1、第 1 页，共 13 页 北京市门头沟区北京市门头沟区 2019 年中考二模试卷年中考二模试卷 数数 学学 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 1. 2013年 12月 2日 1 时 30分，中国于西昌卫星发射中心成功将“嫦娥三号”探测器送入轨道2013 年 12月 15 日 4 时 35分，“嫦娥三号”探测器与“玉兔号”月球车分离，“玉兔号”月球车顺利驶抵月 球表面，留下了中国在月球上的第一个足迹“玉兔号”月球车一共在月球上工作了 972天，约 23000 小时将 23000 用科学记数法表示为（ ） A. 2.3 103 B. 2.3 104 C. 23 103 D. 0.
2、23 105 2. 在如图所示的四个几何体中，俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列运算中，正确的是（ ） A. 2 3= 5 B. (2)3= 5 C. 6 2= 3 D. 5+ 5= 10 4. 如果 a-b=23，那么代数式（2:2 2 -b） ;的值为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 5. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角 三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的 正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（ ） A. 9 32 B. 5 16 C.
3、 3 8 D. 7 16 6. 已知点 A（1，m）与点 B（3，n）都在反比例函数 y= （k0）的图象上，那么 m与 n的关系是（ ） A. C. = D. 不能确定 7. 如图，线段 AB 是O的直径，弦 CDAB，CAB=30 ，OD=2，那么 DC的 长等于（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 23 8. 团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园如果按部门 作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为 1290 元；如果两个部门合在 一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为 990元那么该公司这两个部门的人
4、 数之差为（ ） 购票人数 150 51100 100以上 门票价格 13 元/人 11 元/人 9 元/人 A. 20 B. 35 C. 30 D. 40 二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 9. 函数 = 1 3;1中，自变量 x的取值范围是_ 10. 写出一个比 2大比 3小的无理数（用含根号的式子表示）_ 11. 如图，在矩形 ABCD 中，E是 CD的延长线上一点，连接 BE 交 AD于点 F如 果 AB=4，BC=6，DE=3，那么 AF 的长为_ 12. 用一组 a，b，c（c0）的值说明命题“如果 ab，那么 ”是错误的， 这组值可以是 a=_，b=_，c=_
5、13. 算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位在其中有这 样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几 丁？”译文：有 100 名和尚分 100个馒头，正好分完如果大和尚一人分 3 个， 小和尚 3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚 x 人，小和尚 y 人， 可列方程组为_ 14. 如图是利用平面直角坐标系画出的老北京一些地点的分别示意 图，这个坐标系分别以正东和正北方向为 x轴和 y轴的正方向， 如果表示右安门的点的坐标为（-2，-3），表示朝阳门的点的坐 标为（3，2），那么表示西便门的点的坐标为_ 15. 如图， 在平面直角坐标系 xO
6、y中， AOB可以看作是OCD 经过若 干次图形的变化 （平移、 轴对称、 旋转） 得到的， 写出一种由OCD 得到AOB 的过程：_ 第 2 页，共 13 页 16. 当三角形中的一个内角 是另一个内角 的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 称为 “特征角” 如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形， 则这个“特征角”的度数为_ 三、解答题（本大题共 12 小题，共 68.0 分） 17. 计算：（-5）0+4sin45 +|-1| 18. 解不等式1 2x-1 2 3x- 1 2，并把它的解集在数轴上表示出来 19. 已知：关于 x的一元二次方程 x2-4x+2m=0有两个
7、不相等的实数根 （1）求 m的取值范围； （2）如果 m为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值 20. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程 已知：如图 1，线段 a和线段 b 求作：ABC，使得 AB=AC，BC=a，BC边上的高为 b 作法：如图 2， 作射线 BM，并在射线 BM 上截取 BC=a； 作线段 BC 的垂直平分线 PQ，PQ交 BC于 D； 以 D为圆心，b 为半径作圆，交 PQ 于 A； 连接 AB和 AC 则ABC就是所求作的图形 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图 2中的图形； （2）完成下面的证明：
8、证明：由作图可知 BC=a，AD=b PQ 为线段 BC 的垂直平分线，点 A在 PQ上， AB=AC（_）（填依据） 又AD在线段 BC的垂直平分线 PQ上， ADBC AD 为 BC 边上的高，且 AD=b 21. 如图，在ABCD中，点 E是 BC边的一点，将边 AD延长至点 F，使得AFC=DEC，连接 CF，DE （1）求证：四边形 DECF是平行四边形； （2）如果 AB=13，DF=14，tanDCB=12 5 ，求 CF的长 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=-x+k 的图象与反比例函数 y=-4 的图 象交于点 A（-4，n）和点 B 第 3 页，共 13
9、页 （1）求 k的值和点 B的坐标； （2）若 P 是 x轴上一点，且 AP=AB，直接写出点 P的坐标 23. 如图，点 C在O 上，AB为直径，BD 与过点 C的切线垂直于 D，BD与O 交于点 E （1）求证：BC平分DBA； （2）如果 cosABD=1 2，OA=2，求 DE 的长 24. 如图 1，E 为半圆 O 直径 AB 上一动点，C 为半圆上一定点，连接 AC和 BC，AD平分CAB 交 BC 于点 D，连接 CE和 DE如果 AB=6cm，AC=2.5cm，设 A，E两点间的距离为 xcm，C，E两点间的距离为 y1cm，D，E 两点间的距离为 y2cm 小明根据学习函数经
10、验，分别对函数 y1和 y2随自变量 x变化而变化的规律进行了探究 下面是小明的探究过程，请将它补充完整： （1）按表中自变量 x 值进行取点、画图、测量，得到了 y1和 y2与 x 几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.50 2.27 2.47 m 3.73 4.56 5.46 y2/cm 2.97 2.20 1.68 1.69 2.19 2.97 3.85 问题：上表中的 m=_cm； （2） 在同一平面直角坐标系 xOy中 （见图 2） ， 描出补全后的表中各组数值所对应的点 （x， y2） 和 （x， y1），并画出函数 y1和 y2的图象； （3）结合函
11、数的图象，解决问题：当ACE为等腰三角形时，AE 的长度约为_cm（结果精确到 0.01） 第 4 页，共 13 页 25. 2019年1月有300名教师参加了“新技术支持未来教育”培训活动， 会议就“面向未来的教育”和“家 庭教育”这两个问题随机调查了 60 位教师， 并对数据进行了整理、 描述和分析 下面给出了部分信息： a关于“家庭教育”问题发言次数的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：0x4，4x8，8x 12，12x16，16x20，20x24）： b关于“家庭教育”问题发言次数在 8x12这一组的是： 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11
12、 c“面向未来的教育”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、众数、中位数如下： 问题 平均数 中位数 众数 面向未来的学校教育 11 10 9 家庭教育 12 m 10 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 m的值为_； （2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是_（填“面向未来的教育”或“家庭教育”）， 理由是_； （3）假设所有参会教师都接受调查，估计在“家庭教育”这个问题上发言次数超过 8次的参会教师有 _位 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-2ax-3a（a0）顶点为 P，且该抛 物线与 x轴交于 A， B两点 （点 A在点 B 的左侧） 我们规定： 抛物线与
13、x轴围成的封闭区域称为“G区域” （不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点 （1）求抛物线 y=ax2-2ax-3a 顶点 P 的坐标（用含 a的代数式表示）； （2）如果抛物线 y=ax2-3ax-3a 经过（1，3） 求 a 的值； 在的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数 （3）如果抛物线 y=ax2-2ax-3a 在“G区域”内有 4个整点，直接写出 a 的取值范围 26. 如图，在等边三角形 ABC中，点 D 为 BC 边上的一点，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E， 连接 AD、 DE， 在 AD上取点 F， 使得EFD=60 ， 射线 EF 与 AC 交于点 G （
14、1）设BAD=，求AGE 的度数（用含 的代数式表示）； （2）用等式表示线段 CG与 BD之间的数量关系，并证明 27. 对于平面直角坐标系 xOy中的动点 P和图形 N，给出如下定义：如果 Q为图形 N 上一个动点，P，Q 两点间距离的最大值为 dmax，P，Q 两点间距离的最小值为 dmin，我们把 dmax+dmin的值叫点 P 和图形 N 间的“和距离”，记作 d（P，图形 N） （1）如图 1，正方形 ABCD的中心为点 O，A（3，3） 点 O到线段 AB的“和距离”d（O，线段 AB）=_； 设该正方形与 y轴交于点 E 和 F，点 P 在线段 EF上，d（P，正方形 ABCD
15、）=7，求点 P 的坐标 （2）如图 2，在（1）的条件下，过 C，D 两点作射线 CD，连接 AC，点 M 是射线 CD 上的一个动点， 如果 62d（M，线段 AC）6+32，直接写出 M 点横坐标 t取值范围 第 5 页，共 13 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】 解：23000 用科学记数法表示为 2.3 104， 故选：B 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定 n的值时，要看把原数 变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n是负数 此题考
16、查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n 的值 2.【答案】D 【解析】 解：A、圆柱俯视图是圆，故此选项错误； B、圆锥俯视图是带圆心的圆，故此选项错误； C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误； D、长方体俯视图是矩形，故此选项正确 故选：D 俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形 本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 3.【答案】A 【解析】 解：A、a2a3=a5，故原题计算正确； B、（a2）3=a6，故原题计算错误； C、a6 a2=a4，故原题计算
17、错误； D、a5+a5=2a5，故原题计算错误； 故选：A 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指 数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加， 所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即可 此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，关键是熟练掌握 各运算法则 4.【答案】A 【解析】 解：原式=（- ） = = ， 当 a-b=2时， 原式=， 故选：A 先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算 可得 本题主要考查分式的化简求值，解
18、题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 5.【答案】C 【解析】 解：设“东方模板”的面积为 4，则阴影部分三角形面积为 1，平行四边形面积为， 则点取自黑色部分的概率为：= ， 故选：C 首先设设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率 此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积 6.【答案】B 【解析】 第 6 页，共 13 页 解：k0， 反比例函数 y=（k0）的图象位于第一、三象限，且在每一象限内 y随 x 的增大而减小 又点 A（1，m）与点 B（3，n）都位于第一象限，且 13， mn 故选：B 根据反比例函数图象的增减性来比较 m 与 n的大小 本题
19、考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键 7.【答案】D 【解析】 解：如图，连接 OC，设 AB交 CD于 E ABCD，AB是直径， EC=DE， OA=OC， OAC=OCA=30 ， COE=60 ， EC=OCsin60=， CD=2DE=2， 故选：D 如图，连接 OC，设 AB 交 CD于 E首先证明 CE=DE，解直角三角形求出 EC 即可解决问题 本题考查圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 8.【答案】C 【解析】 解：990 不能被 13整除，两个部门人数之
20、和：a+b51， （1）若 51a+b100，则 11 （a+b）=990得：a+b=90， 由共需支付门票费为 1290元可知，11a+13b=1290 解得：b=150，a=-60，不符合题意 （2）若 a+b100，则 9 （a+b）=990，得 a+b=110 由共需支付门票费为 1290元可知，1a50，51b100， 得 11a+13b=1290 ， 解得：a=70人，b=40 人 故两个部门的人数之差为 70-40=30 人， 故选：C 根据 990 不能被 13 整除，得两个部门人数之和：a+b51，然后结合门票价格和人数之间的关系， 建立方程组进行求解即可 本题主要考查二元一
21、次方程组的应用和一元一次方程的应用，结合门票价格和人数之间的关 系，建立方程是解决本题的关键考查学生分析问题的能力 9.【答案】x1 3 【解析】 解：根据题意，得 3x-10， 则 x 故答案为：x 根据分式有意义的条件，即分母不等于 0，即可求解 此题考查了分式有意义的条件，即分母不等于 0 10.【答案】5 【解析】 解：459， 23， 即为比 2大比 3 小的无理数 故答案为 第 7 页，共 13 页 先利用 459，再根据算术平方根的定义有 23，这样就可得到满足条件的无理数 本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算 11.【答案】24 7 【解
22、析】 解：四边形 ABCD是矩形， DFBC，AB=CD=4，BC=AD=6， EFDEBC， = ， = ， DF=， AF=AD=DF=6-=， 故答案为 由EFDEBC，推出=，由此即可解决问题 本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 12.【答案】1 2 -1 【解析】 解：当 a=1，b=2，c=-1 时，12，而 ， 命题“如果 ab，那么”是错误的， 故答案为：1；2；-1 根据题意选择 a、b、c的值即可 本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是 假命题，只需举出一个反例即可
23、13.【答案】 + = 100 3 + 1 3 = 100 【解析】 解：设大和尚有 x 人，则小和尚有 y人，根据题意得 ， 故答案为： 设大和尚有 x 人，则小和尚有 y人，根据“有 100个和尚”和大和尚一人分 3只，小和尚 3人分一 只刚好分完 100个馒头”列出方程组即可 本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系列出方程组 14.【答案】（-3，1） 【解析】 解：根据右安门的点的坐标为（-2，-3），可以确定直角坐标系中原点在正阳门， 西便门的坐标为（-3，1）， 故答案为（-3，1）； 根据右安门的点的坐标可以确定直角坐
24、标系中原点在 正阳门，建立直角坐标系即可求解； 本题考查平面内点的坐标特点；能够根据已知的点确定 原点的位置，建立正确是直角坐标系是解题的关键 15.【答案】OCD绕 C 点逆时针旋转 90 ，并向右平移 2个单位得到AOB 【解析】 解：OCD绕 C 点逆时针旋转 90 ，并向右平移 2 个单位得到AOB（答案不唯一） 故答案为：OCD绕 C 点逆时针旋转 90 ，并向右平移 2 个单位得到AOB 根据旋转的性质，平移的性质即可得到由OCD得到AOB的过程 考查了坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长 度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点
25、与旋转中心连线的夹角的大小 16.【答案】45 或 30 【解析】 第 8 页，共 13 页 解：“特征角”的 2倍是直角时，“特征角”= 90 =45 ； “特征角”的 2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是 x”， 由题意得，x+2x=90 ， 解得 x=30 ， 所以，“特征角”是 30 ， 综上所述，这个“特征角”的度数为 45 或 30 故答案为：45 或 30 分“特征角”的 2倍是直角时，根据“特征角”的定义列式计算即可得解；“特征角”的 2 倍与 “特征角”都不是直角，根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可 本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，
26、读懂题目信息，理 解“特征角”的定义是解题的关键 17.【答案】解：原式=1+4 2 2 +1=1+22+1=2+2 2 【解析】 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值3个考点在计算时，需要针对每个考点分别 进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键 是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 18.【答案】解：去分母，得：3x-64x-3， 移项，得：3x-4x6-3， 合并同类项，得：-x3， 系数化成 1 得：x-3 则解集在数轴上表示出来为： 【解析】 去分母、去括号，移项、
27、合并同类项，系数化成 1即可求解 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一 点而出错 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 19.【答案】解：（1）关于 x的一元二次方程 x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根， 0 =（-4）2-4 1 2m0， 解得 m2； （2）m2且 m 为非负整数， m=0或 m=1 当 m=0 时，方程为 x2-4x=0，解得方程的根为 x1
28、=0，x2=4，符合题意； 当 m=1 时，方程为 x2-4x+=0，它的根不是整数，不合题意，舍去 综上所述，m=0 【解析】 （1）根据判别式的意义得到=（-4）2-4 20，然后解不等式即可得到 k 的范围； （2）先确定整数 m 的值为 0或 1，然后把 m=0 或 m=1代入方程得到两个一元二次方程，然后解 方程确定方程有整数解的方程即可 考查了根的判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 上面的结论反过来也成立 20.【答案】线段的垂
29、直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 【解析】 第 9 页，共 13 页 解：（1）ABC 即为所求 （2）由作图可知 BC=a，AD=b PQ为线段 BC 的垂直平分线，点 A在 PQ上， AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）（填依据） 又AD在线段 BC 的垂直平分线 PQ上， ADBC AD为 BC 边上的高，且 AD=b 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 （1）根据要求利用尺规作出三角形即可 （2）利用线段的垂直平分线的性质定理即可解决问题 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是 熟练
30、掌握基本知识，属于中考常考题型 21.【答案】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， ADBC， ADE=DEC， AFC=DEC， AFC=ADE， DECF， ADBC， DFCE， 四边形 DECF是平行四边形； （2）解：如图，过 D作 DMEC 于 M，则DMC=DME=90 ， 四边形 ABCD是平行四边形， DC=AB=13，DCB=CDF， tanCDF=12 5 ， tanDCB=12 5 = ， 设 DM=12x，则 CM=5x， 由勾股定理得：（12x）2+（5x）2=132， 解得：x=1， 即 CM=5，DM=12， CE=14， EM=14-5=9， 在 RtD
31、ME中，由勾股定理得：DE=122+ 92=15， 四边形 DECF是平行四边形， CF=DE=15 【解析】 （1）根据平行四边形的性质得出 ADBC，求出 DECF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）过 D作 DMEC 于 M，根据勾股定理求出 DM 和 CM，求出 DE，即可求出答案 本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行 推理和计算是解此题的关键 22.【答案】解：（1）把 A（-4，n）代入 = 4 中， 得：n=- 4 ;4=1， 把 A（-4，1）代入 y=-x+k中， 得：1=-（-4）+k，解得：k=-3 解方程组 = 3 =
32、4 . ，得 = 1. ;4 或 = 4. 1 点 B的坐标是（1，-4） （2）设点 P的坐标为（m，0） 则：AB=(4 1)2+ 1 (4)2=52，AP=(4 )2+ (1 0)2 AP=AB， 52 =(4 )2+ (1 0)2，即 m2+8m-33=0， 解得：m1=-11，m2=3 答：点 P 的是坐标（3，0）或（-11，0） 【解析】 （1）将点 A的坐标带入反比例函数解析式中，求出 n 值，再将 A点的坐标带入一次函数解析式 中即可求出 k 值，联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出结论； 第 10 页，共 13 页 （2）设出点 P 的坐标为（m，
33、0）根据两点间的距离公式表示出线段 AP 和 AB的长度，根据 AP=AB得出关于 m 的一元二次方程，解方程即可得出结论 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及解一元二次方 程，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组；（2）找出关于m的一元二次方程本题属于 基础题，难道不大，解决该题型题目时，结合数量关系找出方程（或方程组）是关键 23.【答案】（1）证明：如图 1 中，连接 OC， CD 是O的切线， OCCD，BDCD， OCBD， OCB=CBD， OC=OB， OCB=OBC， CBO=CBD， BC平分DBA； （2）解：如图连接 AC、AE c
34、osABD=1 2， ABD=60 ， 由（1）可知，ABC=CBD=30 ， 在 RtACB 中，ACB=90 ，ABC=30 ，AB=4， BC=ABcos30 =2 3， 在 RtABE 中，AEB=90 ，BAE=30 ，AB=4， BE=1 2AB=2，AE=2 3， 在 RtCDB 中，D=90 ，CBD=30 ，BC=2 3， CD=1 2BC=3，BD=3， DE=DB-BE=3-2=1 【解析】 （1）如图 1中，连接 OC，由 CD是O的切线，推出 OCCD，由 BDCD，推出 OCBD，推出 OCB=CBD，由 OC=OB，推出OCB=OBC，即可推出CBO=CBD； （
35、2）如图2，连接AC、AE易知四边形AEDC是直角梯形，求出CD、AE、BE长，则DE可求出 本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的定义、解直角三角形等特殊角三角函数、等 腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题 24.【答案】3 2.50或 3.00 【解析】 解：（1）当 x=3 时，点 E与点 O重合，故 CE即为 CO=3， 故：答案为 3； （2）根据表格数据，描点后图象如下图 2； （3）ACE为等腰三角形，有以下三种情况： 当 AE=AC 时， AE=AC=2.5； AC=CE 时， 即 y1=CE=2.5，从图象可以看出，x=0； 第
36、 11 页，共 13 页 即：AE=0（舍去）， 当 AE=CE时， 即：x=y1，从图中可以看出：x=3， 即：AE=3； 故：答案为 2.50或 3.00 （1）当 x=3 时，点 E与点 O重合，故 CE即为 CO，即可求解； （2）根据表格数据，描点后图象如下图 2； （3）分 AE=AC、AC=CE、AE=CE三种情况，求解即可 本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到函数图象作图，此类题目通常在作图的基础上，依据 图象确定特殊点坐标情况求解 25.【答案】11 家庭教育 家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众 数、中位数 210 【解析】 解：（1）根据题
37、意可知关于“家庭教育”问题发言次数的中位数落在 8x12这一组， m=11， 故答案为：11； （2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是家庭教育问题， 理由：“家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众数、中位数； 故答案为：家庭教育，家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、 众数、中位数； （3）300=210位， 答：发言次数超过 8次的参会教师有 210位 （1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论； （2）根据表中数据即可得到结论； （3）所有参会教师人数 在“家庭教育”这个问题上发言次数超过 8次的参会教师占在“家庭教育”
38、 这个问题上发言的参会教师的人数即可得到结论 本题考查了频数（率）分布直方图，正确的理解题意是解题的关键 26.【答案】解：（1）y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a， 顶点 P 的坐标为（1，-4a） （2） 抛物线 y=a （x+1） （x-3） 经过（1，3）， 3=a（1+1）（1-3）， 解得：a=-3 4 当 y=-3 4 （x+1）（x-3） =0时， x1=-1， x2=3， 点 A（-1，0），点 B（3，0） 当 x=0时，y=-3 4（x+1）（x-3） =9 4， （0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”； 当 x=1时，y=-3
39、4（x+1）（x-3）=3， （1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”； 当 x=2时，y=-3 4（x+1）（x-3）= 9 4， （2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域” 综上所述：此时“G区域”有 6 个整数点 （3）当 x=0时，y=a（x+1）（x-3）=-3a， 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，-3a） 当 a0时，如图 1 所示， 此时有3 2 2;43 ， 解得：-2 3a- 1 2； 当 a0时，如图 2 所示， 此时有3 2 ;3;4;2， 解得：1 2a 2 3 综上所述，如果 G 区域中仅有 4 个整数点时，则 a的取值范围为-2 3a- 1 2或 1 2a
40、2 3 【解析】 （1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点 P 的坐标； （2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出 a值，再分析当 x=0、1、2 时，在“G区域”内整数 第 12 页，共 13 页 点的坐标，由此即可得出结论； （3）分 a0及 a0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于 a的不等式组，解之 即可得出结论 本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元 一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函 数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（3）
41、依照题意，画出图形，观察图形找 出关于 a的一元一次不等式组 27.【答案】解：（1）ABC是等边三角形， BAC=60 ， BAD=， FAG=60 -， AFG=EFD=60 ， AGE=180 -60 -（60 -）=60+； （2）CG=2BD，理由是： 如图，连接 BE，过 B 作 BPEG，交 AC于 P，则BPC=EGP， 点 D 关于直线 AB的对称点为点 E， ABE=ABD=60 ， C=60 ， EBD+C=180 ， EBGP， 四边形 EBPG是平行四边形， BE=PG， DFG+C=120 +60 =180 ， FGC+FDC=180 ， ADB=BGP=BPC，
42、AB=BC，ABD=C=60 ， ABDBCP（AAS）， BD=PC=BE=PG， CG=2BD 【解析】 （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形 EBPG是平行四边形，得 BE=PG，再证明 ABDBCP（AAS），可得结论 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的 性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键 28.【答案】3+32 【解析】 解：（1）如图 1，连接 OA， 四边形 ABCD是正方形，且 A（3，3）， d max+dmin=OE+OA=3+3 ，即 d（O，线段
43、 AB）=3+3， 故答案为：3+3 ； 设 P（0，y）， d（P，正方形 ABCD）=7， d max+dmin=7， 分两种情况： E（0，3），F（0，-3），且 P 是线段 EF上一个动点， i）当 P 在 x 轴上方时，如图 2，连接 PC， 第 13 页，共 13 页 d max+dmin=PE+PC=7， 3-y+=7， 解得：y=1， 经检验，y=1 是原方程的解， P（0，1）， ii）当 P 在 x 轴的下方时，同理可得 P（0，-1）； 综上，点 P 的坐标为（0，1）或（0，-1）； （2）分两种情况： 当-3t3 时，如图 3，M 在线段 CD上，过 M 作 MNA
44、C 于 N，连接 AM， M 点横坐标是 t， CM=t+3， 四边形 ABCD是正方形， ACD=45 ， CMN 是等腰直角三角形， MN=（t+3）， d（M，线段 AC）=MN+MA=（t+3）+， 当 t3 时，如图 4，M 在线段 CD的延长线上，过 M 作 MNAC 于 N， 同理 MN=（t+3）， d（M，线段 AC）=MN+CM=（t+3）+t+3， 在动点 M 从 C 到 D方向上运动时，MN+MA 越来越大， （t+3）+=6，解得：t=-3， （t+3）+t+3=6+3，解得：t=3， M 点横坐标 t 取值范围是-3t3 （1）根据“和距离“的定义计算：OE是两点间距离的最小值，OA是两点间的最大值，相加可得 结论； 分两种情况：P在 y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由 d（P，正方形 ABCD） =7，列方程计算即可得； （2）分 M 在线段 CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论 本题是四边形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义与点到直线的距离，有难 度，并注意运用数形结合的思想和分类讨论思想的运用
