或左边信号，则或左边信号，则X(s)的收敛域在其最的收敛域在其最左边极点的左边左边极点的左边282023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.1 收敛域特性收敛域特性【例例6-30】已知信号已知信号x(t)=e-a|t|,a R,求双边拉普拉斯变换求双边拉普拉斯变换X(s)，画出零极，画出零极点图，并标明收敛域点图，并标
19、明收敛域v解：双边指数信号解：双边指数信号x(t)波形如图所示波形如图所示Ox(t)t.1a0Ox(t)t.1a0)()()()(LTsHsXthtxssXdxt)()(LT0Back342023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换 双边拉普拉斯逆变换的求法双边拉普拉斯逆变换的求法v利用已知的变换表利用已知的变换表v利用拉普拉斯变换的性质利用拉普拉斯变换的性质v利用拉普拉斯变换收敛域性质利用拉普拉斯变换收敛域性质352023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.
20、3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换 以以s的多项式之比表示的双边拉氏变的多项式之比表示的双边拉氏变换换v进行部分分式展开进行部分分式展开v根据收敛域确定对应展开项的逆变换根据收敛域确定对应展开项的逆变换o极点位于收敛域的左边，逆变换为因果极点位于收敛域的左边，逆变换为因果信号信号o极点位于收敛域的右边，逆变换为反因极点位于收敛域的右边，逆变换为反因果信号果信号itpiiipstuApsAi)Re(),(eLTitpiiipstuApsAi)Re(),(eLT362023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆
21、变换【例例6-31】已知双边拉普拉斯变换，已知双边拉普拉斯变换，求逆变换求逆变换x(t)v解：部分分式展开解：部分分式展开233)(2ssssX2112)(sssXvX(s)有两个极点，有两个极点，ROC有三种可能有三种可能O-2-1jO-2-1O-2-1j372023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换【例例6-31】(续续)vROC1:Re(s)-1v两极点均对应于因果信号两极点均对应于因果信号2112)(sssXO-2-1j)()ee2()(2tutxtt382023年年1月月31日星期二日星期二信号
22、与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换【例例6-31】(续续)vROC2:-2Re(s)-1v极点极点p1=-1对应于反因果信号，极对应于反因果信号，极点点p2=-2对应于因果信号对应于因果信号2112)(sssXO-2-1)(e)(e2)(2tututxtt392023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换【例例6-31】(续续)vROC3:Re(s)-2v两极点均对应于反因果信号两极点均对应于反因果信号2112)(sssXO-2-1j)()ee2()(2
23、tutxtt402023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换【例例6-32】已知信号的双边拉普拉斯变已知信号的双边拉普拉斯变换，且信号的傅里叶变换存在，求逆变换，且信号的傅里叶变换存在，求逆变换换x(t)v解：部分分式展开解：部分分式展开)1)(2)(2(4)(sssssX11221221)(ssssXvX(s)有三个单极点，其有三个单极点，其ROC有四种可能性。有四种可能性。但信号存在傅里变换，其但信号存在傅里变换，其LT的收敛域一定的收敛域一定包含包含j轴，因此其轴，因此其ROC必定为必定为-1Re(s)2O-2-12j412023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课6.7.3 双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换【例例6-32】(续续)v极点极点p1=-2和和p3=-1均在均在ROC的左侧，它们对应于的左侧，它们对应于因果信号因果信号v极点极点p2=2位于位于ROC的右的右侧，它对应于反因果信号侧，它对应于反因果信号11221221)(ssssXO-2-12j)(e21)(ee21)(22tututxtttBack422023年年1月月31日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第3次课次课作业三作业三6-86-10Back
