1、第八章第八章8.4 8.4 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法人教版数学七年级下册1.1.会解三元一次方程组会解三元一次方程组.2.2.感受感受“三元三元”化归到化归到“二元二元”,再由再由“二元二元”化归到化归到“一元一元”的数学思想的数学思想.学习目标学习目标 已知甲、乙、丙三数的和是已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大，甲数比乙数大1，甲，甲数的数的2倍与乙数的和倍与乙数的和 比丙数大比丙数大20,求这三个数求这三个数.在上述问题中，设甲数为在上述问题中，设甲数为x，乙数为，乙数为y，丙数为，丙数为z，由，由题意可得到方程组：题意可得到方程组：23,1,220.xyzxyxy
2、z+=-=+-=这个方程组和前这个方程组和前面学面学过的二元一次方过的二元一次方程组有什程组有什么区别和联系？么区别和联系？含有三个未知数含有三个未知数含未知数的项次数都含未知数的项次数都是一次是一次特点特点导入新知导入新知1知识点知识点三元一次方程组的识别三元一次方程组的识别 含有含有三个未知数三个未知数，并且并且含未知数的项的次含未知数的项的次数是一次数是一次的方程组叫做的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组.合作探究合作探究把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，方程组中一共有三个整式方程把y代入，得x22.解三元一次方程组时，消去哪个
3、“元”都是可三元一次方程组的简单应用 6x4y30.(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.三元一次方程组的简单应用让我们看前面列出的三元一次方程组下列方程组中是三元一次方程组的是()B.1方程组含有_个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有_个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组因此 即a，b，c的值分别为3，2，5.三元一次方程组必备条件：三元一次方程组必备条件：(1)是整式方程；是整式方程；(2)共含三个未知数；共含三个未知数；(3)三
4、个都是一次方程；三个都是一次方程；(4)联立在一起联立在一起 例例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.B.C.D.21,0,2xyyzxz-=+=11,12,16yxzyxz+=+=+=1,2,3abcdacbd+=-=-=18,12,0mnnttm+=+=+=DA选项中选项中，方程方程x2y1与与xz2中有含未知数的中有含未知数的项项的次数为的次数为2的项的项，不符合三元一次方程组的定不符合三元一次方程组的定义，故义，故A选项不是选项不是；B选项中选项中 不是整式，不是整式，故故B B选项不是选项不是;C选项中方程组中共含有四个未知选项中方程组中共
5、含有四个未知数数,故故C选项不是选项不是;D选项符合三元一次方程组的选项符合三元一次方程组的定义故答案为定义故答案为D.1 1 1,xy z，导引：导引：三元一次方程组需满足的条件：三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程每个方程均是整式方程新知小结新知小结1 下列方程是三元一次方程的是下列方程是三元一次方程的是_(填序号填序号)xyz1;4xy3z7；6x4y30.270;yzx+-=巩固新知巩固新知2 下列方程组中是三元一次方程组的是下列
6、方程组中是三元一次方程组的是()A.B.C.D.2410 xxzxy，B2120 xyxzyz ，3513223zxyxxy ，3412325xyxyxy，3 若若(a1)x5yb12z2|a|10是一个三元一是一个三元一次方程，则次方程，则()Aa1，b0 Ba1，b0Ca1，b0 Da0，b0C2知识点知识点三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解化成一元一次方程求解.那么，能不能用同样的思那么，能
7、不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组让我们看前面列出的三元一次方程组12,2522,4.xyzxyzxy+=+=合作探究合作探究 仿照前面学过的代入法，我们可以把分别仿照前面学过的代入法，我们可以把分别代入，得到两个只含代入，得到两个只含y，z的方程：的方程：4y+y+z=12，4y+2y+5z=22.它们组成方程组它们组成方程组得到二元一次方程组之后，就不难求出得到二元一次方程组之后，就不难求出y和和z，进而，进而可求出可求出
8、x.512,6522.yzyz+=+=从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过基本思路是：通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，进行消元，把把“三元三元”化为化为“二元二元”，使解三元一次方程组转，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的这与解二元一次方程组的思路是一样的.三元一次三元一次方程组方程组二元一次二元一次方程组方程组一元一次一元一次方程组方程组uuuu r消消元元uuuu r消消元元试一试试一试 上面的三元一次方
9、程组能否应用加减消元法上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解求解?比较一下，哪种方法更简便？比较一下，哪种方法更简便？解三元一次方程组的一般步骤：解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；数比较简
10、单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一合写在一 起起解解三元一次三元一次方程组：方程组：347,239,5978.xzxyzxyz+=+=-+=例例23+，得，得11x+10z35.与组成方程组与组成方程组解这个方程组，得解这个方程组，得解：解：347,111035.xzxz+=+=5,2.xz=-方程只含方程只含x，z，因此，可以由消去，因此，可以由消去y,得得到一个只含到一个只含x，z 的方程，与方程组成一个二的方程，与方程组成一
11、个二元一次方程组元一次方程组.分析：分析：A选项中，方程x2y1与xz2中有含未知数的将x2，y3代入，得z1.，得7x14，所以x2.C.让我们看前面列出的三元一次方程组由2，得7x8z4.(3)_(3)三个都是一次方程；上坡时间平路时间下坡时间2.把x=5,z=-2代人，得Ca1，b0三元一次方程组必备条件：题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程变形为4x2y6z1的错误数的2倍与乙数的和 比丙数大20,求这三个数.让我们看前面列出的三元一次方程组把把x=5,z=-2代人，得代人，得 25+3y-2=
12、9，所以所以因此，这个三元一次方程组的解为因此，这个三元一次方程组的解为5,1,32.xyz=-1.3y=解三元一次方程组时，消去哪个解三元一次方程组时，消去哪个“元元”都是可都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元骤和消元方法，不要盲目消元新知小结新知小结解解下列下列三元一次方程组三元一次方程组：34,(2)2312,6.xyzxyzxyz-+
13、=+-=+=29,(1)3,247;xyyzzx-=-=+=1巩固新知巩固新知，得，得2z2y56，即，即yz28，得，得2y31，所以，所以y15.5.把把y代入，得代入，得x22.把把y代入，得代入，得z12.5.所以原方程组的解为所以原方程组的解为2215.512.5.xyz，29(1)3247.xyyzzx，解：解：，得ab1；把y代入，得z12.怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一下列方程组中是三元一次方程组的是()组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便由组成方程组，得 解得让我们看前面列出的三元一次方程组解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可(2)_；答：甲数为10，乙数
14、为15，丙数为10.因此，这个三元一次方程组的解为让我们看前面列出的三元一次方程组三元一次方程组需满足的条件：将x2，y3代入，得z1.3+，得11x+10z35.上坡时间平路时间下坡时间2.组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便14已知|x8y|2(4y1)23|8z3x|0，求xyz的值因此，这个三元一次方程组的解为(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可(5)将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一每个方程中含未知数的项的次数都是1怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一上坡时间平路时间下坡时间2.某汽车在相距70 km的甲、乙两地往
15、返行驶，行驶中有让我们看前面列出的三元一次方程组在等式yax2bxc中，当x1时，y0；(3)三个都是一次方程；让我们看前面列出的三元一次方程组把y代入，得z12.B选项中 不是整式，故B选项不是;C选项中方程组中共含有四个未知，得，得5x2y16，得，得2x2y2，得，得7x14，所以，所以x2.将将x2代入，得代入，得y3.将将x2，y3代入，得代入，得z1.所以原方程组的解为所以原方程组的解为231.xyz，34(2)23126.xyzxyzxyz ，解：解：3知识点知识点三元一次方程组的简单应用三元一次方程组的简单应用列三元一次方程组解决实际问题的步骤：列三元一次方程组解决实际问题的步
16、骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表 示题目中的数量关系示题目中的数量关系(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称写出答案，包括单位名称合作探究合作探究在等式在等式yax2bxc中，当中，当x1时，时，y0；当；当x2时，时，y3；当；当x5时，时，y60.求求a，b，c的的值值例例3导引：导引：把把a，b，c看成三个未知数，分别
17、把已知的看成三个未知数，分别把已知的x，y值值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组042325560.abcabcabc ，解：解：，得，得ab1；，得，得4ab10.与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组解这个方程组，得解这个方程组，得把把 代入，得代入，得c5.因此因此 即即a，b，c的值分别为的值分别为3，2，5.1410.abab ，32.ab-，32,5,abc-=-，32ab-，某汽车在相距某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行的甲、乙两地往返行驶，行驶中有驶中有一坡度均匀的
18、小山一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地该汽车从甲地到乙地需要需要2.5 h,从从乙地到甲地需要乙地到甲地需要2.3 h.假设该汽车假设该汽车在平路、上坡路、下在平路、上坡路、下坡坡路的行驶过程中的时速分路的行驶过程中的时速分别是别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙地的则从甲地到乙地的过程中过程中,上坡路、平路、下坡路的长上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？度各是多少？例例4导引：导引：题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡路长度路长度70 km；从甲地到乙地的过程中，上坡时间；从甲地到乙地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间平路时间
19、下坡时间2.5 h；从乙地到甲地的过程中，；从乙地到甲地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间上坡时间平路时间下坡时间2.3 h.设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是的长度分别是x km，y km和和z km.由题意得由题意得 答：答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是平路的长度是54 km，下坡路的长度是下坡路的长度是4 km.70,xyz+=12,54,4.xyz=2.5,203040 xyz+=2.3.203040zyx+=解得解得解：解：解此题的关键是理解在汽车往
20、返行驶的过程中，解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段时就变成了下坡路段新知小结新知小结甲、乙、丙三个数的和是甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的，甲数的2倍比乙数倍比乙数大大5，乙数的，乙数的 等于丙数的等于丙数的 ，求这三个数，求这三个数.11312设甲数为设甲数为x，乙数为，乙数为y，丙数为，丙数为z，则有则有解这个方程组，得解这个方程组，得答：甲数为答：甲数为10，乙数为，乙数为15，丙数为，丙数为10.352511.32xyzxyyz ，解：解：101510.xyz，巩固新知巩
21、固新知已知单项式已知单项式8a3xyzb12cxyz与与2a2b2xyc6是同类项是同类项，则，则x_，y_，z_2446在等式在等式yax2bxc中，当中，当x1时，时，y0；当；当x1时，时，y0；当；当x0时，时，y5，可列出关于，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是的三元一次方程组是()A.B.C.D.3005ababc ，005abcabcc ，000255abcabcabc ，005abcabcc ，C【中考中考黑龙江黑龙江】小明妈妈到文具店购买三种学习小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为用品，其单价分别为2元、元、4元、元、6元，购买这些学元，购买这些学习用品需要习用
22、品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调元，经过协商最后以每种单价均下调元成交，结果只用了元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法则小明妈妈有几种不同的购买方法()A6 B5 C4 D34D 解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基程组，求出
23、两个未知数，最后再求出另一个未知数其基本过程为：三元本过程为：三元 消消元元转转化化消消元元转转化化二元二元一元一元1知识小结知识小结归纳新知归纳新知2易错小结易错小结解方程组解方程组2313222441.xyzxyzxyz ，解：解：由由2，得，得7x8z4.由由2，得，得2x3z3.由组成方程组，得由组成方程组，得 解得解得784233xzxz ，125135xz -，125135xz -，把把 代入，得代入，得y2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为1252135xyz -，.解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘某常数，以便于消去同一未知
24、数；在变形同乘某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程变形为过程中，易漏乘常数项而出现方程变形为4x2y6z1的错误的错误易错点：易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错加减消元时，易漏乘某项系数而出错1方程组含有_个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有_个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组三三三三课后练习课后练习2三元一次方程组必须满足的条件：(1)_；(2)_；(3)_方程组含有三个未知数方程组含有三个未知数每个方程中含未知数的项的次数都是每个方程中含未知数的项的次数都是1方程组中一共有三个整式方程方程组中一共有三个整式方程D4解三元一次方程
25、组的基本思路：通过“_”或“_”进行消元，把“三元”转化为“_”，使解三元一次方程组转化为解_，进而再转化为解_.代入代入加减加减二元二元二元一次方程组二元一次方程组一元一次方程一元一次方程BA【答案答案】CC9根据实际问题中蕴含的等量关系建立方程组模型，列出符合条件的三元一次方程组以达到解决问题的目的平移表中带阴影的长方形框，长方形框中三个数的和可能是()A2 019 B2 018 C2 016 D2 013*10.将正整数1至2 022按一定规律排列，如下表：【点拨】【点拨】设左、中、右三个数依次为设左、中、右三个数依次为x，y，z，则，则xy1，zy1，因此，因此xyzy1yy13y，所
26、以，所以B不合题意不合题意又因为又因为y不能取最左列和最右列的数，所以不能取最左列和最右列的数，所以A，C均不合题均不合题意故应选意故应选D.【答案答案】D答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可B选项中 不是整式，Aa1，b0从乙地到甲地的过程中，已知单项式8a3xyzb12cxyz与2a2b2xyc6是同类项，则x_，y_，z_让我们看前面列出的三元一次方程组这个方程组和前面学感受“三元”化归到“二元”,再由“二元”化归到“一元”的数学思想.基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，C.该汽车从甲地到乙地需要2.3+，得11x+10z35.若(a1
27、)x5yb12z2|a|10是一个三元一次方程，则()(3)三个都是一次方程；每个方程中含未知数的项的次数都是1D.次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到34，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_【答案答案】3 2013在等式yax2bxc中，当x2时，y1；当x0时，y2；当x2时，y0.求a，b，c的值14已知|x8y|2(4y1)23|8z3x|0，求xyz的值(1)方程组中一共含有三个未知数；如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地示题目中的数量关系(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未因此 即
28、a，b，c的值分别为3，2，5.B.解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问(2)_；解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可，得2z2y56，即yz28，A选项中，方程x2y1与xz2中有含未知数的含未知数的项次数都是一次仿照前面学过的代入法，我们可以把分别1 下列方程是三元一次方程的是_(填序号)3+，得11x+10z35.平移表中带阴影的长方形框，长方形框中三个数的和可能是()D.三元一次方程组必备条件：16已知x2yz9，2xy8z18，求xyz的值【思路点拨】可设法将两个已知等式变形，使x，y，z的系数相等，用整体思想求值也可将其中一字母当成已知数，解二元一次方程组，求出解后代入求值再见再见
