1、-五华区小学数学教研员五华区小学数学教研员 陈渝梅陈渝梅几何直观几何直观Jihezhiguang 2016-05-19课程标准2011版 从双基到四基 双基：基础知识，基本技能。四基：基础知识、基本技能、基本活动经验，基本思想；数学课程标准2011版（掌握）（掌握）（训练）（训练）（领悟）（领悟）（积累）（积累）从两能到四能 分析问题；解决问题；发现问题；提出问题；数学课程标准2011版 从6大核心到10大核心 10大核心素养几何直观 几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整
2、个数学学习过程中都发挥着重要作用。备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。不完全归纳法不完全归纳法 推理推理二下五下六上 线段图线段图五上 有些教师认为，几何直观就是根据数形结合的思想，利用画图解决问题的策略，就是以形显数。新瓶装老酒？所以几何直观的准确理解、认识，是实施数学课程的基础。几何直观更准确地理解应该是 发展几何直观意识或 几何直观能力几何直观是一种意识或能力数形结合几何直观画图策略联系区别 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合
3、。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面:第一种情形是以数解形，而第二种情形是以形助数。以数解形就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。画图策略是通过画图帮助学生建立直观的数量关系，是属于“由形到数”的单向策略。首先，数形结合是一种基本的数学思想。它更多的是以具体的解决问题的策略与方法呈现在我们面前，数形结合由形到数由数到形 几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言算理等转化成直观的图形，数形结合由形到数由数到形都是
4、“由形到数”画图策略强调的是借助图形的直观作用，只是解决问题的手段。几何直观它从某种程度上讲也可以被认为是一种方法，但追究其结果时，又常常体现了人们运用这种方法的能力 借助画图策略可以培养和发展学生的几何直观能力，感悟初步的数形结合思想。但培养学生几何直观能力和感悟数形结合思想的途径，绝不止于画图策略。几何直观就是依托图形进行思考、想象。“画图（看图）想事 ”几何直观是一种能力！几何直观是一种重要的学习方式，一种能力！数形结合的思想动手操作的策略。化静为动的策略。激发学生画图的兴趣良好的画图习惯 几何直观能力主要包括：几何直观能力主要包括：空间想像能力空间想像能力直观洞察能力直观洞察能力用用“
5、图形语言图形语言”来思考问题能力来思考问题能力 （“数数”“”“形形”结合思想）结合思想）低高空间想像能力空间想像能力识图识图 画图画图 制作模型制作模型 观察物体观察物体 直观洞察能力直观洞察能力三点半三点半,时针和分针的夹角是多少度时针和分针的夹角是多少度?两边之和大于第三边两边之和大于第三边用用“图形语言图形语言”来思考问题能力来思考问题能力 两个长方形完全相同。第一个长方形的长两个长方形完全相同。第一个长方形的长减少减少3 3分米分米,宽不变；第二个长方形的宽减少宽不变；第二个长方形的宽减少3 3分分米米,长不变。变化后两个长方形的面积怎样长不变。变化后两个长方形的面积怎样?直观地抽象
6、老师们经常这样来培养学生的几何直观能力 1、概念的认识和计算中数形结合 实物、点子图、计数器、未画完整的直尺数轴 2.解决问中，用线段图形象直观展示难以理解的数量关系 在概念教学中的直观 在运算的直观 在运算规律的直观 在解决问题中的直观几何直观（1）在小学数学教材中借助实物、点子图、计数器、未画完整的直尺、数轴让学生直观感知认识数，10以内数的认识、100以内数的认识。0123自然数 整数小数0.10.51.21.72.32.9义务教育教科书 数学 三年级上册 分数概念的基本要素分数概念的基本要素“分的对象分的对象”“平均分平均分”借助面积模型（加强）借助面积模型（加强）初步认识分数初步认识
7、分数 分数各部分的名称分数各部分的名称（提前）（提前）认识几分之一认识几分之一 进一步巩固分数的意义用“形”表“数”用不同的方式表示用不同的方式表示1/41/4几分之一的大小比较几分之一的大小比较 进一步巩固分数的意义 进一步巩固分数的意义 认识四分之几 认识十分之几 完善学生对分数的认识 认识几分之几认识几分之几 同分母分数的大小比较同分母分数的大小比较 出现6/6，为学习1减去几分之几作准备 进一步巩固分数的意义 借助图形直观首先需要把研究“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化成为“图形之间的关系”，这样就把研究的问题为“图形的数量或位置关系”的问题，进而进行思考分析，这一系
8、列的转化显然不是天然而成的。例如，每两根为一组把萝卜圈出来，直观形象地展示出了两个数量之间的倍比关系，将学生的关注点引导到“比较量里包含几个标准量”，帮助学生建立“倍”的模型。另一方面，在解决问题的教学中，注重借助图示分析数量关系。Please insert your own text 呈现实物及示意图、线段图等多种直观形式，对分析数量关系十分重要的线段图的教学则按实物图色条图线段图的层次不断递进。概念教学的直观案例 1概念教学的直观案例 2概念教学的直观案例 4 案例 2 五华区龙翔小学 钟旻琦案例 1小数的初步认识加法就是往右移，减法就是往左移。乘法就是往右移动相同的格数；数轴上直观表示
9、同样一幅图，有的学生可以想到加法，有的还能想到乘法，有的还能想到除法数轴上直观表示“不同学生几何直观的水平不同”分数的运算与整数的运算结合起来。分数是分数单位的累加，分数的运算也就是分数单位相同后整数的运算。分数四则运算分数四则运算 加强分数含义 借助直观 说理的方式 分数加法分数加法 加强分数含义 借助直观 说理的方式 分数减法分数减法 直观展示算理 自主探究 加强观察 发现规律 1 1减去几分之几减去几分之几 多个同一事物组成的集合作为单位“1”，集合中部分元素与整个集合的关系也可以用分数来表示 进一步认识分数借助几何直观，通过分数的含义，理解算理，体会算法义务教育教科书 数学 三年级下册
10、教材介绍教材介绍五华区基础教育科学研究中心五华区基础教育科学研究中心 2015-2-26 2015-2-26陈渝梅陈渝梅以第四单元两位数乘两位数为例视频 六上分数除法第二单元第二单元 除数是一位数的除法除数是一位数的除法以二单元为例一、在本套教材中的位置一、在本套教材中的位置 三下：除数是一位数的除法 两位数乘两位数二上：表内乘法二下：表内除法、有余数的除法三上：多位数乘一位数四上：三位数乘两位数 除数是两位数的除法 结合口算思路 借助小棒图理解算理 分步呈现竖式计算的过程 给出每一步计算结果的含义 重点：除的顺序 竖式的写法 除两位数除两位数（首位能除尽）（首位能除尽）借助小棒图理解算理 分
11、步呈现竖式计算的过程 给出每一步具体计算方法和含义 重点：当余下1个十后应该怎么办 验算的一般方法 除两位数除两位数（首位不能除尽）（首位不能除尽）实现算理与算法的过渡苏教版六年级（下册）女生:1/2+1/4=3/4，而3/4=1-1/4；1/2+1/4+1/8=7/8，而7/8=1-1/8。由此我推断1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16试一试：计算 1/2+1/4+1/8+1/16生1：通分（大多数同学都这样做，因为最初学习异分母分数相加 基本方法就是化异分母为同分母）生2：可以化小数求和。（只有两人用了这种方法，但接着 就被多数同学否定了这种方法，化小数反而麻烦)同学
12、们想不想知道为什么1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16吗？“你画一个正方形表示单位1，再把题中的分数在正方形中表示出来，涂上颜色。”1/2、1/4、1/8、1/16还没有把正方形铺满铺了1-1/16，也就是1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16 乘法分配律 从计算长方形周长的过程中，长2+宽2=（长+宽）2；引出乘法分配律；用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；乘法分配律的直观模型。3270 1 2 3 4 5 6 7 8 95 4 3 2 19 8 7 64+9=138+5=1320以内进位加法：分数的大小比较分数的大小比较坐标与图形:用数对表示C点的位置；并画出这个长方形
13、的另外两条边。如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对应的点的位置。将这个长方形向上平移一格，用数对表示出移动后长方形四个顶点的位置。我国新课程已经把我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一中数学课程的线索之一。同一内容各版本教材中均突出几何直观人教大版三角形的内角和北师大版三角形的内角和北师大版青岛版人教版苏教版浙教版1.1.结论已知，学生无学习兴趣。结论已知，学生无学习兴趣。3.3.科学性与严密性的问题。科学性与严密性的问题。（直观背后的数学理性）（直观背后的数学理性）2.2.误差的干扰。误差的干扰。长方形内角和是长方
14、形内角和是90904=3604=360 直角三角形的内角和是直角三角形的内角和是3603602=1802=180 每个三角形都可以分成每个三角形都可以分成两个直角三角形两个直角三角形 每个三角形的内角和是每个三角形的内角和是360360-90-90-90-90=180=180 旋转法（帕斯卡）台湾教材 几何直观几何直观:不容忽视的解题思维切入点不容忽视的解题思维切入点 直观是前提 抽象是本质 适度是关键 课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、之间有机地融合、依赖几何直观的依赖几何直观的“直观型直观型”课程成为数学课程成为数学课程设计
15、的主流之一课程设计的主流之一。我国新课程已经把我国新课程已经把几何直观看作是贯几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不
16、可少的有效工具。具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。几何直观教学案例 在小学数学中培养学生的几何直观能力，要引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。线段图对第一次接触的学生来说却线段图对第一次接触的学生来说却是抽象的，不
17、是学生可以一蹴而就的。在是抽象的，不是学生可以一蹴而就的。在教学中，可以画形象的实物图，也可以画教学中，可以画形象的实物图，也可以画抽象的线段图，并让学生慢慢过渡到画线抽象的线段图，并让学生慢慢过渡到画线段图。对于画线段图的方法需要加强指导段图。对于画线段图的方法需要加强指导，而且要注意把握好教学要求。，而且要注意把握好教学要求。我喜欢的关于“几何直观”的精妙论述。几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。弗莱登塔尔 直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的
18、几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。徐利治简单的排列和组合题，借助直观的图形，在解决数学问题的同时也培养了学生的推理能力借助集合圈，直观的解释四边形之间的关系和三角形的分类，渗透集合思想的同时，让学生形象、直观的理解基本图形之间的关系。100以内的加减法借助点子图、整捆或单根的小棒。向学生直观的演示加减法的算理和算法。几何直观几何直观:不容忽视的解题思维切入点不容忽视的解题思维切入点 几何直观几何直观:不容忽视的解题思维切入点不容忽视的解题思维切入点 小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。直观能力。通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，多的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可以得出一些正确的结论。就可以得出一些正确的结论。
