1、 高二年级期中数学试题 第 1 页 共 4 页 华中师大一附中华中师大一附中 20192020 学年度下学期高二期中考试学年度下学期高二期中考试 数数 学学 试试 题题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：孟昭奎 审题人：吴巨龙 一、选择题（本大题共、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 1甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有 A9 种 B10 种
2、C11 种 D12 种 2对于给定的样本点所建立的回归模型 1 f和模型 2 f，它们的残差平方和分别是 1 a 、2 a， 相关指数 2 R的值分别是 1 b 、2 b，下列说法正确的是 A若 12 aa ，则12 bb ，1 f的拟合效果更好 B若 12 aa ，则12 bb ，2 f的拟合效果更好 C若 12 aa ，则12 bb ，1 f的拟合效果更好 D若 12 aa ，则12 bb ，2 f的拟合效果更好 3圆 22 9xy的以(2,1)M为中点的弦所在直线方程为 A240xy B20xy C230xy D250xy 4设随机变量 2 (3,)XN，若()0.3P Xm，则(6)P
3、 Xm A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 5已知可导函数( )f x满足( )2(1)ln1f xxfx，则(1)f A3 B2 C1 D2 6已知关于x的方程 2 (2 )10()xki xkikR 有实根，则 2 k A2 B4 C3 D9 7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A22 3 B42 3 C 2 3 4 3 D 2 3 2 3 8 设 1 (10, )Bp， 2 (10, )Bq， 且 1 4 pq ， 则“ 12 ( )EE ()” 是“ 12 ( )()DD”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 侧视图 俯视图 正
4、视图 2 2 2 2 2 高二年级期中数学试题 第 2 页 共 4 页 9已知双曲线 2 2 1 2 y x 上存在两点,M N关于直线0xym对称，且线段MN中 点在抛物线 2 4yx上，则实数m的值为 A3 B0或3 C4 D0或1 10现有甲、乙、丙、丁、戌 5 人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、 进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加若甲、乙不会开车但 能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A234 B152 C126 D108 11如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲 线”现有一
5、对“共焦曲线”的焦点为 12 ,F F，M是它们的一个公共点，且 12 60FMF， 设它们的离心率分别为 12 ee、，则 12 e e min （） A1 B 3 2 C 2 D 6 4 12网课期间，高二年级吴巨龙、王雪冰等八位数学老师为同学们讲授了计数原理、随机 变量及其分布、统计案例、复数、三视图、导数及其应用等章节内容在师生共同努力下， 我们顺利完成教学任务，达到教学目标下列名单中，按老师们首次讲课 的先后顺序排列 正确的是 A吴巨龙、王雪冰、余文抒、秦 俭 B王雪冰、吴巨龙、曹 轩、田 甜 C秦 俭、余文抒、江 河、于 龙 D江 河、曹 轩、于 龙、田 甜 二、填空题（本大二、填
6、空题（本大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置上）分把答案填在答题卡相应位置上） 132020 年华中师大一附中将迎来 70 周年校庆，学校安排 5 位男老师和 3 为女老师一起 筹办大型文艺晚会， 并随机地从中抽取 4 位老师主持晚会， 若抽取的 4 位老师是两男两女， 则称主持人为“快乐搭档”在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持 人是“快乐搭档”的概率为 14已知点(0,1)A，点B是圆 22 :(1)16C xy上的动点，线段AB的垂直平分线交 线段BC于点P，则动点P的轨迹方程是 15 210 (1)xx展开式中
7、3 x的系数为 16已知( )ln(1)sin2f xxax，若曲线( )yf x在点(0,0)处的切线的斜率为1， 则a ；当0a 时，与曲线ln1yx和曲线( )yf x都相切的直线的方程 是 高二年级期中数学试题 第 3 页 共 4 页 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 把答案填在答题卡相应位置上）把答案填在答题卡相应位置上） 17(本小题满分本小题满分 10 分分) 设集合 2 12223() 1 MiiaiaiaR i ， ，的所有元素的和为z，且 =z z
8、（1）求 3 3 | 1 ai i ai 的值； （2）设, x yM（x y ），求事件“xyR”的概率 18（本小题满分本小题满分 10 分）分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式 为比较两种生产方式的效率， 选取40名工人， 将他们随机分成两组， 每组20人 第 一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工 作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： （1）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 总计 第一种生产方
9、式 第二种生产方式 总计 （2）根据（1）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 19（本小题满分本小题满分 12 分分） 已知点(0,1), (1,2)AB，C是抛物线 2 4xy上的动点 （1）求ABC周长的最小值； （2）若C位于直线AB右下方，求ABC面积的最大值 20（本小题满分本小题满分 12 分分） 已知 4 n a x x （+）的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为 256 （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项 2 ()P Kk 0.0
10、50 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 高二年级期中数学试题 第 4 页 共 4 页 21（本小题满分本小题满分 12 分分） 湖北省从 2021 年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从 政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下： 高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为 A，B，C， D，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为 15%，35%，35%，13%，2%，等级考 试科目成绩计入考生总成绩时， 将 A 至 E 等级内的考生原始成绩， 依照等比例转换法
11、分别 转换到86，100、71，85、56，70、41，55、30，40五个分数区间，得到考生的等 级分，等级转换分满分为 100 分具体转换分数区间如下表： 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 而等比例转换法 是通过公式计算: 22 11 YYTT YYTT 其中 1 Y、 2 Y分别表示原始分区间的最低分和最高分， 1 T、 2 T分别表示等级分区间的最 低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为 1 Y、 2 Y时，等级分分别为 1 T、 2 T，假设小明同学的生物考试成绩
12、信息如下表： 考试科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 生物 75 分 B 等级 69,84 71,85 设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得： 847585 756971 T T ，所以76.677T (四 舍五入取整)，小明最终生物等级成绩为77分 已知某学校学生有 60 人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学 生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表： 成绩 90 86 81 80 79 78 75 人数 1 2 1 1 2 1 1 （1）从政治成绩获得 A 等级的学生中任取 3 名，求至少有 2 名同学的等级成绩不小于 93 分的
13、概率； （2）从政治成绩获得 A 等级的学生中任取 4 名，设 4 名学生中等级成绩不小于 93 分人 数为，求的分布列和期望 22（本小题满分本小题满分 14 分分） 已知圆 222 :O xyr的任意一条切线l与椭圆 22 :1 124 xy M都有两个不同交点 A，B（O是坐标原点） （1）求圆O半径r的取值范围； （2） 是否存在圆O， 使得=0OA OB恒成立？ 若存在， 求出圆O的方程及OA OB的 最大值；若不存在，说明理由 - 1 - 华中师大一附中 20192020 学年度上学期高二期中考试 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题选择题：BADDA BDCBC BC 二、填空
14、题填空题：13 4 7 ； 14 22 1 43 yx ； 15210； 161；yx（第一空（第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 三、解答题解答题： 17解： （1）因为集合1,1,2,22,3Miiiaiai，所以=9(1)zai， ,zzzR ，10a ，即1a ， 2 分 3 33(3)(1) | | | |1 3 |10 112 aiiii iiii aii 5 分 （2）由（1）得，1,1,2,22 ,3Miiiii，从 5 个元素中取出两个元素方法有 2 5 10C 种，其中乘积为实数的为(1)(1),(1)(22 )iiii，共有 2 种情形， 所以 21 () 1
15、05 P xyR 10 分 18解： （1）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 7981 80 2 m ；2 分 由此填写列联表如下： 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 5 分 （2）根据（1）中的列联表，可得 2 K的观测值： 22 ()40(15 155 5) 106.635 ()()()()20 20 20 20 n adbc k ab cd ac bd ， 有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 10 分 19解：
16、（1）过C作抛物线准线:1l y 的垂线，垂足为H，(0,1)A为焦点， - 2 - | |CACH，又|2AB 为常数，, ,B C H共线时，ABC周长最小， min (|)3BCCH，ABC周长最小值为32 6 分 （2）作与直线:+10AB xy平行的直线l，由图可知，当l与抛物线相切时，切点C使 得ABC面积最大，此时 C 到直线AB的距离就是AB边上的高，设切点 00 (,)C xy， 由 2 4xy得： 0 2 0 11 =|=1 42 x x yxyx ，即 0=2 x，所以切点C的坐标为(2,1)， 所以点C到AB的距离为 2 2 2 h ， max 11 ()|221 22
17、 ABC ShAB ， 即ABC面积最大值为 1 12 分 20.解： （1） 4 n a x x （+）的展开式各二项式系数的和为2n，各项系数的和为+ n a（1）， 由已知得2n=256，8n ，此时 4 n a x x （+）展开式的通项为： 16 3 4 18 0,1,2,8 k kk k Ta C xk ， 当0,4,8k 时，该项为有理项，所以有理项的个数为 3； 5 分 （2）由 8 +=256a（1），得1a 或3a ， 7 分 当=1a时， 展开式通项为 16 3 4 18 0,1,2,8 k k k TC xk ， 所以二项式系数最大时系 数最大，即第 5 项系数最大，即
18、系数最大的项为 4 58 70TC xx； 9 分 当=3a 时， 16 3 4 18 30,1,2,8 k kk k TC xk （- ）， 展开式系数最大的项是奇数项， 其中 51 42 22 13579 =252=5670=20412=6561TxTxTxTxTx ，所以展开式中系数 最大的项为第 7 项，即系数最大的项为 1 2 7=20412 Tx 11 分 综合得，所求系数最大的项为70x或 1 2 20412x 12 分 - 3 - 方法二：=3a 时，展开式中奇数项系数为正，令 8 22 8 ( 3) 1 ( 3) kk kk C C ，2,4,6,8k ， 化简得 9 10(
19、9) 1 (1) kk k k （） ，经计算，仅当 k= 2，4，6 时不等式成立，即 7 T的系数 5 T 的系数 3 T的系数，所以展开式中系数最大的项为第 7 项， 1 2 7=20412 Tx 12 分 21解： （1）设政治成绩获得 A 等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得： 90100 7586 xy xy ，即 14240 15 x y ， 14240 9382.5 15 x x 2 分 根据成绩统计表显示满足82.5x 的同学只有 3 人，获得 A 等级的考生有 9 人， 故从政治成绩获得 A 等级的学生中任取 3 名，至少有 2 名同学的等级成绩不小于 93
20、分的 概率为 213 363 3 9 19 84 C CC P C 5 分 （2）由题意，等级成绩不小于 93 分人数为 3 人，获得A等级的考生有 9 人，的可能取 值为 0，1，2，3，则： 04 36 4 9 5 (0) 42 C C P C ， 13 36 4 9 10 (1) 21 C C P C ， 22 36 4 9 5 (2) 14 C C P C ， 31 36 4 9 1 (3) 21 C C P C ， 9 分 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 10 分 则的期望为： 1051564 ( )23 211421423 E 12
21、分 22解： （1）当02r时，圆O在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭 圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，适合； 当2r 时，圆的切线yr和yr 均与椭圆最多只有一个公共点，不适合， 所以r的取值范围是(0,2) 4 分 - 4 - （2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为ykxm，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 22 1 124 xy ykxm 消去y得： 222 (1 3)63120kxkmxm， 则 2 1212 22 6312 , 1 31 3 kmm xxx x kk ， 22 1212 2 12 ()() 1 3 mk y ykxm k
22、xm k ， 由=0OA OB得： 1212 0x xy y，即 22 2 41212 0 1 3 mk k ， 22 3(1)(*)mk 又由ykxm与O相切得： 2 1 m r k ，即： 2 2 2 1 m r k ， 把（*）代入此式得 2 3r ，此时圆O的方程为 22 3xy； 9 分 当切线斜率不存在时，上述圆的切线为3x 或3x ，这两条切线与椭圆的交点 为( 3, 3), ( 3,3)(3, 3), (3,3)ABAB或，也满足=0OA OB， 所以满足条件的圆O存在，其方程为 22 3xy 10 分 当切线斜率存在且不等于0时， 因为 222 222 1212 222 36
23、312 |1()414 (1 3)1 3 k mm ABkxxx xk kk 422 4242 91014 2 32 31 961961 kkk kkkk 2 2 4 2 314 1 96k k ，当且仅当 2 1 3 k 时取等号； 12 分 当切线斜率不存在或等于0时，|AB=2 3，所以 max |4AB 13 分 因为OAOB，所以OA OB=|r AB3|AB，故 max OA OB =4 314 分 （方法二： 222222222222 112212121221 ()()OA OBxyxyx xy yx yx y 22222222 121212121221122112 ()2()()x xy yx x y yx yx yx yx ymxx） （命题人命题人 孟昭奎孟昭奎）
