1、力学量与算符力学量与算符算符及其运算规则算符及其运算规则量子力学中力学量的算符表达量子力学中力学量的算符表达常用力学量的算符常用力学量的算符相关基本定理相关基本定理算符及其运算规则算符及其运算规则量子力学中，为什么要引入算符？量子力学中，为什么要引入算符？微观粒子的二象性微观粒子的二象性 波动性波动性波函数波函数微观粒子的状态微观粒子的状态微观粒子的力学量不同于经典粒子的力学量，经典粒子在任何状态微观粒子的力学量不同于经典粒子的力学量，经典粒子在任何状态下力学量都有确定的值，微观粒子由于有波粒二象性，力学量有很下力学量都有确定的值，微观粒子由于有波粒二象性，力学量有很大的不同，因此采用算符来表
2、示及求解。大的不同，因此采用算符来表示及求解。线性算符线性算符FUV11111122()F ccc Fc F运算规律：运算规律：()()()ABABABA BABABAA 不存在交叉相，不存在交叉相，不违背态叠加原不违背态叠加原理理对易关系对易关系,0,0A BABBAA BA B下面是几个常见的对易关系满足的恒等式：下面是几个常见的对易关系满足的恒等式：,A BB AA BCA BA CA BCB A CA B CAB CA B CA C B 厄密算符厄密算符厄密共轭算符：厄密共轭算符：*()()*AdAdAAAdAd 任意两个波函数，积分范任意两个波函数，积分范围整个空间围整个空间两个厄密
3、算符之和两个厄密算符之和仍为厄密算符仍为厄密算符两个厄密算符之积两个厄密算符之积不一定是厄密算符不一定是厄密算符 （除非它们对易）（除非它们对易）例：例：指出下列算符哪个是厄米算符，说明理由指出下列算符哪个是厄米算符，说明理由22,4dddidxdxdx*dddxdxdxdx 解：*()()dddxdxdxdx*()ddxdxddx 不是厄米算符不是厄米算符 量子力学中力学量的算符表达量子力学中力学量的算符表达算符对量子态进行变化，变成另一量子态算符对量子态进行变化，变成另一量子态每个力学量对应一个算符，由算符得到力每个力学量对应一个算符，由算符得到力学量学量如何写出力学量算符？如何写出力学量
4、算符？基本假定基本假定3 3(,)(,)(,)F r pF r pF ri 这个值就是算符这个值就是算符F F的可测值，那一定是实数的可测值，那一定是实数Ff当体系处于算符当体系处于算符F F的本征态时，力学量的本征态时，力学量F F有有确定的值，这个值就是算符确定的值，这个值就是算符F F的本征值。的本征值。什么样的算符有这样的性质？什么样的算符有这样的性质？厄密算符厄密算符常用力学量的算符常用力学量的算符动量算符动量算符xyzpipixpipiyz xxxpxppp求解：求解：/12xxip xpe 本征函数本征函数xp角动量算符角动量算符xyzijkLrpxyzppp xzyyxzzyx
5、LypzpLzpxpLxpyp2222211(sin)sinsinL 22(1)lmlmLYl lYzlmlmLYm Y共同的本征态共同的本征态力学量的平均值力学量的平均值 微观体系不处在力学量算符的本征态上微观体系不处在力学量算符的本征态上nnnC*nnCd 221nnnCC粒子处于该本征态上的几率，力学量取粒子处于该本征态上的几率，力学量取fn的几率的几率*FdFdFd *1d 2nnnnnnCFCf相关基本定理相关基本定理厄密算符的本征值是实数厄密算符的本征值是实数厄密算符的属于不同本征值的本征函数正交厄密算符的属于不同本征值的本征函数正交0iiijjjijFFd ,xyzyzxzxyLLi LLLi LL Li L2,0,iL Lix y z若两个算符对易，则它们有共同的本征态若两个算符对易，则它们有共同的本征态 逆定理也成立逆定理也成立若若222,01()()4F GikkFGk222xxyxpmLL
