1、 2004 年普通高等学校招生天津卷文史类数学试题年普通高等学校招生天津卷文史类数学试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号 奎
2、屯 王新敞 新疆答在试卷上的无效 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么)()()(BPAPBAP+=+，如果事件 A、B 相互独立，那 么)()()(BPAPBAP= 奎屯 王新敞 新疆 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式ShV= 柱体 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 奎屯 王新敞 新疆 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1. 设集合6,5,4,3,2,1=P，62=xRxQ，那么下列结论正确的是 A. PQP= B. QQP C. QQP
3、= D. QPP 2. 不等式2 1 x x 的解集为 A. 0,1 B. ),1+ C. 1,( D. ),0( 1,(+ 3. 对任意实数 a、b、c，在下列命题中，真命题是 A.“bcac ”是“ba ”的必要条件 B.“bcac =”是“ba =”的必要条件 C.“bcac ”是“ba ”的充分条件 D.“bcac =”是“ba =”的充分条件 4. 若平面向量b 与向量a )2,1 (=的夹角是180，且53=b ，则b A. )6,3( B. )6,3( C. )3,6( D. )3,6( 5. 设 P 是双曲线1 9 2 2 2 = y a x 上一点， 双曲线的一条渐近线方程为
4、023= yx， 1 F、 2 F A B C D A1 D1 C1 B1 E F E1 F1 A C P B 分别是双曲线的左、右焦点 奎屯 王新敞 新疆若 3 1 =PF，则= 2 PF A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 6. 若函数) 10(log)(=axxf a 在区间2,aa上的最大值是最小值的 3 倍，则=a A. 4 2 B. 2 2 C. 4 1 D. 2 1 7. 若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆054 22 =+yxx在第一象限内的部分 有交点，则k的取值范围是 A. 50 k B. 05k C. 130 k D. 50 k 8. 如图，定点 A 和
5、 B 都在平面内，定点P，PB，C 是内异于 A 和 B 的 动点，且ACPC 奎屯 王新敞 新疆那么，动点 C 在平面内的轨迹是 A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 9. 函数)01(3 1 = + xy x 的反函数是 A. )0(log1 3 +=xxy B. )0(log1 3 +=xxy C. ) 31 (log1 3 +=xxy D. ) 31 (log1 3 +=xxy 10. 函数)2 6 sin(2xy= ),0(x为增函数的区间是 A. 3 ,0 B. 12 7 , 12 C. 6 5 ,
6、 3 D. , 6 5 11. 如图，在长方体 1111 DCBAABCD 中，6=AB，4=AD，3 1 =AA 奎屯 王新敞 新疆 分别过 BC、 11D A的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记 为 11 1DFDAEA VV =， 1111 2DFCFAEBE VV =， CFCBEB VV 1111 3 = 奎屯 王新敞 新疆若 1:4:1: 321 =VVV，则截面 11EFD A的面积为 A. 104 B. 38 C. 134 D. 16 12. 定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数 奎屯 王新敞 新疆若 )(xf的最小正周期是，且当 2 ,0 x时，xxf
7、sin)(=，则) 3 5 ( f的值为 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 2004 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 奎屯 王新敞 新疆 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚 奎屯 王新敞 新疆 题号 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品 奎屯 王新敞 新疆产品数量之比依次为
8、5:3:2 奎屯 王新敞 新疆现用分层抽 样方法抽出一个容量为n的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件 奎屯 王新敞 新疆那么此样本的容量 =n 奎屯 王新敞 新疆 14. 已知向量) 1,1 (=a ，) 3,2(=b ，若bak 2与a 垂直，则实数k等于 奎屯 王新敞 新疆 15. 如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线32 2 =xxy没有交点， 那么实数 a的取值范围是 奎屯 王新敞 新疆 16. 从 0，1，2，3，4，5 中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 5 整 除的三位数共有 个 奎屯 王新敞 新疆（用数字作答） 三. 解答题：本大题共 6
9、 小题，共 74 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 17.（本小题满分 12 分） 已知 2 1 ) 4 tan(=+ （1）求tan的值； （2）求 2cos1 cos2sin 2 + 的值 奎屯 王新敞 新疆 18.（本小题满分 12 分） 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 奎屯 王新敞 新疆 （1）求所选 3 人都是男生的概率； （2）求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率； （3）求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率 奎屯 王新敞 新疆 A B C D P E 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥ABC
10、DP中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD， DCPD =，E是 PC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明/PA平面 EDB； （2）求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值 奎屯 王新敞 新疆 20.（本小题满分 12 分） 设 n a是一个公差为)0(dd的等差数列， 它的前 10 项和110 10 =S且 1 a， 2 a， 4 a成 等比数列 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明da = 1 ； （2）求公差d的值和数列 n a的通项公式 奎屯 王新敞 新疆 21.（本小题满分 12 分） 已知函数)0()( 3 +=adcxaxxf是 R 上的奇函数，当1=x时)(x
11、f取得极值2 奎屯 王新敞 新疆 （1）求)(xf的单调区间和极大值； （2）证明对任意 1 x，) 1,1( 2 x，不等式4)()( 21 xfxf恒成立 奎屯 王新敞 新疆 22.（本小题满分 14 分） 椭圆的中心是原点 O， 它的短轴长为22， 相应于焦点)0,(cF)0( c的准线l与x轴 相交于点 A，FAOF2=，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 奎屯 王新敞 新疆 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=OQOP，求直线 PQ 的方程 奎屯 王新敞 新疆 2004 年普通高等学校招生天津卷文史类数学参考解答 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分
12、，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. D 10. C 11. C 12. D 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13. 80 14. 1 15. ) 4 13 ,( 16. 36 三. 解答题 17. 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1） 解：) 4 tan( + tan1 tan1 tan 4 tan1 tan 4 tan + =
13、+ = 由 2 1 ) 4 tan(=+ ，有 2 1 tan1 tan1 = + 解得 3 1 tan= （2）解法一： 1cos21 coscossin2 2cos1 cos2sin 2 22 + = + cos2 cossin2 = 6 5 2 1 3 1 2 1 tan= 解法二：由（1） ， 3 1 tan=，得cos 3 1 sin= 22 cos 9 1 sin= 22 cos 9 1 cos1= 10 9 cos 2 = 于是 5 4 1cos22cos 2 = 5 3 cos 3 2 cossin22sin 2 = 代入得 6 5 5 4 1 10 9 5 3 2cos1 c
14、os2sin 2 = + = + 18. 本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：所选 3 人都是男生的概率为 5 1 3 6 3 4 = C C （2）解：所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 5 3 3 6 2 4 1 2 = C CC （3）解：所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 5 4 3 6 1 4 2 2 2 4 1 2 = + C CCCC 19. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推 理论证能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 方法一： （1）证明：连结 AC、AC
15、 交 BD 于 O 奎屯 王新敞 新疆连结 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 在PAC中，EO 是中位线 EOPA/ 而EO平面 EDB 且 / PA平面EDB，所以，/PA平面 EDB 奎屯 王新敞 新疆 （2）解：作DCEF 交 CD 于 F 奎屯 王新敞 新疆连结 BF，设正方形 ABCD 的边长为a 奎屯 王新敞 新疆 PD底面 ABCD DCPD PDEF / F 为 DC 的中点 EF底面 ABCD， BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影， 故EBF为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角 奎屯 王新敞 新疆 在BCFRt中，a a
16、 aCFBCBF 2 5 ) 2 ( 2222 =+=+= 22 1a PDEF= 在EFBRt中 5 5 2 5 2 tan= a a BF EF EBF 所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 5 5 O A B C D P E F 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点 奎屯 王新敞 新疆设 aDC = （1）证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G 奎屯 王新敞 新疆连结 EG 奎屯 王新敞 新疆依题意得 )0,0,(aA，),0,0(aP， ) 2 , 2 ,0( aa E 底面 ABCD 是正方形 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为)0, 2 , 2 (
17、 aa ),0,(= aPA ) 2 ,0, 2 ( aa EG= EGPA2= 这表明EGPA/ 而EG平面EDB且 / PA平面 EDB /PA平面 EDB （2）解：依题意得)0,(aaB，)0,0(aC 取 DC 的中点)0, 2 ,0( a F 连结 EF，BF ) 2 ,0,0( a FE =，)0, 2 ,( a aFB =，)0,0(aDC = 0=FBFE，0=DCFE FBFE ，DCFE EF底面 ABCD， BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影， 故EBF为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角 奎屯 王新敞 新疆 在EFBRt中， 2 a FE =，a a aF
18、B 2 5 ) 2 ( 22 =+= 5 5 2 5 2 tan= a a FB FE EBF 所以，EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 5 5 奎屯 王新敞 新疆 G z y x A B C D P E F 20. 本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前 n 项和公式以及等比中项等基础 知识，考查运算能力和推理论证能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明：因 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，故 41 2 2 aaa = 而 n a是等差数列，有daa+= 12 ，daa3 14 += 于是 2 1 )(da +)3( 11 daa+= 即daaddaa 1
19、2 1 2 1 2 1 32+=+ 化简得 da = 1 （2）解：由条件110 10 =S和daS 2 910 10 110 +=，得到1104510 1 =+da 由（1） ，da = 1 ，代入上式得11055=d 故 2=d，ndnaan2) 1( 1 =+= 因此，数列 n a的通项公式为nan2=，,3,2,1=n 奎屯 王新敞 新疆 21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础 知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：由奇函数的定义，应有)()(xfxf=，Rx 即dcxaxdcxax=+ 33 0=
20、d 因此，cxaxxf+= 3 )( caxxf+= 2 3)( 由条件2) 1 (=f为)(xf的极值，必有0) 1 (= f ，故 =+ =+ 03 2 ca ca 解得1=a，3=c 因此，xxxf3)( 3 =，) 1)(1( 333)( 2 +=xxxxf 0) 1 () 1(=ff 当) 1,(x时，0)( x f，故)(xf在单调区间) 1,(上是增函数 当) 1,1(x时，0)( x f，故)(xf在单调区间) 1,1(上是减函数 当),1 (+x时，0)( x f，故)(xf在单调区间),1 (+上是增函数 所以，)(xf在1=x处取得极大值，极大值为2) 1(=f （2）解
21、：由（1）知，xxxf3)( 3 =) 1,1(x是减函数，且 )(xf在 1,1上的最大值2) 1(= fM )(xf在 1,1上的最小值2) 1 (= fm 所以，对任意的 1 x，) 1,1( 2 x，恒有 4)2(2)()( 21 =mMxfxf 22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力，满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：由题意，可设椭圆的方程为1 2 2 2 2 =+ y a x )2( a 由已知得 = = )(2 2 2 22 c c a c ca 解得6=a，2=c 所以椭圆的
22、方程为1 26 22 =+ yx ，离心率 3 6 =e （2）解：由（1）可得)0,3(A，设直线 PQ 的方程为) 3( =xky，由方程组 = =+ )3( 1 26 22 xky yx 得062718) 13( 2222 =+kxkxk 依题意0)32(12 2 =k，得 3 6 3 6 k 设),( 11 yxP，),( 22 yxQ 则 13 18 2 2 21 + =+ k k xx 13 627 2 2 21 + = k k xx 由直线 PQ 的方程得) 3( 11 =xky，) 3( 22 =xky 于是 9)( 3) 3)(3( 2121 2 21 2 21 +=xxxxkxxkyy 0=OQOP 0 2121 =+yyxx 由得15 2 =k，从而) 3 6 , 3 6 ( 5 5 =k 所以直线 PQ 的方程为035=yx或035=+yx
