1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空间分析控制系统的状态空间分析概述概述(1/4)概概 述述q 建立了系统的数学描述之后建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。题。定性分析主要包括研究系统的结构性质定性分析主要包括研究系统的结构性质,如如 能控性、能控性、能观性、能观性、稳定性等。稳定性等。线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解
2、(1/4)2.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解q 本节需解决的主要问题本节需解决的主要问题状态转移矩阵状态转移矩阵?矩阵指数函数？矩阵指数函数？状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质齐次状态方程的求解齐次状态方程的求解?非齐次状态方程的求解非齐次状态方程的求解?非齐次状态方程解的各部分的意义？非齐次状态方程解的各部分的意义？输出方程的解？输出方程的解？线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解(3/4)q 在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线先讨论线性定常齐次状态方程的
3、解性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用的作用,满足方程解的齐次性。满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的作用下的自由自由(自治自治)运动运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用研究
4、非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的下的强迫运动强迫运动。线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解(1/2)2.1.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解q 什么是微分方程的齐次方程什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次方程就是指满足解的齐次性齐次性的方程，即若的方程，即若x是方程是方程的解，则对任意非零的实数的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程自治方程x=Ax 齐次状态方程满足初始状态齐次状态方程满足初始状态00()()ttttxx的解的
5、解,也就是由初始时刻也就是由初始时刻t0的初始状态的初始状态x(t0)所引起的无输入强所引起的无输入强迫项迫项(无外力无外力)时的时的自由运动自由运动。线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解(2/2)q 对上述齐次状态方程对上述齐次状态方程,常用的常常用的常微分方程求解方法有微分方程求解方法有 矩阵指数矩阵指数法法和和 拉氏变换法拉氏变换法 2种。种。0()eA ttq 状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态状态x(t0)从初始时刻从初始时刻t0到时刻到时刻t系统运动状态的转移系统运动状态的转移,其转移特其转移特性
6、和时刻性和时刻t的状态的状态完全由矩阵指数函数完全由矩阵指数函数 和初始状态和初始状态x(t0)所决定。所决定。0()0()e()A t tttxx拉氏变换法拉氏变换法(5/12)q 为讨论方便为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt 因此因此,有如下关系式有如下关系式x(t)=(t)x0 x(t)=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状系统状态转移矩阵有如下关系态转移矩阵有如下关系(t)=L-1(sI-A)-1
7、)(00e)(ttAt-t拉氏变换法拉氏变换法(6/12)q 齐次状态方程的解描述了线性定齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出由解的表达式可以看出,系统系统自由运动的轨线是由从初始自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到时刻的初始状态到t时刻的状时刻的状态的转移刻划的态的转移刻划的,如图所示。如图所示。0 t x x0 1 x(t)=(t)x0(t)0(x)(1tx)0(1 t)(2tx)(12tt t1x2x01t2t图 状态转移特性拉氏变换法拉氏变换法(7/12)当初始状态给定以后当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状系统的
8、状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。态转移矩阵所决定。所以所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1)2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统的状态转移矩阵q 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为主要内容为:基本定义基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质基本定义(1/4)状态转移
9、矩阵的定义状态转移矩阵的定义1.基本定义q 定义：对于线性定常连续系统对于线性定常连续系统x=Ax,当初始时刻当初始时刻t0=0时时,满满足如下矩阵微分方程和初始条件足如下矩阵微分方程和初始条件:(t)=A(t),(t)|t=0=I 的解的解(t)为线性定常连续系统为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质q 由矩阵指数函数的展开式和由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义状态转移矩阵的定义,可证明矩可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(t)为方阵为方阵A
10、的的状态转移矩阵状态转移矩阵)矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)6.(t)n=(nt)7(t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0)8eeA tAt矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/2)q 由状态转移矩阵的意义由状态转移矩阵的意义,有有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)而而x(t2)=(t2-t0)x(t0)因此，因此，性质性质(7)表明表明,在系统的状态转移过程中在系统的状态转移过程中,既可以将系统的既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移一步状态转移分
11、解成多步状态转移,也可以将系统的多步状也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移态转移等效为一步状态转移,如图所示。如图所示。图图 系统的状态转移系统的状态转移P51例2.52.1.3 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算课本P52例2.6课本P53例2.7课本P47例2.4基本定义(2/4)几类特殊形式的状态转移矩阵几类特殊形式的状态转移矩阵q 当系统矩阵当系统矩阵A为为nn维方阵时维方阵时,状态转移矩阵状态转移矩阵(t)亦为亦为nn维维方阵方阵,且其元素为时间且其元素为时间t的函数。的函数。下面讨论几种特殊形式的系统矩阵下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵的状态转移矩阵1)对角
12、线矩阵。对角线矩阵。当当A为如下对角线矩阵为如下对角线矩阵:A=diag 1 2 n则状态转移矩阵为则状态转移矩阵为式中，式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。表示由括号内元素组成对角线矩阵。tttAtnte.eediage)(21基本定义(3/4)几类特殊形式的状态转移矩阵几类特殊形式的状态转移矩阵(2)块对角矩阵。块对角矩阵。当当A为如下块对角矩阵为如下块对角矩阵:A=block-diagA1 A2 Al其中其中Ai为为mi mi维的分块矩阵维的分块矩阵,则状态转移矩阵为则状态转移矩阵为式中，式中，block-diag表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩表示由括号内各方块矩阵组成块对
13、角矩阵。阵。tAtAtAAtlte.eediag-blocke)(21基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵几类特殊形式的状态转移矩阵(3)约旦块矩阵。约旦块矩阵。当当Ai为特征值为为特征值为 i的的mi mi维约旦块维约旦块,则分块矩则分块矩阵的矩阵指数函数为阵的矩阵指数函数为10.001.00.)!2()!3(.10)!1()!2(.1ee2312tmtmtmtmttimimimimttAiiiiii基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵几类特殊形式的状态转移矩阵基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵几类特殊形式的状态转移矩阵状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型
14、的线性变换和约旦规范形(1(1/8)/8)补：补：状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形q 从上一节的讨论可知从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型同一个系统的状态空间模型,即使其维即使其维数相同数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的,如系统矩阵如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的。也可以为其他形式的。即即,状态空间模型不具有唯一性状态空间模型不具有唯一性。状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形(2/8)2/8)为何同一个系统具
15、有不同的状态空间模型为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因原因:状态变量的不同选择状态变量的不同选择 这就产生了一个问题这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何态空间模型之间的关系如何?状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8)3/8)q 此外此外,在控制系统的分析和设计中在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和如前面建立的对角线规范形的和约旦规范形。约旦规范
16、形。于是自然会提出如下问题于是自然会提出如下问题:如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问以降低系统的分析问题和设计问题的难度。题的难度。解决上述两个问题解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。就需引入状态空间的线性变换。什么是状态空间的线性变换什么是状态空间的线性变换?状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8)4/8)q 状态变量是一组实变量状态变量是一组实变量,它们所组成它们所组成的状态空间为一个实线性空间。的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知
17、识可知由线性代数知识可知,线性空间线性空间中中,随着表征空间坐标的随着表征空间坐标的基底的基底的选取的不同选取的不同,空间中的点关于各空间中的点关于各种基底的种基底的坐标亦不同坐标亦不同。这些基底之间的关系为进行了一这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换次坐标变换,而空间中的点的而空间中的点的 x x y y A(xa,ya)(xa,ya)坐标则相当于作了一次相似变换。坐标则相当于作了一次相似变换。如如,在如右图所示的平面直角坐标系中在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系下的坐标存在如下变化关系(其中其中P为非可逆的变换矩阵为非可逆的变换矩阵)a
18、aaayxPyx状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8)6/8)q 引入坐标变换和状态空间线性变换等概念引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了实际上就回答了上述两个问题上述两个问题:1.不同选取状态变量之间存在一个不同选取状态变量之间存在一个坐标变换坐标变换,其相应的状其相应的状态空间模型之间也存在一个相应的态空间模型之间也存在一个相应的相似变换相似变换。2.既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变
19、换成某种特殊的状态空间模型。某种特殊的状态空间模型。上述状态变量向量上述状态变量向量x与与 间的变换间的变换,称为状态的线性变换。称为状态的线性变换。由线性代数知识可知由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系它们之间必有如下变换关系1212.nnxxxxxxxx 状态空间的线性变换状态空间的线性变换(1/1)(1/1)1.状态空间的线性变换q 设描述同一个设描述同一个线性线性状态空间的两个状态空间的两个n维的状态变量向量分别维的状态变量向量分别为为其中其中P为为n n维的非奇异变换矩阵。维的非奇异变换矩阵。xxxx1PP 值得指出的是值得指出的是:x 变换矩阵变换矩阵P只有为非奇异的只有为
20、非奇异的,才能使才能使x和和 间的变换间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。关系是等价的、唯一的和可逆的。x q 两种表达式式之间存在什么关系两种表达式式之间存在什么关系?状态空间的线性变换状态空间的线性变换(1(1/14)/14)2.状态空间模型的线性变换q 设在状态变量设在状态变量x和和 下下,系统状态空间模型分别为系统状态空间模型分别为x(,):(,):ABA B C DCDABA B C DCDxxuyxuxxuyxuPPAPBxxxu 将变换关系将变换关系x=P 代入代入(A,B,C,D)的的状态方程中有状态方程中有x 状态空间的线性变换状态空间的线性变换(2/14)2/14)11P
21、 APP BCPDxxuyxu由于变换矩阵由于变换矩阵P非奇异非奇异,因此有因此有则有则有 应该注意的是应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换系统的初始条件也必须作相应的变换,即即 将上式与状态空间模型将上式与状态空间模型 比较比较,则线性系统则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系下的各矩阵具有如下对应关系(,)A B C D11AP APBP BCCPDD其中其中t0为系统运动的初始时刻。为系统运动的初始时刻。)(010tPtxx）系统系统特征值的不变性特征值的不变性(1/2)(1/2)系统特征值的不变性q 系统的特征值表征了系统本质的特
22、征。系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已而已,并未改变系统的本质。并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变改变,即有如下即有如下结论结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。系统系统特征值的不变性特征值的不变性(2/2)(2/2)q 对于这个结论对于这个结论,亦可证明如下亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换经线性变换111|
23、()|IAIPAPPIA PPIAPIA后后,系统矩阵为系统矩阵为xxPAPPA1可见可见,系统经线性变换后系统经线性变换后,其特征值不变。其特征值不变。矩阵矩阵 的特征多项式为的特征多项式为A即证明了即证明了A的特征多项式等于的的特征多项式等于的 特征多项式。特征多项式。A化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形(2(2/12)/12)已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为ABxxu其中系统矩阵其中系统矩阵uxxBA 若若A的的n个特征值个特征值 1,2,n所对应的特征向量线性独立所对应的特征向量线性独立,则必则必存在变换矩阵存在变换矩阵P,使其进行状态变换使其进行
24、状态变换x=P 后为对角线规范形后为对角线规范形,即系统的状态方程为即系统的状态方程为 x为对角线矩阵为对角线矩阵,并且变换矩阵并且变换矩阵P可取为可取为P=p1 p2 pn其中其中pi为矩阵为矩阵A对应于特征值对应于特征值 i的特征向量。的特征向量。112diag,.,nAP AP 课本P52例2.6化状态方程为约旦规范形化状态方程为约旦规范形(1/1)(1/1)若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时的重数时,则系统矩阵则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。不能变换成对角线矩阵。在此种情况下在此种情况下,A可变换成约旦矩阵可变
25、换成约旦矩阵,系统表达式可变换系统表达式可变换成约旦规范形。成约旦规范形。课本P53例2.7课本P47例2.4课本P55例2.8P56例2.9非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解(1/2)2.1.4 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解q 当线性定常连续系统具有输入作用时当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非其状态方程为如下非齐次状态方程齐次状态方程:x=Ax+Bu该状态方程在初始状态该状态方程在初始状态00()()ttttxx下的解下的解,也就是也就是由初始状态由初始状态x(t0)和输入作用和输入作用u(t)所引起的系统状态所引起的系统状态的运动轨迹。的运动轨迹。非齐次状态方程
26、的解非齐次状态方程的解(2/2)q 下面用两种求解常微分方程的方法下面用两种求解常微分方程的方法 直接求解法直接求解法 拉氏变换法拉氏变换法直接求解法直接求解法(1/3)1.直接求解法q 将状态方程将状态方程x=Ax+Bu移项移项,可得可得x-Ax=Bu将上式两边左乘以将上式两边左乘以e-At,则有则有e-Atx-Ax=e-AtBu即即d(e-Atx)/dt=e-AtBuq 在区间在区间t0,t内对上式积分内对上式积分,则有则有ttAttAB00d)(ed)(eddux直接求解法直接求解法(2/3)tttAttABtt00d)(e)(e)()(0)(uxx上式便是非齐次状态方程的解。上式便是非
27、齐次状态方程的解。q 当当t0=0时时,解解x(t)又可记为又可记为即即ttAAtAtBtt00d)(e)(e)(e0uxxttAAtBt0)(0d)(ee)(uxx因此因此直接求解法直接求解法(3/3)q 若用状态转移矩阵来表示若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可分上述非齐次状态方程的解又可分别记为别记为tttBttBttttt0000d)()()(d)()()()()(0uxuxx课本P58例2.10拉氏变换法拉氏变换法(1/2)2.拉氏变换法q 将该非齐次状态方程两边取拉氏变换将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)即即X(s)=(
28、sI-A)-1x0+BU(s)其中其中X(s)和和U(s)分别为分别为x(t)和和u(t)的拉氏变换。的拉氏变换。q 对上式两边取拉氏反变换对上式两边取拉氏反变换,则有则有)()()()(11011sBUAsILAsILtxx上述求解的关键为等式右边第二项。上述求解的关键为等式右边第二项。拉氏变换法拉氏变换法(2/2)结果与直接求解法完全相同。结果与直接求解法完全相同。q 对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有ttAAtBsBUAsILAsILt0)(11011d)(e)0(e)()-()-()(uxxx状态方程解的意义状态方程解的意义(1/2)3.状态方程解的意义状态方程解的意义q 由前
29、面讨论的非齐次状态方程的解知由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。由两个部分相加组成。第一个部分是第一个部分是由初始状态所引起的自由运动由初始状态所引起的自由运动,它是系统的它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响初始状态对系统状态的转移的影响,与初始时刻后的输入无关与初始时刻后的输入无关,称为状态的称为状态的零输入响应零输入响应。第二个部分是第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积。阵指数函数的卷积。因此因此,它与输入有关它与输入有关,与与系统
30、的初始状态无关系统的初始状态无关,称为状态的称为状态的零状态响应零状态响应。tttBttBttttt0000d)()()(d)()()()()(0uxuxx状态方程解的意义状态方程解的意义(2/2)状态方程的解表明状态方程的解表明,系统在任意时刻的状态取决于系统系统在任意时刻的状态取决于系统的初始状态的初始状态x(t0)和从初始时刻和从初始时刻t0以来的输入。以来的输入。如果人为地选择输入信号如果人为地选择输入信号(施以控制施以控制),就可以使系统就可以使系统状态在状态空间中获得所期望的状态轨线。状态在状态空间中获得所期望的状态轨线。输出方程的解输出方程的解(1/8)(d)(Ce)(e)(00
31、)(0)(tDBtCttttAttAuuxy)(d)(Cee)(0)(0tDBCtttAAtuuxy)(d)()-()()-()(000tDBtCtttCtttuuxy或或4.输出方程的解输出方程的解q 由非齐次状态方程的解由非齐次状态方程的解x(t),可得输出方程可得输出方程y=Cx+Du的输出响应为的输出响应为输出方程的解输出方程的解(2/8)(d)()-()()(00tDBtCtCttuuxy或q 线性定常连续系统输出的解由线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。个部分相加组成。第一个部分是由初始状态所引起的自由运动第一个部分是由初始状态所引起的自由运动 第二个部分是由输入所引起的系
32、统强迫运动。第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。第三个部分是由直联项引起的前馈响应。第三个部分是由直联项引起的前馈响应。输出方程的解输出方程的解(3/8)-例例3-3q 例 已知线性定常系统为已知线性定常系统为211032100 xuxxttttttttt2222e2ee2e2eeee2)(试求系统在单位阶跃输入作用下试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程的解。状态方程的解。q 解 可求出状态转移矩阵可求出状态转移矩阵(t)为为于是于是,系统状态方程在阶跃输入系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为下的解为输出方程的解输出方程的解(4/8)例例3-3tttttttttttttttttttttttttttttttBttt220)(2)(2)(220)(2)()(2)()(2)()(2)(222200e5e3e2/5e32/1de2eeee6e4e3e4d10e2e-e2e2-e-ee-e221e2e-e2e2-e-ee-e2d)()-()()()(2uxx系统的脉冲响应系统的脉冲响应(1/2)2.1.5 系统的响应系统的响应001d)(000)(ttttt
