1、第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系1 锐角三角函数（第1课时）u1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.u2.了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算.学习目标学习目标重点难点重点难点u重点：理解正切的概念重点：理解正切的概念.u难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.生活中的梯子生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导情境导入入 你会比较两个梯子哪个你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些
2、办法？更陡吗？你有哪些办法？实例实例1:1:如图，如图，梯子梯子AB和和EF哪个更陡？你哪个更陡？你是怎样判断的是怎样判断的？你有几种判断方法？你有几种判断方法？图图图图 实例实例2:2:如如图，图，梯子梯子AB和和EF哪个更陡？哪个更陡？你是怎样判断的？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡的比相同时，梯子就一样陡.比值大的梯子比值大的梯子陡陡.你能设法验证这个结论吗？你能设法验证这个结论吗？图图图图如图，小明想通过如图，小明想通过测量测量AC1及及B1C1，算出他们算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通的比，来说明梯子的倾
3、斜程度；而小亮则认为，通过过测量测量AC2及及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子算出他们的比，也能说明梯子的倾斜的倾斜程度程度.你你同意小亮的看法吗？同意小亮的看法吗？A C2 C1 B2 B1 1知识点知识点正切正切知识点知识点1 1感悟新知感悟新知 C2(1)直直角角三角形三角形A B1C1和直角和直角三角形三角形A B2C2有有什么关系什么关系?(2)和和 有什么关系有什么关系?111ACCB(3)如果如果改变改变B2在在梯子上的位梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?由感性到理性222ACCB C2 C1 A B2 B1 知识点知识点1 1(1)Rt A B1
4、C1和和Rt A B2C2有有什么关系什么关系?相似(2)?222111有什么关系和ACCBACCB A C2 C1 B2 B1 知识点知识点1 1.222111ACCBACCBA=A，AC1B1=AC2B2，RtAC1B1RtAC2B2.A C2 C1 B2 B1 知识点知识点1 1 在直角三角形中，若一个在直角三角形中，若一个锐角确定锐角确定,那么这个角对边与那么这个角对边与邻边的比值也是确定的邻边的比值也是确定的.归归 纳纳知识点知识点1 1 AB CA的的对边对边A的的邻边邻边A的的对边对边A的的邻边邻边tan AA的正切的正切在在RtABC中中,如果锐角如果锐角A确定确定,那么那么A
5、的对边与邻边的比随之的对边与邻边的比随之确定确定,这个比这个比叫作叫作 A的正切的正切.记作记作:tan A.读？读？思考思考 梯子的倾斜程度与梯子的倾斜程度与tan A有关系吗有关系吗？知识点知识点1 1（1）tan A是在直角三角形中定义的，是在直角三角形中定义的，A是一个锐角（注意构造直角三角形）是一个锐角（注意构造直角三角形）.（2）tan A是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号的正切，记号里习惯省去角的符号“”.注意：注意：知识点知识点1 1（3）tan A是是一个比值（直角边之比，注一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；意比的顺序）；且且
6、tan A 0，无单位，无单位.（4）tan A的的大小只与大小只与A的大小有关，而的大小有关，而与直角三角形的大小无关与直角三角形的大小无关.知识点知识点1 1议一议：议一议：梯子的倾斜程度梯子的倾斜程度与与tan B有有什么关系？什么关系？tan B的的值越大，梯子越陡，值越大，梯子越陡，B越越大大.?怎样解答 A BC 知识点知识点1 1归归 纳纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更斜角较大的物体，就说它放得更“陡陡”(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程利用物体与地面夹角的正切值来判断物
7、体的倾斜程 度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放 置得越置得越“陡陡”知识点知识点1 1例例 如如图表示两个自动扶梯，图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？哪一个自动扶梯比较陡？乙乙 甲甲 13 m5 m 6 m 8 m 知识点知识点1 1解：解：甲梯中，tan=.乙梯中，tan .因为tan tan，所以乙梯更陡.125513522的邻边的对边4386的邻边的对边知识点知识点1 1例例2 在在ABC中，中，C=90，BC=12 cm，AB=20 cm，求，求tan A和和tan B的值的值.2012?怎样解答ABC知识点知识点1 1ta
8、n A=tan B=.解：解：在在ABC中，中，C90，所以所以AC=16(cm),22221220 BCAB知识点知识点1 1解题小结解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解求解知识点知识点1 1例例3（桂林中考桂林中考）如下图，在）如下图，在RtABC中，中，ACB90，AC8，BC6，
9、CDAB，垂足为，垂足为D，则，则tanBCD_根据题意得根据题意得BCDCAB，所以所以tan BCDtan CAB解析：解析：63.84BCAC=34答案：答案：知识点知识点1 1解题小结解题小结 直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量可以利用相似，得到相等的比作为中间量知识点知识点1 12知识点知识点坡度和坡角坡度和坡角探究探究如图是某一大坝的如图是某一大坝的横断面横断面.坡面坡面AB的垂直高度与水平的垂直高度与水平
10、宽度宽度AE的长度之的长度之比与比与有什有什么关系？么关系？ACBDE坡面坡面AB与水平面的夹角与水平面的夹角叫作坡叫作坡角角.知识知识点点2 2正切正切通常也用来描述山坡的通常也用来描述山坡的坡度坡度.坡度坡度：铅直高度与水平宽度的：铅直高度与水平宽度的比比，记作，记作 i，也称为坡也称为坡比比.EFABCD50 m60 mtan A=5/6知识知识点点2 2例例4 以下对坡度的描述正确的是以下对坡度的描述正确的是()A坡度是指倾斜角的度数坡度是指倾斜角的度数 B坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比 C坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比坡度是指斜坡的水平
11、宽度与铅直高度的比 D坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比错解分析：错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测 坡度即为倾斜角的度数坡度即为倾斜角的度数B知识知识点点2 2特别特别提醒：提醒：坡度坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二，二要明确要明确坡度其实就是坡角的正切坡度其实就是坡角的正切解：解：由勾股定理可知，由勾股定理可知，AC 192.289(m)，tan BAC 0.286.所以，山的坡度大约是所以，山的坡度大约是0.286.例例5 如如图，某人从山脚下的点图，某人从山
12、脚下的点A走了走了 200 m后到达山顶的点后到达山顶的点B，已知点已知点B到山脚的到山脚的 垂直距离为垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到，求山的坡度（结果精确到0.001).22ABBC BCACB2220055 55192.289知识知识点点2 21 1.判断判断对错对错:(1 1)如图如图1 1，tan A=.（）(2(2)如图如图1 1，tan B=.（）图图1 1错错错错?怎样解答ACBCBCACABC随堂练习随堂练习()如如图图2 2，tan B=.（）图图2 2()如图如图2 2，tan A=0.7 m.（）错错对对?怎样解答710ABC10 m7 m2.在在RtABC中
13、，锐角中，锐角A的对边和邻边的对边和邻边同时扩大同时扩大100倍，倍，tan A的值的值（）A.扩大扩大100倍倍 B.缩小缩小100倍倍 C.不变不变 D.不能不能确定确定C C3.如图，如图，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出你能根据图中所给数据求出tan C吗？吗？tan C=43B AC D 4 1.54.在等腰在等腰ABC中，中，AB=AC=13，BC=10，求，求tan B.tan B=12/5131310D D512 B ACD5.如如图，图，C=90，CDAB，则，则 tan B=.CDBDACBCADCD AB C D（1）正切的定义：正切的定义：A的对边的对边与邻边的比与邻边的比叫叫作作A的正切的正切，记，记作作tan A，即，即tan A.abABCA的对边的对边a斜边斜边cA的邻边的邻边b（2）正切）正切与与坡度（角）的坡度（角）的关系：关系：坡度就是坡角的正切坡度就是坡角的正切课堂小结课堂小结（3）数形结合的方法；构造直角三角形的意识）数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
