1、以連結為核心的數學教學-兼談臺灣國小數學課程的改革鍾 靜臺北教育大學數學教育研究所教授臺灣教育部課程與教學輔導組數學領域召集人壹、數學教學的國際趨勢貳、臺灣國小數學課程的改革参、臺灣九年一貫數學課程的新主題連結肆、連結在數學教學上的實踐伍、國小階段數學教學的重要議題壹之一、Niss(1996)的分析世界上大部份國家的國小和國中，近二十年來數學教育目標已被擴大要考慮數學本質（the essential aspects of numeracy）以及數學讀寫能力（mathematical literacy），其共同希望達成的目標是：1.要為每位兒童提供內容充實的數學教育，不能只考慮未來的社會菁英分子
2、。2.要提供不同教與學的機會給個別的學習者，注意學生的個別差異。3.要強調學習者的態度能夠參與及合作。壹之一、Niss(1996)的分析(續)4.要評估兒童的數學潛能，以達成實行較高層數學的教與學目標。5.要聚焦在個別學習者的需求和興趣上，是為在個人和社會生活方面的活動參與做準備。6.要發展兒童的自重和自信，能夠獨立和自動的思考，培養探索和研究的態度，產生經驗和愉悅等等。7.要強調兒童的數學活動，而非被動的接受知識。8.要強調數學的過程，如：探究、推測、解題、發表、證明等，不能僅重結果，如：概念、結論、方法、技能等。9.要培養數學的思考和創造力，強調數學是人類活動累積五千年的生活成果。壹之一、
3、Niss(1996)的分析(續)10.要付予兒童去定義、提出、形成和解決數學問題，不論在純數或應用數學方面。11.要付予兒童去瞭解和鑑賞數學本質。12.要付予兒童使用數學，對數學外（extra-mathematical）情境產生模式和模式化意義。13.要付予兒童去分析和判斷數學外脈絡的數學使用。14.要提供學生對社會和文化中數學角色產生印象和洞察。15.要塑造兒童精通於有關數學的資料處理。從這4個(14點)外在目標和11個(515點)內在目標可看出幾乎都以兒童或學生為重，從這些目標也可看出數學教學的趨勢在重視學習者個體、數學知識形成的過程，與社會文化活動的關連；除了數學知識外，數學課程是有很多
4、的情意、文化、社會目標。壹之一、小結在學習方面指出：學生應該用理解的方式來學習數學，積極的在過去經驗與先前知識上建立新知；在教學方面指出：有效的數學教學必須瞭解學生知道了什麼和需要學習什麼，才能加以刺激和鼓勵他們學習得更好。壹之二、美國數學教師協會（NCTM，2000）出版的學校數學的原則與標準1.從只是個別學生聚在一起的教室轉變成一個數學學習的社群。2.從教師提供正確答案轉變至數學學習是建基在邏輯及驗證上。3.從強記計算過程轉變至運用數學推理過程。4.從機械式的尋找答案轉變至多運用推想、創意和解題技巧。5.從把數學當作一堆獨立的概念和程序轉變至把數學概念和應用連接起來。建議教師營造學生理想的
5、教學環境是：建議教師營造學生理想的教學環境是：壹之二、美國數學教師協會(NCTM，2000)出版 的學校數學的原則與標準(續)主要精神有以下兩個重要的觀點(Freudenthal，1991)：1.數學必須與真實情境連結。2.數學是人類的活動。強調引導、再發明、數學化。Treffers(1991)指出包含真實情境的數學化（水平數學化）和數學知識的數學化（垂 直數學化）。壹之三、荷蘭的真實數學教育(RME)理論Shimada(1977)指出逐漸走向強調個別學生的發展及能在數學討論中提出問題和解決問題，學生應能夠數學化一個情境和處理它，並和別人合作去解決一個數學問題。基於此目標，整個教育活動：1.使
6、學生現在的學習連接到未來的學習，強調學生在活動中 有自治的能力。2.發展和整合數學知識的本質。3.教師能在教室中做適當的決定。壹之四、日本數學教育趨勢貳之一、臺灣數學課程改革的原因20032003年九貫正綱年九貫正綱(審定本審定本部編本部編本)1975年版國小年版國小(統編版統編版)1985年版國中年版國中(統編版統編版)1993年版國小年版國小(審定本部編本審定本部編本)1994年版國中年版國中(統編版統編版)2000年九貫暫綱年九貫暫綱(審定本審定本)貳之二、臺灣數學課程改革的重點與特性貳之二、臺灣數學課程改革的重點與特性(續)版本特性能力指標關鍵用語備註國小數學1975年版論理結構知識導
7、向教具操作國小數學1993年版心理結構知識建構認知發展九年一貫數學暫行綱要（2000年版）心理結構能力培養學習歷程連結核心經驗、察覺、嘗試理解、理解/瞭解/認識（知識形成過程：經驗察覺理解內化）認知外顯知識內隱九年一貫數學正式綱要（2003年版）論理結構知識導向理解能力熟練能力認識強調觀察、個例、經驗、歸納的學習初期階段理解強調概念形成、練習、驗證 、推廣的中期階段熟練在於形式與解題程序之流暢知識外顯認知內隱u由形式到落實的兒童本位由形式到落實的兒童本位 由教師中心轉為學生中心u由模仿到形塑的數學知識由模仿到形塑的數學知識 由知識傳遞轉為認知發展u由講述到討論的數學教學由講述到討論的數學教學
8、由單向講述轉為群體討論u由內容到過程的教材設計由內容到過程的教材設計u由紙筆到多元的教學評量由紙筆到多元的教學評量貳之三、臺灣數學課程改革的特點参之一、連結的定位各版別數學課程的教材綱要或主題重點彙整表各版別數學課程的教材綱要或主題重點彙整表數學領域有連結(connection)這一主題。其包括：內部連結和外部連結。學生的數學學習要藉由內部的連結來掌握數學的方法，增進數學的素養；並藉由外部的連結來廣泛的應用數學，加強數學式的思維。連結包括：察覺(recognition)轉化(transformation)解題(problem solving)溝通(communication)評析(evalua
9、tion)参之二、連結的內涵参之三、連結是過程目標uNCTM（1989）：解題、溝通、推理、聯結 NCTM（2000）：解題、溝通、推理、聯結、表徵u1993年版課程之精神：解題、溝通、推理、聯結 九年一貫課程之核心：連結長度是學童在日常生活中隨處可見，最容易在生活中獲得經驗的一種量，也是學生在學習歷程中最早學習的量。長度教材的教學歷程依序是長度的認識長度的認識、長度的直長度的直接比較接比較、長度的間接比較長度的間接比較、長度的長度的個別單位比較個別單位比較、長度普遍單位的認識與長度普遍單位的認識與測量測量、長度普遍單位間的化聚長度普遍單位間的化聚。肆之一、以內部連結強調認知發展長度篇時間包含
10、時刻和時間量兩個概念。時刻是一個時間點，時間量是指兩個時刻間經過的時間有多少？在小學階段，時間的教學可以分為五個歷程：時間的認識時間的認識、時刻的報讀時刻的報讀、時時間普遍單位的認識間普遍單位的認識、時間量的化聚時間量的化聚與時間的計算時間的計算。肆之一、以內部連結強調認知發展(續)時間篇國小數學有關小數的教材與教學內容，分布在三至六年級。小數教材的分成四大主題：1.小數的數概念小數的數概念，包括：小數與整數、分數的關係。小數的數詞序列與位值概念。2.小數的加減小數的加減，包括：解決小數的加減，可透過換成分數策略、合成分解策略、換成同單位策略，以及使用多單位策略來解題。教學中，可利用定位版，採
11、用多單位策略，進行直式運 算。小數篇肆之一、以內部連結強調認知發展(續)肆之一、以內部連結強調認知發展(續)3.小數的乘法小數的乘法：小數乘以整數，採用連加策略、合成分解策略，以最小 單位將被乘數換成整數運算及多單位策略來解題。小數乘以小數，可以透過分數乘法運算來理解，並比照整 數乘法算則，引入小數乘法的直式算則。4.小數的除法小數的除法：包含除問題，透過連減策略、先乘後減策略、被除數和除 數同時換單位，及被除數和除數同乘以10（或100）倍的 方式來解題。等分除問題，可運用將等分除問題，轉換為包含除問題與 將被除數視為多單位等策略解題。肆之二、以外部連結強調情境設計以外部連結為主，藉由時間概
12、念的教學實例，介紹生活與數學連結的教學，讓學生學會從生活情境中引入相關的數學教學問題，藉由這些數學問題發展數學概念，並應用所獲得的數學概念解決生活問題。生活與數學國民中小學數學教師專業成長網：國民中小學數學教師專業成長網：http:/math.naer.edu.tw/肆之三、以連結呼應統整課程數學內部的連結數學外部的連結社會互動的教學前後經驗內容之間內容與生活內容與社會目標之間師生之間肆之三、以連結呼應統整課程(續)u統整教學 數與計算、量與實測、代數、圖形與空間/幾何、統計與機率、其他u數學繪本u資訊融入數學教學u數學步道u數學園遊會Math-SeedMath-Seed網站：網站：http:
13、/mathseed.ntue.edu.tw/都是水惹的禍都是水惹的禍&惑容量概念的發展惑容量概念的發展洪雪芬高雄市博愛國小/示例國小篇（二）都是水惹的禍都是水惹的禍&惑容量概念的發展惑容量概念的發展（續）課程統整設計架構探訪校園數學的秘密探訪校園數學的秘密趙曉燕、林宜靜台北市仁愛國小/示例國小篇（四）各活動之主題能力與內部連結探訪校園數學的秘密探訪校園數學的秘密（續）趙曉燕、林宜靜台北市仁愛國小/示例國小篇（四）各活動之外部連結橄欖樹橄欖樹吳秀蓮新竹縣三峰國小/示例國小篇（四）主題課程架構科博館一日遊科博館一日遊-建立時間概念建立時間概念郭換枝彰化縣田中國小/示例國小篇（四）主題：科博館一日遊
14、N-2-9能報讀（鐘面上的）時刻，以及點算兩時刻間的時間，能理解24時制並應用在生活中數學內部的連結統計數與機率D-1-2能報讀日常生活中常見的直接對應表格。D-2-5能報讀生活中常見的交叉對應表格。數與量N-1-3能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。活動目標活動一：能閱讀資料並解讀資料中的資訊。活動二：能判讀資料，應用在實際生活中。活動三：能點數兩時刻間的時間，能理解24時制。活動四：能以日為單位，點數兩日期間的日數。與其他領域之外部連結自然與生活科技5-2-13、7-2-0-2藝術與人文2-2-3、3-2-13語文B-2-1-9連結主題察覺
15、：C-R-1 轉化：C-T-3、C-T-4 解題：C-S-5 溝通：C-C-3、C-C-6、C-C-8 評析：C-E-1從中國字學線對稱從中國字學線對稱甘麗珍國北師附小/示例國小篇（五）從中國字學線對稱主題能力S-2-7能辨認平面圖形的線對稱關係活動1：能利用日常生活中常見的圖案，學習辨認平面圖形的線對稱關係。（數學，80分鐘，連堂完成）活動2：能利用摺剪紙的線對稱特性，學習設計並摺剪出線對稱的中國字。（藝術與人文，80分鐘，連堂完成）活動3：能相互欣賞同儕間的作品，經由描述、分析與討論的方式，能清楚此作品的美感特徵與視覺要素。（藝術與人文，40分鐘）與其他領域的連結【國語文】D-2-6-6-2【藝術與人文】1-3-1、1-3-2、2-2-7【連結】主題察覺C-R-1、C-R-2、C-R-4 轉化C-T-2 溝通C-C-8 評析C-E-3俗俗呀賣，有影嘸！俗俗呀賣，有影嘸！蔡寶桂新竹縣新湖國小/示例國小篇（三）售屋廣告相關統整題材u具體活動形式運思伍之一、兒童本位的教學歷程 形式運思高中低具體活動u兒童法專家法u概念/理解 vs.熟練u具體活動 vs.教具操作u師生互動 vs.生生互動u群體討論 vs.合作學習u生活情境 vs.資訊融入伍之二、有意義的教學歷程
