1、 1962 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1 某工厂第三年产量比第一年增长 21%， 问平均每年比上一年增 长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？ （精确到 1%） 解：设平均每年增长%x，则得 .10%,211%)1 ( 2 =+=+xx 又%,83 121 100 %211 1 = + = 第二年产量 第一年产量 故该工厂平均每年比上一年增长 10%，第一年的产量是第三年的产量 的 83% 奎屯 王新敞 新疆 2求 5 )21 (i的实部 奎屯 王新敞 新疆 解：显然， 5 )21 (i的实部是由包含 i 的零次方及包含 i 的偶次方的各
2、 项所组成，故所求之实部为 .41)2()2( 44 5 22 5 0 5 =+iCiCC 3解方程).92lg(2lg2) 3lg()5lg(=+xxx 解：),92lg( 4 ) 3)(5( lg= + x xx . 7, ,092 , 05,3 . 7, 3 , 02110 , 92 4 )3)(5( 2 = = = =+ = + x xxx xx xx x xx 原方程的解为故不是原方程的解 无意义使时当 4求) 5 4 arcsin2sin(的值 奎屯 王新敞 新疆 解：设),900( 5 4 arcsin= 则. 5 3 ) 5 4 (1sin1cos, 5 4 sin 22 =
3、. 25 24 5 3 5 4 2cossin22sin) 5 4 arcsin2sin(= 5求证： （1）圆内接平行四边形就是矩形; （2）圆外切平行四边形就是菱形 奎屯 王新敞 新疆 证： （1）设ABCD为圆的内接平行四 边形（如图） ，由于两平行弦所夹的 弧相等， AD=BC，AB=DC 奎屯 王新敞 新疆 又2（AD+AB）=圆周， AD+AB=半圆周， C=90 0， ABCD为矩形 奎屯 王新敞 新疆 （2） 设ABCD为圆外切平行四边形 （如图） 由于圆的外切四边形的每组对边的 和相等，AD+BC=AB+DC 奎屯 王新敞 新疆 但AD=BC，AB=DC， 2AD=2AB，A
4、D=AB 故ABCD为菱形 奎屯 王新敞 新疆 6解方程组 += =+ axy yxy0124 2 并讨论a取哪些实数时，方程组 D C O A B D A O C B （1）有不同的两实数解; （2）有相同的两实数解; （3）没有实数解 奎屯 王新敞 新疆 解：由得ayx= 将代入得 += = += += = = + = =+ =+ .223 ,223 :223 ,223 .223 ,223 2 ) 14(4366 , 0) 14(6 , 012)(4 2 2 1 1 2 2 ay aax ay aax aax a a y ayy yayy 即方程组的解为 讨论： （1）当2, 02aa即时
5、，方程组有不同的两实数解; （2）当2, 02=aa即时，方程组有相同的两实数解; （3）当2, 02aa即时，方程组没有实数解 奎屯 王新敞 新疆 7已知D为ABC内的一点，AB=AC=1，BAC=63 0，BAD=270， 求DC 奎屯 王新敞 新疆（精确到小数点后两位， 4540. 027sin=） 解：ADB=180 0-（330+270）=1200 根据正弦定理，得, 3 27sin2 120sin 27sin = = AB AD 又CAD=63 0-330=300， 由余弦定理可得 A 330 D 270 B C .61. 036668. 0 .3668. 04540. 021 3
6、 )4540. 0(4 2 3 3 27sin2 21 3 27sin4 30cos 2 2 222 = =+= + = += DC ACADACADDC 8已知ABCD，ABCD都是正方形（如图） ，而A 、B 、C 、 D分别把AB、BC、CD、DA分为m:n，设AB=1 奎屯 王新敞 新疆 （1）求ABCD的面积; （2）求证ABCD的面积不小 于. 2 1 解（1） ：设AAmt=，ABnt= 又. 1 , 1 nm tntmt + =+ 在直角DAA中， 222 2222222 )(tnm tntmAAADAD += +=+= 而正方形ABCD的面积=. )( )( 2 22 222
7、2 nm nm tnmAD + + =+= 证（2） ：0 )(2 )( )(2 )()(2 2 1 )( 2 2 2 222 2 22 + = + + = + + nm nm nm nmnm nm nm . 2 1 )( 2 22 + + nm nm 9 由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线， 垂足为E，证明A1E:EC=1:2 奎屯 王新敞 新疆 证：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=2 D C C D B A A B 为直角A1AC的斜边A1C上的 高， A1EA1C=AA1 2， ECA1C=AC 2 奎屯 王新敞 新疆 两式相除，得, 2 1
8、)2( 1 2 2 2 11 = AC AA EC EA A1E:EC=1:2. 10求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内 奎屯 王新敞 新疆 证：第一种情形：四条直线 一点，这时 4321 ,llll没有三条直线过同 它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它 于点A，可决们各不相同 奎屯 王新敞 新疆因直线 21,l l相交 定一平面;因点B、C、D、E均在平面内，所以直线 43,l l也在平面 内，故直线 4321 ,llll同在平面内 奎屯 王新敞 新疆 第二种情形：四条直线 4321 ,llll中有三条，例如, 321 lll过同一点A 奎屯 王新敞 新疆因直 线 4 l不过点A，故由点A及直线 4 l可决定一平面 奎屯 王新敞 新疆 因直线 4 l与直线, 321 lll相交， 设交点为B、C、D，则点B、C、 D在直线 4 l上，从而在平面 内，因此，直线, 321 lll各有两点在平面内，即这三条直线在平面 内，故四直线 4321 ,llll在同一平内 奎屯 王新敞 新疆 D1 C1 A1 B1 E D C A B A 4 l F C E B D 1 l 2 l 3 l A B C D 4 l 1 l 2 l 3 l
