1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生上海上海卷卷理工类理工类数学试题数学试题 一、填空题一、填空题(本大题满分本大题满分 48 分分,每小题每小题 4 分分) 奎屯 王新敞 新疆 1.若 tg= 2 1 ,则 tg(+ 4 )= . 奎屯 王新敞 新疆 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=1,则它的焦点坐标为 . 3.设集合 A=5,log2(a+3),集合 B=a,b.若 AB=2,则 AB= . 4.设等比数列an(nN)的公比 q= 2 1 ,且 n lim(a1+a3+a5+a2n-1)= 3 8 ,则 a1= . 5.设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.
2、若当 x0,5时,f(x)的图象如右 图,则不等式 f(x)b0). 点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化时, 求 Sn的最小值； . (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件 的点 P1, P2,Pn存在的充要条件,并说明理由. 符号意义 本试卷所用符号 等同于实验教材符号 向量坐标 a=x,y a=(x,y) 正切 tg tan 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生上海上海卷卷理工类理工类数学试题数学试题 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题(本大题满分本大题满分 48 分分,每小题每小题 4 分分) 1.
3、 3 2.(5,0) 3.1,2,5 4.2 5.(2,0)(2,5 6.(5,4) 7. 5 152 8.(x2)2+(y+3)2=5 9. 11 4 10.a0 且 b0 11.用代数的方法研究图形的几何性质 12.、 二、选择题二、选择题(本大题满分本大题满分 16 分分,每小题每小题 4 分分) 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题三、解答题(本大题满分本大题满分 86 分分) 17.【解】由题意得 z1= i i + + 1 51 =2+3i, 于是 21 zz =ia24+=4)4( 2 +a, 1 z=13. 4)4( 2 +a3 时,. f3(2)f2(2)= a
4、2+ a 8 80, 当 a3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2)在 f2(x)图象的上方. f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ x 8 =a2+ a 8 , 即(xa)(x+a ax 8 )=0,得方程的一个解 x1=a. 方程 x+a ax 8 =0 化为 ax2+a2x8=0, 由 a3,=a4+32a0,得 x2= a aaa 2 32 42 + , x3= a aaa 2 32 42 + , x20, x1 x2,且
5、x2 x3. 若 x1= x3,即 a= a aaa 2 32 42 + ,则 3a2=aa32 4 +, a4=4a, 得 a=0 或 a= 3 4,这与 a3 矛盾, x1 x3. 故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 21.【证明】(1) 棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又截面 DEF底面 ABC, DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60 , P-ABC 是正四面体. 【解】(2)取 BC 的中点 M,连拉 PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面 PAM,BCDM, 则DMA 为二
6、面角 D-BC-A 的平面角. 由(1)知,P-ABC 的各棱长均为 1, PM=AM= 2 3 ,由 D 是 PA 的中点,得 sinDMA= 3 3 = AM AD ,DMA=arcsin 3 3 . (3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台 DEF-ABC 的棱长和为定值 6,体积为 V. 设直平行六面体的棱长均为 2 1 ,底面相邻两边夹角为 , 则该六面体棱长和为 6, 体积为 8 1 sin=V. 正四面体 P-ABC 的体积是 12 2 ,00)上各点的最小距离为 b,最大距 离为 a. a1= 1 OP 2=a2, d 1 OP 2,即 d0. 【解法二】若抛物线 C:y2=2x,点 P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,Pn存在的充要条件是 d0.理由同上 【解法三】若圆 C:(xa)+y2=a2(a0), P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,Pn存在的充要条件是 00且 n OP 2=(n1)d4a2.即 0d 1 4 2 n a .
