1、6 圆和圆的位置关系 1.1.理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系.(.(重点重点)2.2.相切两圆的性质相切两圆的性质.(.(重点、难点重点、难点)1.1.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系位置位置相离相离相切相切相交相交外离外离内含内含外切外切内切内切图例图例位置位置相离相离相切相切相交相交外离外离内含内含外切外切内切内切公共点公共点个数个数_d d与与R R和和r r的关系的关系d_R+rd_R+r0dR0dr)-r(Rr)d_Rd_R+r+rd_R-rd_R-r(Rr)(Rr)_ddr)(Rr)0 00 01 11 12 2=R-rR-rR+rR+r2
2、.2.相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过_._.3.3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线相交两圆的性质：相交两圆的连心线_两圆的公共两圆的公共弦弦.切点切点垂直平分垂直平分 (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)两个同心圆的位置关系是内含两个同心圆的位置关系是内含.().()(2)(2)两圆相切时，组成的图形是轴对称图形，对称轴是两个圆两圆相切时，组成的图形是轴对称图形，对称轴是两个圆心的连线心的连线.().()(3)(3)若两圆相切，若两圆相切，O O1 1的半径为的半径为3 3，圆心距，圆心距O O1 1O O2 25,5,则则O O2 2的半的半径
3、为径为2.()2.()(4)(4)已知已知O O1 1，O O2 2的半径是的半径是r r1 12 2，r r2 24 4，圆心距，圆心距d d5 5，则，则这两圆的位置关系是相交这两圆的位置关系是相交.().()(5)(5)相交两圆是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线相交两圆是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线.().()知识点知识点 1 1 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系【例例1 1】(2013(2013巴中中考巴中中考)若若O O1 1和和O O2 2的圆心距为的圆心距为4 4，两圆半，两圆半径分别为径分别为r r1 1,r,r2 2，且，且r r1 1,r,r2 2是方程组是方程组的解，
4、求的解，求r r1 1,r,r2 2的值，并判断两圆的位置关系的值，并判断两圆的位置关系.【思路点拨思路点拨】首先由首先由r r1 1,r,r2 2是方程组是方程组 的解，解此方程的解，解此方程组；又由组；又由O O1 1和和O O2 2的圆心距为的圆心距为4 4，根据两圆位置关系与圆心距，根据两圆位置关系与圆心距d,d,两圆半径两圆半径r r1 1，r r2 2的数量关系间的联系得出两圆位置关系的数量关系间的联系得出两圆位置关系.1212r2r6,3r5r71212r2r6,3r5r7【自主解答自主解答】得得由题意得由题意得O O1 1O O2 2=4.=4.4-1O4-1O1 1O O2
5、24+1,4+1,两圆相交两圆相交.1212r2r6,3r5r7,12r4,r1,【总结提升总结提升】圆和圆的位置关系的判定方法及注意事项圆和圆的位置关系的判定方法及注意事项1.1.两种判定两种判定(1)(1)公共点：根据公共点的个数进行判断，分三种情况，交点公共点：根据公共点的个数进行判断，分三种情况，交点个数为个数为0 0，1 1，2.2.(2)(2)数量关系：根据两圆的半径数量关系：根据两圆的半径R R和和r r，圆心距，圆心距d d之间的数量关系之间的数量关系进行判断进行判断.2.2.四点注意四点注意(1)(1)两圆的五种位置关系根据公共点个数可分为三大类，即相两圆的五种位置关系根据公
6、共点个数可分为三大类，即相离、相切、相交离、相切、相交.(2)(2)两圆相切包含两种情况，即两圆外切和内切两圆相切包含两种情况，即两圆外切和内切.(3)(3)两圆相离也包含两种情况，即两圆外离和内含两圆相离也包含两种情况，即两圆外离和内含.(4)(4)同心圆是两圆内含的特殊情况同心圆是两圆内含的特殊情况.知识点知识点 2 2 圆和圆的位置关系的性质应用圆和圆的位置关系的性质应用【例例2 2】已知已知O O1 1与与O O2 2相交于相交于A,BA,B两点两点,点点O O1 1在在O O2 2上上,C,C为为O O2 2上上一点一点(不与不与A,B,OA,B,O1 1重合重合),),直线直线CB
7、CB与与O O1 1交于另一点交于另一点D.D.(1)(1)如图如图1,1,若若ACAC是是O O2 2的直径的直径,求证：求证：ACACCD.CD.(2)(2)如图如图2,2,若若C C是是O O1 1外一点外一点,求证：求证：O O1 1CAD.CAD.【解题探究解题探究】(1)(1)ACAC是是O O2 2的直径，根据直径所对的圆周角的直径，根据直径所对的圆周角等于等于_，所以可作的辅助线为连接，所以可作的辅助线为连接ABAB，COCO1 1.由此可知由此可知AOAO1 1C C=_=_.=_=_.所以所以ADAD是是O O1 1的直径的直径.9090ABDABD9090由可知，由可知，
8、COCO1 1ADAD，AOAO1 1=DO=DO1 1，如何证明，如何证明AC=CD?AC=CD?提示：提示：COCO1 1AD,AOAD,AO1 1C=DOC=DO1 1C=90C=90,又又AOAO1 1=DO=DO1 1 ，COCO1 1=CO=CO1 1 ，AOAO1 1CCDODO1 1C C，AC=DC.AC=DC.(2)(2)连接连接ABAB，O O1 1B,OB,O1 1O O2 2,O,O1 1O O2 2交交ABAB于点于点G.G.根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦,可得可得O O1 1 O O2 2AB,AB,即即AGOAG
9、O1 1=_,=_,_+_+BAOBAO1 1=90=90,根据同弧所对的圆周角相等可得根据同弧所对的圆周角相等可得O O1 1ABAB=_,=_,9090AOAO1 1O O2 2CC又因为又因为AOAO1 1=BO=BO1 1,根据等腰三角形根据等腰三角形“三线合一三线合一”的性质可得的性质可得根据在同圆或等圆中根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半的一半,可得可得C+D=90C+D=90,O,O1 1CAD.CAD.121AO O_.21AO B121D_AO O,2 1AO B【互动探究互动探究】如图如图,若若C C是是O O1
10、1内的一点内的一点,(1),(1)和和(2)(2)中的结论是中的结论是否成立否成立?提示：提示：成立成立.【总结提升总结提升】两圆相交及相切中辅助线的作法两圆相交及相切中辅助线的作法1.1.相切两圆的问题相切两圆的问题,一般作辅助线连心线一般作辅助线连心线,结合直线与圆相切的结合直线与圆相切的性质构造直角三角形性质构造直角三角形,应用勾股定理构建方程求解应用勾股定理构建方程求解.2.2.两圆相交两圆相交,公共弦是架起两圆的公共弦是架起两圆的“桥梁桥梁”.常作出连心线、公常作出连心线、公共弦或连接交点与圆心共弦或连接交点与圆心,从而把半径、公共弦长的一半、圆心从而把半径、公共弦长的一半、圆心距集
11、中到一个直角三角形中距集中到一个直角三角形中,可用直角三角形的知识来解决可用直角三角形的知识来解决.题组一：题组一：圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系1.1.奥运会旗图案由五个圆环组成，如图是一幅五环图案，在这奥运会旗图案由五个圆环组成，如图是一幅五环图案，在这五个圆中，不存在的位置关系是五个圆中，不存在的位置关系是()()A.A.外离外离 B.B.内切内切 C.C.外切外切 D.D.相交相交【解析解析】选选B.B.观察图形可知两圆存在的关系有：外切、相交、观察图形可知两圆存在的关系有：外切、相交、外离外离 2 2(2013(2013南京中考南京中考)如图，圆如图，圆O O1 1，圆，圆O O2
12、 2的圆心的圆心O O1 1，O O2 2在直线在直线l上，上，圆圆O O1 1 的半径为的半径为2 cm2 cm，圆，圆O O2 2的半径为的半径为3 cm3 cm，O O1 1O O2 2=8 cm.=8 cm.圆圆O O1 1以以1 1 cm/scm/s的速度沿直线的速度沿直线l向右运动，向右运动，7 s7 s后停止运动，在此过程中，后停止运动，在此过程中，圆圆O O1 1与圆与圆O O2 2没有出现的位置关系是没有出现的位置关系是()()A.A.外切外切 B.B.相交相交 C.C.内切内切 D.D.内含内含【解析解析】选选D.D.因为当因为当O O1 1以以1 cm/s1 cm/s的速
13、度沿直线向右运动的速度沿直线向右运动7 s7 s后停止，这时后停止，这时O O1 1，O O2 2圆心距最小是圆心距最小是8-7=1(cm)8-7=1(cm)，O O2 2的半径的半径-O-O1 1的半径的半径=3-2=1(cm)=3-2=1(cm)，圆心距等于两圆半径的差，这时两，圆心距等于两圆半径的差，这时两圆的位置关系是内切，两圆的圆心距不可能小于圆的位置关系是内切，两圆的圆心距不可能小于1 cm1 cm，即没有，即没有出现内含的情况出现内含的情况.3.3.已知两圆半径已知两圆半径r r1 1，r r2 2分别是方程分别是方程x x2 2-7x+10=0-7x+10=0的两根，两圆的的两
14、根，两圆的圆心距为圆心距为7 7，则两圆的位置关系是，则两圆的位置关系是_._.【解析解析】xx2 2-7x+10=0-7x+10=0，(x-2)(x-5)=0(x-2)(x-5)=0，x x1 1=2=2，x x2 2=5=5，即两圆半径分别是，即两圆半径分别是2 2，5 5，又又2+5=72+5=7，两圆的圆心距为，两圆的圆心距为7 7，两圆的位置关系是外切两圆的位置关系是外切.答案：答案：外切外切 4.(20134.(2013毕节中考毕节中考)已知已知O O1 1与与O O2 2的半径分别是的半径分别是a,ba,b，且，且a a，b b满足满足 圆心距圆心距O O1 1O O2 2=5,
15、=5,则两圆的位置关系是则两圆的位置关系是_._.【解析解析】由由 得得a=2,b=3.a=2,b=3.OO1 1和和O O2 2的半径分别为的半径分别为2 2和和3 3，圆心距，圆心距O O1 1O O2 2=5=5，O O1 1O O2 2=2+3=5=2+3=5，两圆外切两圆外切答案：答案：外切外切a23b0，a23b0，5.5.在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，O O的圆心在原点，半径为的圆心在原点，半径为3 3，A A的的圆心圆心A A的坐标为的坐标为 半径为半径为1 1，试判断，试判断O O与与A A的位置关系的位置关系.【解析解析】如图所示如图所示,连接连接OA,OA,过过
16、A A点作点作ABxABx轴轴,垂足为垂足为B,B,AA的坐标为的坐标为 半径为半径为1,AB=1,1,AB=1,在在RtRtABOABO中中,OA,OA2 2=OB=OB2 2+AB+AB2 2=4,=4,OA=2=3-1,OOA=2=3-1,O与与A A的位置关系是内切的位置关系是内切.31，(3,1),题组二：题组二：圆和圆的位置关系的性质应用圆和圆的位置关系的性质应用1.1.半径为半径为1,2,31,2,3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状是的三角形的形状是()()A.A.钝角三角形钝角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形C.
17、C.等边三角形等边三角形 D.D.直角三角形直角三角形【解析解析】选选D.D.半径分别为半径分别为1 1，2 2，3 3的三个圆两两外切，则有的三个圆两两外切，则有(1+2)(1+2)2 2+(1+3)+(1+3)2 2=(2+3)=(2+3)2 2，由勾股定理的逆定理知，以三个圆的，由勾股定理的逆定理知，以三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为直角三角形圆心为顶点的三角形的形状为直角三角形.2.2.已知两个等圆已知两个等圆O O1 1和和O O2 2相交于相交于A,BA,B两点，且两点，且O O1 1经过点经过点O O2 2，则四边形则四边形O O1 1AOAO2 2B B是是()()A.A.平
18、行四边形平行四边形 B.B.菱形菱形C.C.矩形矩形 D.D.正方形正方形【解析解析】选选B.B.如图，如图，两个等圆两个等圆O O1 1和和O O2 2相交于相交于A A，B B两点，两点，且且O O1 1经过点经过点O O2 2，O O1 1也在也在O O2 2上，上，O O1 1A=OA=O2 2A=OA=O2 2B=OB=O1 1B B，四边形四边形O O1 1AOAO2 2B B是菱形是菱形3.3.如图，分别以如图，分别以A,BA,B为圆心，线段为圆心，线段ABAB的的长为半径的两个圆相交于长为半径的两个圆相交于C,DC,D两点，两点，则则CADCAD的度数为的度数为_._.【解析解
19、析】连接连接BC,BDBC,BD，由题意得，由题意得ABCABC和和ABDABD都是等边三角形，都是等边三角形，所以所以CAD=CAB+BAD=120CAD=CAB+BAD=120.答案：答案：120120 4.(20124.(2012潜江中考潜江中考)平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，M M的圆心坐标为的圆心坐标为(0(0，2)2)，半径为，半径为1 1，点，点N N在在x x轴的正半轴上，如果以点轴的正半轴上，如果以点N N为圆心，半径为圆心，半径为为4 4的的N N与与M M相切，则圆心相切，则圆心N N的坐标为的坐标为_._.【解析解析】MM与与N N外切，外切，MN=4+1=5MN
20、=4+1=5，圆心圆心N N的坐标为的坐标为 M M与与N N内切，内切，MN=4-1=3MN=4-1=3，圆心圆心N N的坐标为的坐标为答案：答案：22ONMNOM21，210，；22MNOM5，5 0.，(210)(5 0)，或，5.5.在在ABCABC中，中，AB=5 cmAB=5 cm，BC=8 cmBC=8 cm，AC=7 cmAC=7 cm，分别以，分别以A,B,CA,B,C为为圆心，画三个圆，使它们两两外切，求圆心，画三个圆，使它们两两外切，求A A，B B，C C的半径的半径各是多少？各是多少？【解析解析】设设A A，B B，C C的半径分别为的半径分别为x cm,y cm,z
21、 cmx cm,y cm,z cm，由，由题意得：题意得：2(x+y+z)=20,x+y+z=10,2(x+y+z)=20,x+y+z=10,同时同时x+y=5x+y=5，x+z=7x+z=7，y+z=8y+z=8，x=2x=2，y=3,z=5.y=3,z=5.即即A,B,CA,B,C的半径分别为的半径分别为2 cm,3 cm,5 cm.2 cm,3 cm,5 cm.【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知O O1 1的半径为的半径为1515，O O2 2的半径为的半径为1313，O O1 1,O O2 2交于交于A A，B B两点，且两点，且AB=24,AB=24,求两圆的圆心距求两圆的圆心距O O1 1O O2 2.
