1、12022-2023 学年第一学期高三期末学情调研测试数 学 试 题数 学 试 题一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合0652xxxA，62xxB，则()ABABBA=CABDBBA=2.2.若i为虚数单位，复数z满足(1)34ziii，则z的实部为()A.-3B.3C.-2D.23.3.已知向量)0,2(=a，)32,(xb=，且a与b的夹角为32，则x()A.2B.2C.1D.14.4.在等比数列 na中
2、，若131aa，243aa，则57aa的值为()A.27B.9C.81D.35.5.某 地 市 在 一 次 测 试 中，高 三 学 生 数 学 成 绩服 从 正 态 分 布280,N，已 知50800.3P，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取()A15 份B20 份C25 份D30 份6 6.如图，一圆形信号灯分成ABCD，四块灯带区域，现有 4 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择 1 种颜色，且相邻的 2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为()A96B84C60D487.7.已知定义在 R 上的偶函数()f x满足下列两个条件：.当0
3、,1)x时，()21xf x；.当0,)x时，()2(1)0f xf x.若函数()()g xf xm有且仅有 2 个零点，则实数m的取值范围是()A111(,1)284B11(1,1)44 C111 1(,)288 2D111(,1)24288一球的表面积为 4，它的内接圆锥的母线长为，且 1 3，则该内接圆锥体积的取值范围是()A,8 3 B32,881C3,88D23,1282二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得
4、5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9.9.已知函数()2sin()0,|2f xx,其图象相邻对称中心间的距离为4,直线6-=x是其中一条对称轴,则下列结论正确的是()A.函数()f x的最小正周期为B.函数()f x在区间12,6上单调递增C.点)0,245(是函数()f x图象的一个对称中心D.将函数()f x图象上所有点横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图象向左平移3个单位长度,可得到余弦函数xxcos)(g=的图象10.10.已知非零常数a，若点 A 的坐标为(,0)a，点 B 的坐标为(,0)a，直线 AP
5、与 BP 相交于点 P，且它们的斜率之积为非零常数k，那么下列说法中正确的有()A当1k 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆B当1k 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C当10k 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆D当0k 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线11.11.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为 1，1(0,1,0,1)BPxBCyBB xy ，则()A当xy时,三棱锥1DACP的体积为定值B当12y 时，1DPCDC当1xy时，/A
6、P平面11AC DD当12xy时，三棱锥PABC的外接球的表面积为212.12.已知函数21()e2xf xax有两个极值点12,x x，且12xx，则下列结论正确的是()AaeB2xeC1()2af xD22efx3三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.13.52xx的展开式中，4x的系数为.14.14.已知随机变量满足2,Bp，若314P，则p.15.15.若曲线322yxxm与曲线241yx有一条过原点的公切线，则m的值为.16.16.已知圆1C和圆2C与x轴和直线(0)ykx k相切，两圆交于,P Q两点，其中P点坐标为
7、4,3，若两圆半径之积为254，则点k的值为.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.17.已知数列 na的首项31=a，且满足11-31+=+=+nnnaaa.（1）求证：数列11na为等差数列；（2）若*111Nnaabnnn，求数列 nb前n项和nS.18.18.在平面四边形 ABCD 中，3ABC，2ADC，2=BC.（1）若ABC 的面积为3 3，求AC；（2）若5=AD，BACDAC，求ACDtan.1919如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是菱形，PBPD.
8、(1)证明：平面PAC 平面ABCD；(2)若2PAADPD，60BAD，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.420.20.某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查据统计，其中14的学生计划只选择校本课程一，另外34的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二 每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)从学生中随机抽取n人nN，记这n人的合计得分恰为1n分的概率为nP，
9、求12nPPP；21.21.设椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点为1(3,0)F，右顶点为2(2,0)A（1）求椭圆E的方程；（2）过点10T，作两条斜率分别为12,k k的动直线12,l l分别交椭圆于点AB、，CD、，点M、N分别为线段AB、CD中点，若12112kk，试判断直线MN是否经过定点，并说明理由.22.22.已知函数(),()ln2xxf xg xxxme.(1)若()f x的最值和()g x的最值相等，求m的值；(2)证明：若函数()()()F xf xg x有两个零点12,x x，则12lnln0 xx.12022-2023 学年第一学期高三期末学情调研测试数 学
10、 答 案数 学 答 案1.1.C2.2.D3.3.B4.4.C5.5.B6.6.B7.7.A8.8.B9.9.BCD10.10.BD11.11.ACD12.12.AD13.13.4014.14.1215.15.8或或402716.16.4317.17.（1）211)-2(1-1-1-2-211-1-1-11-311-1-1-11=+=+=+=+=+nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa为常数 11na是以21为公差的等差数列.5 分（2）211-11a由（1）得221)1-(211-1nnannan21-)11-1(4212nnnnbn.8 分14)11(4)11-131-2121-1(4n
11、nnnnSn1-.10 分18.18.(1)在ABC中，2=BC，3ABC，1sin3 32ABCSAB BCABC，可得6=AB，.3 分在ABC中，由余弦定理得28 12-436 ABCcosBC2AB-222=+=+=+=+=BCABAC，.72=AC.6 分(2)设=ACD，则-2=DAC，在Rt ACD中，5=AD，易知：sin5sin=ADAC，.8 分2在ABC中，由正弦定理得sinsinBCACBACABC，即3sin)-2sin(2AC=，即cos3cos3sin2=AC.10 分cos3sin5=，可得335tan=，即335tan=ACD.12 分1919（1）证明：设A
12、C交BD于O,底面ABCD是菱形,则BDAC，O是BD中点，又PBPD，所以BDPO,又,POACO PO AC平面PAC,则BD 平面PAC,3又BD 平面ABCD,则平面PAC 平面ABCD5（2）解：2PAADPD，60BAD,不妨设2PAAD,则2PDPB,2BD,3AO,又BDPO,则1PO，所以222PAPOAO,所以POAO,.7以O为原点，分别以,OA OB OP为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ABCDP,(3,1,0),(0,1,1),(3,1,0),(0,1,1)BCPBADPD 设平面P
13、BC的一法向量为1(,)nx y z，则300BC nxyPB nyz ，取1x ，则1(1,3,3)n ，同理，求得平面PAD的一法向量2(1,3,3)n ,10设平面PBC和平面PAD所成锐角为，3则1212121cos|cos,|7|n nn nnn ，所以，平面PBC和平面PAD所成锐角的余弦值为17.1220.20.(1)由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为14，选择校本课程二的概率为34，则 X 的可能取值为 3，4，5，6，P(X3)311464，P(X4)2133194464C，P(X5)22331274464C ，P(X6)3327464，4所以 X 的分布列如下表
14、所示：X3456P16496427642764所以E(X)316449645276462764214.6(2)因为这n人的合计得分为1n分，则其中只有 1 人计划选择校本课程二，所以113 134 44nnnnnPC 8设1212336934444nnnnSPPP则122341113693444444nnnnSPPP由两式相减得1231333333444444nnnnS即，1111113313344431114444414nnnnnnnnnS 所以121434134nnnPPP 12421.21.(1)由题意知，222132bcaabc，解之得213abc，故椭圆E的方程为2214xy 3（2
15、）设1122(,),(,)A x yB xy，联立122:(1:14ABlyk xExy）得，2222111418440kxk xk因为10T，在椭圆内部，则必有211221211 2218414441kxxkkx xk，故，2121214241Mxxkxk，1121(1)41MMkyk xk 5设直线22:00MNlAxByCAB，将21122114,41 41kkMkk代入MNl，得221114410AkBkCk，即211440AC kBkC同理，222440AC kBkC7显然12,k k是方程2440AC kBkC的两根，则121 24444BkkACCk kAC 9因为12112kk
16、，则12121k kkk，即14444CBACAC,得：4133CAB,11故直线41:033MNlAxByAB，即2241:0033MNlA xB yAB，5故 直线MN经过定点41,33 1222.22.(1)解：1(),2xxfxe可得()f x在(,1)上递增，在(1,)上递减，则max1()(1)2f xfe，.21(),0 xg xxx，可得()g x在(0,1)递减，在(1,)递增，则min()(1)1g xgm，.4有112me，112me，所以，m的值为112e.5(2)证明：若()F x有两个零点12,x x，不妨设210 xx，()ln2xxxxF xmee，设121212,xxxxttee，由12()()0F xF x，得11221ln021ln02ttmttm，因为函数1ln2yttm是增函数，所以12tt，则1212,xxxxee8设12(1),xt tx则21lnln,11tttxxtt，欲证：12lnln0 xx，即证：121x x，即证：2ln()11ttt，只需证：1ln(1)tttt（*）设11()ln(),12h xxxxx，22(1)()2xh xx，在(1,)上，()0h x，()h x递减，所以()(1)0h xh，所以，11ln()0(1)2xxxx，令xt即得（*）成立，从而，命题得证。12
