1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生浙江卷浙江卷文史文史类类数学试题数学试题 第第卷卷 (选择题选择题 共共 60 分分) 一一.选择题选择题: 本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. (1) 若 U=1,2,3,4, M=1,2,N=2,3, 则() U CMN= (A) 1,2,3 (B) 4 (C) 1,3,4 (D) 2 （2）直线 y=2 与直线 x+y2=0 的夹角是 （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 4 3 (3) 已知
2、等差数列 n a的公差为 2,若 431 ,aaa成等比数列, 则 2 a= (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 （4）已知向量),cos,(sin),4 , 3(=ba且ab，则tan= （A） 4 3 （B） 4 3 （C） 3 4 （D） 3 4 （5）点 P 从（1，0）出发，沿单位圆1 22 =+ yx逆时针方向运动 3 2 弧长到达 Q 点，则 Q 的坐标为 （A） （) 2 3 , 2 1 （B） （) 2 1 , 2 3 （C） （) 2 3 , 2 1 （D） （) 2 1 , 2 3 （6）曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是 （A）y2=8-
3、4x （B）y2=4x8 （C）y2=16-4x （D）y2=4x16 (7) 若 n x x) 2 ( 3 +展开式中存在常数项,则 n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)“ 2 1 sin=A”“A=30”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若函数) 1, 0)(1(log)(+=aaxxf a 的定义域和值域都是0，1，则 a= （A） 3 1 （B） 2 （C） 2 2 （D）2 （10）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中已知 AB=1，D 在棱 BB1 上，且 BD=1
4、，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 = （A） 3 （B） 4 （C） 4 10 arcsin（D） 4 6 arcsin A B C A1 B1C1 D （11）椭圆)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2被点（ 2 b ，0） 分成 5：3 两段，则此椭圆的离心率为 （A） 17 16 （B） 17 174 （C） 5 4 （D） 5 52 （12）若)(xf和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数，且方程0)(=xgfx有实数解，则 )(xfg不可能 是 （A） 5 1 2 + xx （B） 5 1 2 + x
5、x （C） 5 1 2 x （D） 5 1 2 +x 第第卷卷 （非选择题（非选择题 共共 90 分）分） 二二.填空题：三大题共填空题：三大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13）已知 = , 0, 1 , 0, 1 )( x x xf则不等式2)(+ xxxf的解集是 奎屯 王新敞 新疆 （14）已知平面上三点 A、 B、 C 满足3,4,5ABBCCA=则AB BCBC CA CA AB+ 的值等于 奎屯 王新敞 新疆 （15）已知平面 ， =l，P 是空间一点，且 P
6、 到 、 的距离分别是 1、2， 则点 P 到l的距离为 奎屯 王新敞 新疆 （16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动质点落在点（3，0） （允许重复过此点）处，则质点不同的运动 方法共有 种（用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 三三. 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 74 分分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为).)(1( 3 1 , =NnaSS
7、 nnn （）求 21,a a； （）求证数列 n a是等比数列 奎屯 王新敞 新疆 （18） （本题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 3 1 cos=A 奎屯 王新敞 新疆 （）求A CB 2cos 2 sin 2 + + 的值； （）若3=a，求 bc 的最大值 奎屯 王新敞 新疆 （19） （19） （本题满分 12 分） 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M 是线段 EF 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （）求证 AM平面 BDE； （）求证 AM平面 BDF； （）求二面角 ADFB 的
8、大小； （20） （本题满分 12 分） 某地区有 5 个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪 一天是等可能的） 奎屯 王新敞 新疆假定工厂之间的选择互不影响 奎屯 王新敞 新疆 （）求 5 个工厂均选择星期日停电的概率； （）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率 奎屯 王新敞 新疆 A B C D F E M （21） （本题满分 12 分） 已知 a 为实数，)(4()( 2 axxxf= （）求导数)(x f ； （）若0) 1(= f ，求)(xf在-2，2 上的最大值和最小值； （）若)(xf在（-，-2和2，+）上都是递增的，求 a 的取值范围 奎屯 王
9、新敞 新疆 （22） （本题满分 14 分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1，0）点 P、Q 在双 曲线的右支上，支 M（m,0）到直线 AP 的距离为 1 奎屯 王新敞 新疆 （）若直线 AP 的斜率为 k，且3, 3 3 k，求实数 m 的 取值范围； （）当12 +=m时，APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲 线的方程 奎屯 王新敞 新疆 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4-224 A 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生浙江卷浙江卷文史文史类类数学试题数学试题 参考答案参考答案 一选择题本大题共一选择题本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60
10、 分分 奎屯 王新敞 新疆 1.B 2.A 3. B 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.D 10.D 11D 12. B 二二.填空题填空题 (本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 16 分分) 13.(1 , 14. 4 15. 5 16. 5 三三.解答题解答题 17. 解: ()由) 1( 3 1 11 =aS,得) 1( 3 1 11 =aa = 1 a 2 1 又) 1( 3 1 22 =aS,即) 1( 3 1 221 =+aaa,得 4 1 2 =a. ()当 n1 时,),1( 3 1 ) 1( 3 1 11 = nnnnn aaSSa 得,
11、2 1 1 = n n a a 所以 n a是首项 2 1 ,公比为 2 1 的等比数列. (12 分) (18) 解: ()A CB 2cos 2 sin 2 + + =) 1cos2()cos(1 2 1 2 +ACB =) 1cos2()cos1 ( 2 1 2 +AA =) 1 9 2 () 3 1 1 ( 2 1 + = 9 1 () 3 1 cos 2 222 = + A bc acb 2222 2 3 2 abcacbbc+=, 又3=a . 4 9 bc 当且仅当 b=c= 2 3 时,bc= 4 9 ,故 bc 的最大值是 4 9 . (19) (满分 12 分) 方法一 解
12、: ()记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, O、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形， 四边形 AOEM 是平行四边形， AMOE 奎屯 王新敞 新疆 OE平面 BDE， AM平面 BDE， AM平面 BDE 奎屯 王新敞 新疆 O A B C D F E M O A B C D F E M S ()在平面 AFD 中过 A 作 ASDF 于 S，连结 BS， ABAF， ABAD， ,AAFAD= AB平面 ADF， AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影， 由三垂线定理得 BSDF 奎屯 王新敞 新疆 BSA 是二面角 ADFB 的平面角 奎屯 王新敞 新疆 在
13、RtASB 中，, 2, 3 6 =ABAS ,60, 3tan=ASBASB 二面角 ADFB 的大小为 60 奎屯 王新敞 新疆 （）设 CP=t（0t2）,作 PQAB 于 Q，则 PQAD， PQAB，PQAF，AAFAB=， PQ平面 ABF，QE平面 ABF， PQQF 奎屯 王新敞 新疆 在 RtPQF 中，FPQ=60 ， PF=2PQ 奎屯 王新敞 新疆 PAQ 为等腰直角三角形， ).2( 2 2 tPQ= 又PAF 为直角三角形， 1)2( 2 +=tPF， ).2( 2 2 21)2( 2 tt=+ 所以 t=1 或 t=3(舍去) 即点 P 是 AC 的中点 奎屯 王
14、新敞 新疆 方法二 N A B C D F E M （）建立如图所示的空间直角坐标系 奎屯 王新敞 新疆 设NBDAC=，连接 NE， 则点 N、E 的坐标分别是（)0 , 2 2 , 2 2 、 （0,0,1）, NE=() 1 , 2 2 , 2 2 , 又点 A、M 的坐标分别是 （022，） 、 （) 1 , 2 2 , 2 2 AM=（) 1 , 2 2 , 2 2 NE=AM且 NE 与 AM 不共线， NEAM 奎屯 王新敞 新疆 又NE平面 BDE， AM平面 BDE， AM平面 BDF 奎屯 王新敞 新疆 （）AFAB，ABAD，AF,AAD = AB平面 ADF 奎屯 王新
15、敞 新疆 (2,0,0)AB = 为平面 DAF 的法向量 奎屯 王新敞 新疆 NE DB=（) 1 , 2 2 , 2 2 )0 ,2,2(=0， NENF=（) 1 , 2 2 , 2 2 )0 ,2,2(=0 得 NEDB,NENFNE 为平面 BDF 的法向量 奎屯 王新敞 新疆 cos= 2 1 ,AB NE的夹角是 60 奎屯 王新敞 新疆 即所求二面角 ADFB 的大小是 60 奎屯 王新敞 新疆 N A B C D F E M P （）设 P(t,t,0)(0t2)得 ( 2, 2,1),PFtt= CD=（2，0，0） 又PF 和 CD 所成的角是 60 奎屯 王新敞 新疆
16、21)2()2( 2)2( 60cos 22 + = tt t 解得 2 2 =t或 2 23 =t（舍去） ， 即点 P 是 AC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 (20) 解: ()设 5 个工厂均选择星期日停电的事件为 A, 则 16807 1 7 1 )( 5 =AP. ()设 5 个工厂选择的停电时间各不相同的事件为 B, 则. 2401 360 7 34567 7 )( 55 5 7 = = A BP 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B, 所以. 2401 2041 2401 360 1)(1)(=BPBP (12 分) (21) 解: ()由原式得,44)( 23 axaxx
17、xf+= . 423)( 2 =axxxf ()由0) 1(= f 得 2 1 =a,此时有43)(), 2 1 )(4()( 22 =xxxfxxxf. 由0) 1(= f 得 3 4 =x或 x=-1 , 又, 0)2(, 0)2(, 2 9 ) 1(, 27 50 ) 3 4 (=ffff 所以 f(x)在-2,2上的最大值为, 2 9 最小值为. 27 50 ()解法一: 423)( 2 =axxxf的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 , 0)2(, 0)2(ff 即 084 . 048 + a a -2a2. 所以 a 的取值范围为-2,2. 解法二:令0)(= x
18、 f即, 0423 2 = axx 由求根公式得: )( 3 12 21 2 2, 1 xx aa x + = 所以. 423)( 2 =axxxf在( 1 ,x和)+, 2 x上非负. 由题意可知,当 x-2 或 x2 时, )(x f 0, 从而 x1-2, x22, 即 + + 612 2 .612 2 aa aa 解不等式组得: -2a2. a 的取值范围是-2,2. (22) (满分 14 分) 解: ()由条件得直线AP 的方程),1( =xky(),0k即0=kykx.又因为点M 到直线 AP 的距离为 1,所以, 1 1 2 = + k kmk 得 2 2 1 1 1 1 kk
19、 k m+= + =. ,3, 3 3 k 3 32 1m2, 解得 3 32 +1m3 或-1m1- 3 32 . m 的取值范围是m.3 , 1 3 32 3 32 1 , 1+ ()可设双曲线方程为),0( 1 2 2 2 =b b y x 由),0 , 1 (),0 , 12(AM+ 得2=AM. 又因为 M 是 APQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以MAP=45 ,直线 AM 是 PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1 奎屯 王新敞 新疆因此， 1, 1= AQAP kk（不妨设 P 在第 一象限） 直线 PQ 方程为22+=x 奎屯 王新敞 新疆 直线 AP 的方程 y=x-1, 解得 P 的坐标是（2+2，1+2） ，将 P 点坐标代入1 2 2 2 = b y x得， 32 12 2 + + =b 所以所求双曲线方程为, 1 12 )32( 22 = + + yx 即. 1) 122( 22 =yx
