1、向量空间与线性变换向量空间与线性变换在数学大厦中的重要地位在数学大厦中的重要地位主主 讲讲 侯维民侯维民教授教授 向量空间与线性变换在数学大厦中的重要向量空间与线性变换在数学大厦中的重要地位主要体现在以下三方面：地位主要体现在以下三方面：一、在大学数学课程体系中的核心地位二、对诸多数学知识的领导作用三、对现代数学思想方法的奠基作用一一.在大学数学课程体系中的核心地位在大学数学课程体系中的核心地位1 高等代数是数学类高等代数是数学类各各专业的骨干基础课专业的骨干基础课2 线性代数是高等代数的主要内容线性代数是高等代数的主要内容3 向量空间、线性变换在线性代数中的核心向量空间、线性变换在线性代数中
2、的核心地位地位 高等代数是数学类高等代数是数学类各各专业的骨专业的骨干基础课干基础课线性代数是高等代数的主要内容线性代数是高等代数的主要内容三部分内容简介三部分内容重要性比较多项式论多项式论群环域简介群环域简介线性代数线性代数高等代数高等代数向量空间、线性变换向量空间、线性变换在线性代数中的核心地位在线性代数中的核心地位二二 对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用（一）向量空间对诸多数学知识的领导作（一）向量空间对诸多数学知识的领导作用用对中学数学对中学数学设C表示复数域，则(C,+,)作成C上的向量空间设R表示实数域，则(R,+,)作成R上的向量空间设Q表示有理数域，则(Q,+,)
3、作成Q上的向量空间二、对诸多数学知识的领导作用二、对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用（一）向量空间对诸多数学知识的领导作用对解析几何对解析几何设v1=a|a是直线上的向量,则(v1,+,数乘)作成R上的向量空间设v2=a|a是平面上的向量,则(v2,+,数乘)作成R上的向量空间设v3=a|a是几何空间的向量,则(v3,+,数乘)作成R上的向量空间2RRa,b|a,bR,2设（）则（R,+,数乘）作成 上的向量空间3RRa,b,|a,b,cR,3设（c）则（R,+,数乘）作成 上的向量空间对数学分析对数学分析()(),(,+,)RxxRf x f xR(1)设是实函
4、数 则数乘 作成 上的向量空间nnD,()|()a,bn(D,)a bf xf xa bR(3)令是闭区间上 次可导函数的全体，则数乘作成 上的向量空间 nlim0(,)nnxNxNR的实数列(4)令=，则数乘 作成 上的向量空间二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （一）（一）向量空间对诸多数学知识的领导作用向量空间对诸多数学知识的领导作用C a,b()()a(,)f x f xC a bR(2)令是闭区间,b 上连续的实函数，则数乘作成 上的向量空间212121(5)H(,.,.)|,.,.,(,nnnnx xxx xxRxH令则数乘)作成R上的向量空间二、二、对诸多数
5、学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用（一）向量空间对诸多数学知识的领导作用对高等代数对高等代数(1)(1)令令F F是一个数域，则是一个数域，则(F,+,(F,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(2)Fx=f(x)|f(x)(2)Fx=f(x)|f(x)是是F F上的多项式上的多项式,则则(Fx,+,(Fx,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(3)(3)令令FxFx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上多元多项式的集合，则上多元多项式的集合，则 （FxFx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n
6、,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(4)(4)令令F Fm mxx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上上m m次齐次多项式的集合，则次齐次多项式的集合，则(F(Fm mxx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n,+,+,数乘数乘)作作成成F F上的向量空间上的向量空间(5)(5)令令F F对对xx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n 是是F F上对称多项式的集合，则上对称多项式的集合，则 (F(F对对xx1 1,x,x2 2,.,x,.,xn n,+,+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间（6 6）令）令M Mm mn n(F
7、)=A|A(F)=A|A是是F F上的上的m mn n矩阵矩阵，则，则(M(Mm mn n(F),+,(F),+,数乘数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间(7)(7)令令M M是是F F上上n n阶对称（反对称）矩阵的集合，则阶对称（反对称）矩阵的集合，则(M(M，+，数乘，数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间（8 8）令）令M M是是F F上上n n阶上（下）三角形矩阵的集合，则阶上（下）三角形矩阵的集合，则(M(M，+，数乘，数乘)作成作成F F上的向量空间上的向量空间（9 9）设）设V V是是F F上的向量空间，则上的向量空间，则L(V)L(V)作成作成F F上的向量空间
8、上的向量空间二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用（二）线性变换对诸多数学知识的领导作用对中学数学 正比例函数正比例函数 y=kx二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用（二）线性变换对诸多数学知识的领导作用对解析几何222,kVV（）中令（)=(位似变换）221,VV （）中令（)是将 旋转 角(旋转变换）H3Prj(33（）V中，V，令（）投影变换）4(H 33（）V中，V，令（），是 关于 的镜面反射反射变换）二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （二）线
9、性变换对诸多数学知识的领导作用（二）线性变换对诸多数学知识的领导作用对数学分析()f x(1)Da,b中，Da,b,令（f(x)=f(x)()f xxa(2)Ca,b中，Ca,b,令（f(x)=f(t)dt如不计较常数的差异，也可看成Ca,b的线性变换()f x注注 意意()(f xba(2)Ca,b,令f(x)=f(x)dx()(f x(1)Ca,b,令f(x)=f(x)dx则 是Ca,b上的线性函数，而不是线性变换()f x二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用（二）线性变换对诸多数学知识的领导作用对高等代数(1)()PQ(),nn
10、MFAMF中 取 定、，令()()()()(AAAP A QAPA PAP A P-1(转 置 变 换）(等 价 变 换）相 似 变 换）（合 同 变 换）二、二、对诸多数学知识的领导作用对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用（二）线性变换对诸多数学知识的领导作用对高等代数(2).(),()0nnA nFAFKerA 设 是 阶方阵,令则 是 的线性变换，是的解空间3n)nn(1)(1)（）设A是 阶方阵,D.令()=A,则 是D 的线性变换，而ker(是一阶齐次线性微分方程组的解空间4nnAnFYAXF（）设 是 阶矩阵，中的变量替换是的线性变换三三.对现代数学思想
11、方法的奠基作用对现代数学思想方法的奠基作用 现代数学思想方法：形式公理化方法、结构化方法、矩阵表示方法 .三三.对现代数学思想方法的奠基作用对现代数学思想方法的奠基作用 （一）形式公理化方法（一）形式公理化方法抽象代数：群、环、域、模、格拓扑学：拓扑、同胚泛函分析：距离、线性赋范空间概率论：概率 三三.对现代数学思想方法的奠基作用对现代数学思想方法的奠基作用 （二）结构化方法（二）结构化方法 数学结构代数结构拓扑结构序结构向量空间的结构向量空间的结构线性变换的结构线性变换的结构三三.对现代数学思想方法的奠基作用对现代数学思想方法的奠基作用 （三）矩阵表示方法（三）矩阵表示方法取定一个基后，向量、向量组、线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数.基变换公式、坐标变换公式、向量组之间的线性关系、线性变换的计算公式、矩阵之间的相似关系11,:A BaaAABA设，在给定基下的矩阵分别为则+:A+B
