1、专题20 函数的应用函数的应用函数的应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的考形式出现形式出现.情解2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为读载体，主要考查函数的最值问题载体，主要考查函数的最值问题.3主干知识梳理1.函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根(1)函数的零点函数的零点对于函数对于函数 f(x)，我们把使，我们把使 f(x)0的实数的实数x叫做函数叫
2、做函数 f(x)的的零点零点.(2)函数的零点与方程根的关系函数的零点与方程根的关系函数函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)g(x)的根，即的根，即函数函数yf(x)的图象与函数的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标的图象交点的横坐标.(3)零点存在性定理零点存在性定理如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线，且有曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数yf(x)在区间在区间(a，b)内内有零点，即存在有零点，即存在c(a，b)使得使得f(c)0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根
3、.注意以下两点：注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点不满足条件时，也可能有零点.(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2.函数模型函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域型，并要注意定义域.其解题步骤是其解题步骤是(1)阅读理解，审清题阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件
4、和数量关系，建数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答成实际问题作出解答.热点分类突破?热点一?热点二?热点三函数的零点函数的零点与参数的范围函数的实际应用问题热点一函数的零点例1(1)函数函数f(x)ln(x1)2的零点所在的区间的零点所在的区间是是()A.(，1)B.(1，e1)C.(e12 1,2)D.(2，e)x 思维启迪根根据据二二分分法法原原理，逐个判断；理，
5、逐个判断；解析因为因为f(1)ln2f(e1)1 340，f(1)ln 220，2 20，e 1 故零点在区间故零点在区间(e1,2)内内.答案C(2)(2014辽宁辽宁)已知已知f(x)为偶函数，当为偶函数，当x 0 时，时，f(x)?1?cos x，x 0，?2?1?2x 1，x?，?，?2 1则不等式则不等式 f(x 1)的解集的解集2思维启迪为为()图象，利用图象，利用1 24 7311 2数形结合思数形结合思A.，B.，4 33 4434 3想解决想解决.1 34 7311 3C.，D.，3 43 4433 4画出函数画出函数解析先画出先画出y轴右边的图象，如图所示轴右边的图象，如图
6、所示.f(x)是偶函数，是偶函数，图象关于图象关于y轴对称，轴对称，可画出可画出y轴左边的图象，再画直线轴左边的图象，再画直线y12.设与曲线交于点设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出，先分别求出A，B两两点的横坐标点的横坐标.令令cos x12，x 0，12，x3，x13.令令2x 11312，x4，xA3，x3B4.1根据对称性可知直线根据对称性可知直线y与曲线另外两个交点的横与曲线另外两个交点的横231坐标为坐标为xC，xD.4311f(x 1)，则在直线则在直线y上及其下方的图象满足，上及其下方的图象满足，221331x 1或或x 1，344347 12x或或x.34 43答案A函
7、数零点函数零点(即方程的根即方程的根)的确定问题，常见的有函数的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解解思决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在维升的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数华类型不同的方程多以数形结合求解类型不同的方程多以数形结合求解.变式训练1(1)已知函数已知函数f(x)(1)xcos x，则，则f(x)在在0,2上的上的零点个
8、数是零点个数是(CB.2C.3)4 A.1D.4x1解析f(x)在在0,2上的零点个数就是函数上的零点个数就是函数y()和和4ycos x的图象在的图象在0,2上的交点个数，上的交点个数，而函数而函数y(1)x和和ycos x的图象在的图象在0,2上的交点有上的交点有43个，故选个，故选C.(2)已知已知a是函数是函数f(x)2xlog1x的零点，若的零点，若0 x00C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定的符号不确定解析f(x)2xlog1 x在在(0，)上是增函数，上是增函数，又又a是函数是函数f(x)2xlog21 x的零点，即的零点，即f(a)0，当当0 x0a时，时，f(x0)0
9、.2热点二函数的零点与参数的范围例2对任意实数对任意实数a，b定义运算定义运算“?”：a?b21)?(4x)，若函数，若函数y设设f(x)(x?b，a b 1，?f(x)k的图象与的图象与x轴恰有三个不同交点，则轴恰有三个不同交点，则 k的取值的取值?a，a b1.范围是范围是()A.(2,1)C.2,0)B.0,1D.2,1)思维启迪先确定函数先确定函数f(x)的解析的解析式，再利用数形结合思想式，再利用数形结合思想求求k的范围的范围.解析2解不等式：解不等式：x1(4x)1，得：得：x2或或x3，?x 4，x?，2 3，?，所以，所以，f(x)?2?x 1，x?2，3?.函数函数yf(x)
10、k的图象与的图象与x轴恰有三个不同交点转轴恰有三个不同交点转 化为函数化为函数yf(x)的图象和直线的图象和直线yk恰有三个不恰有三个不同交点同交点.如图，所以如图，所以1k2，故，故2k1?f?1?11?，即，即?，a.2?f?1?1?a 3a 1 答案 a 12 热点三函数的实际应用问题例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染省环保研究所对市中心每天环境放射性污染a|情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数污染指数f(x)与时刻与时刻x(时时)的关系为的关系为f(x)|2a且且a02，若用每天，若用每天 f(x)的最大值为当天的综合
11、的最大值为当天的综合x，x0,24，其中，其中a是与气象有关的参数，是与气象有关的参数，2x 1 31放射性污染指数，并记作放射性污染指数，并记作 M(a).2(1)令令tx，x0,24，求，求t的取值范围；的取值范围；2x 1思维启迪分分x0和和x0两种情况，当两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解时变形使用基本不等式求解.解当当x0时，时，t0；xx11t2(0，12x 1xx1.即即t的取值范围是的取值范围是0，2当当0 x24时，时，x12(当当x1时取等号时取等号)，(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综
12、合放射性污染指数是否超标？试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪利用换元法把函数利用换元法把函数f(x)转化成转化成g(t)|ta|2a函数函数g(t)写成分段函数后求写成分段函数后求M(a).2，再把，再把 312解 当当a 0，时，记时，记g(t)|ta|2a，232?t3a，0ta，?3则则g(t)?21?ta，at.?32 1上单调递增，上单调递增，g(t)在在0，a上单调递减，在上单调递减，在(a，且且g(0)3a23，g(12)a76，g(0)g(112)2(a4).?g?1?，0a1故故M(a)?24，?g?0?，11 4a2.2?71?a，0a，?64即即M(a)
13、?2 11?3a，a.?3 42 17当当0a时，时，M(a)a2显然成立；显然成立；46?2?3a 2，?3由由?1?1a，?42 14得得a，49当且仅当当且仅当0a4时，时，9 故当故当 0a49时不超标，当时不超标，当M(a)2.49a12时超标时超标.(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解思答后再回到实际问题中去答后再回到实际问题中去.维升(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性
14、法、对函数模型求最值的常用方法：单调性法、华基本不等式法及导数法基本不等式法及导数法.变式训练3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产万元，每生产1千件需另投入千件需另投入2.7万元万元.设该公司一年设该公司一年内生产该品牌服装内生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的千件并全部销售完，每千件的销售收入为销售收入为R(x)万元，且万元，且R(x)?1?10.8 x2?010?.?x3x(1)写出年利润写出年利润W(万元万元)关于年产量关于年产量x(千件千件)的函数解析式；的函数解析式；解当当010时，时，WxR(x)(102.
15、7x)981 0002.7x.3xx?8.1 x 10?010?.?3x3(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入注：年利润年销售收入年总成本年总成本)解当当00；x0，102当当x(9,10)时，时，W10时，时，?1 000?2.7 x?98 2W 98?3x?1 0002.7 x 38，3x1 000100当且仅当当且仅当 2.7 x，即，即x时，时，W 38，93x100故当故当x时，时，W取最大值取最大值38.9综合知：当综合知：当x9时，时，W取最大值取最大值
16、38.6万元，万元，故当年产量为故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大所获年利润最大.本讲规律总结1.函数与方程函数与方程(1)函数函数f(x)有零点有零点?方程方程f(x)0有根有根?函数函数f(x)的的图象与图象与x轴有交点轴有交点.(2)函数函数f(x)的零点存在性定理的零点存在性定理如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a，b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的曲线，并且有曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数f(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使，使f(c)0.如
17、果函数如果函数f(x)在区间在区间 a，b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的曲线，并且函数曲线，并且函数f(x)在区间在区间 a，b上是一个单调函数，上是一个单调函数，那么当那么当f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数f(x)在区间在区间(a，b)内不一定没有零点内不一定没有零点.2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系，把握问题
18、的主线，要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.3.应用函数模型解决实际问题的一般程序应用函数模型解决实际问题的一般程序读题读题建模建模求解求解反馈反馈?文字语言文字语言?数学语言数学语言?数学应用数学应用?检验作答检验作答?与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函解答这类问题的关键是确切的建立
19、相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答知识加以综合解答.真题与押题?真题感悟?押题精练12真题感悟?1?3，x?1，0，1.(2014重庆重庆)已知函数已知函数 f(x)?x 1?x，x?0，1，?且且g(x)f(x)mx m在在(1,1 内有且仅有两个不同的零点，内有且仅有两个不同的零点，则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是()?9?11?11?A.?，2?0，?B.?，2?0，?2?2?4?4?9?11?22?C.?，2?0，?D.?，2?0，?3?3?4?4?12真题感悟解析作出函数作出函数f(x)的图
20、象如图所示，其中的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2).12真题感悟因为直线因为直线ymxmm(x1)恒过定点恒过定点C(1,0)，故当直线故当直线ym(x1)在在AC位置时，位置时，m1，2 可知当直线可知当直线ym(x1)在在x轴和轴和AC之间运动时两图象有之间运动时两图象有两个不同的交点两个不同的交点(直线直线ym(x1)可与可与AC重合但不能与重合但不能与x轴重合轴重合)，此时，此时0m12，g(x)有两个不同的零点有两个不同的零点.12真题感悟当直线当直线ym(x1)过点过点B时，时，m2；当当直直线线ym(x1)与与曲曲线线f(x)相相切切时时，?y1x 1 3，?得得mx
21、2(2m 3)xm 2 0，?ym?x 1?，由由(2m3)24m(m2)0，解得，解得m94，联联立立12真题感悟可知当可知当ym(x1)在切线和在切线和BC之间运动时两图象有两之间运动时两图象有两个不同的交点个不同的交点(直线直线ym(x1)可与可与BC重合但不能与切重合但不能与切线重合线重合)，9此时此时 0，的零点有的零点有_个个.解析当当f(x)0时，时，x1或或x1，故故ff(x)10时，时，f(x)11或或1.当当f(x)11，即，即f(x)2时时,解得解得x3或或x1；4 123押题精练当当f(x)11，即，即f(x)0时，解得时，解得x1或或x1.故函数故函数yff(x)1有四个不同的零点有四个不同的零点.答案4123押题精练2.函数函数f(x)xexa有两个零点，则实数有两个零点，则实数 a的取值范的取值范围是围是_.解析令令f(x)(x1)ex0，得，得x1，则当则当x(，1)时，时，f(x)0，f(x)在在(，1)上单调递减，在上单调递减，在(1，)上单上单调递增，调递增，123押题精练要使要使f(x)有两个零点，则极小值有两个零点，则极小值f(1)0，即即e1a1，ea(1，0).答案 又又x时，时，f(x)0，则，则a0，x x 故故y1828，x 25 当且仅当当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为时，年平均利润最大，最大值为.答案588万元万元
