1、电路基础 第八讲周 赣（3）相量和正弦函数的联系。）相量和正弦函数的联系。（1）相量是向量吗？）相量是向量吗？让我们准备一下：让我们准备一下：（2）相量是常数吗？）相量是常数吗？i i(t t)2 2I Ic co os s(t t)I II I u(t)2Ucos(tu(t)2Ucos(t)UU)UU 注意：一般情况，注意：一般情况，不同频率不同频率的相量的相量不能画在一张相量图不能画在一张相量图上。上。q q U I 一个重要的辅助分析工具：相量图一个重要的辅助分析工具：相量图相量是一个相量是一个复数复数，故可以和复数一样在复平面上用，故可以和复数一样在复平面上用有向线段有向线段表示。表示
2、。正弦量正弦量(以电流为例以电流为例)对应的复对应的复指数函数（相量）的指数函数（相量）的几何意义几何意义知，正弦电流知，正弦电流i等于对应的等于对应的旋转旋转相量相量在在实轴上实轴上的的投影（因为取实部的操作）投影（因为取实部的操作）。j j(t t )i i(t t)R Re e2 2I Ie e 由由是模为初始旋转角度的相量为j(tj(t)j)jj tj tj tj t2Ie2Iee2 I e2I,2Ie2Iee2 I e2I,.中的中的ej t 是一个是一个旋转因子旋转因子，当，当t从从0T变化时，变化时，旋转因子旋转因子旋转一周回到初始位置，旋转一周回到初始位置，t 从从02。故。故
3、j j(t t )j jj j t t2 2I Ie e2 2I Ie ee e 几何意义几何意义已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i,u.解：解：例例2.2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解：解：5 50 0 2 2c co os s(3 31 14 41 15 5)A A itV60220A30100oo UIo oo o141.4cos(31430)A141.4cos(31430)A311.1cos(314t60)V311.1cos(314t60)Vitu.50Hz A,1550 fI已已知知下面研究正弦量求和、微分和积分所对应的相量运算规则。下面研究正弦量
4、求和、微分和积分所对应的相量运算规则。1、同频正弦量的代数和同频正弦量的代数和j tj t1 11m111m11j tj t2 22m222m22u(t)Ucos(tu(t)Ucos(t)Re(2 U e)Re(2 U e)u(t)Ucos(tu(t)Ucos(t)Re(2 U e)Re(2 U e)用相量表示正弦量的用相量表示正弦量的目的目的是为了是为了简化正弦量的运算简化正弦量的运算，即把正弦量的某些运算转化为相应的相量运算。即把正弦量的某些运算转化为相应的相量运算。思考：为什么引入相量？思考：为什么引入相量？即与即与“正弦量代数和正弦量代数和”相对应的相量是相对应的相量是“各正弦量的相量
5、的代数各正弦量的相量的代数和和”。j tj tj tj t1212112212112212j tj tj tj tj tj t12121 12 212122 21 1 U=K u(t)K u(t)Re(K2 U e)Re(K2 U e)U=K u(t)K u(t)Re(K2 U e)Re(K2 U e)Re(K2 U eK2 U e)Re Re(K2 U eK2 U e)Re(K UK U)(K UK U)(2e)(2e)12121212UK UK UUK UK U故故U的相量的相量 为为U U 与与“正弦量常数倍正弦量常数倍”相对应的相量是相对应的相量是“正弦量的相量的常数倍正弦量的相量的常
6、数倍”。12简洁表达：,则U+U12121212121212121212UU,UUUU,UUKKK UK UKKK UK U例例 1 1o o2 2oooo1212u(t)3 2cos314t Vu(t)3 2cos314t Vu(t)4 2cos(314t90)Vu(t)4 2cos(314t90)Vu(t)u(t)u(t)5 2cos(314t53.1)VU5 53.1 Vu(t)u(t)u(t)5 2cos(314t53.1)VU5 53.1 V或者：或者：同频正弦量的加、减运算可借助同频正弦量的加、减运算可借助相量图相量图进行。相量进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于图在
7、正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析定性分析。1 111111111112 222222222222 cos()2 cos()2cos()2cos()iItIIiItII 1 12 I 2 21 I2 1 IIReIm2 I2 1 IIoooo1212o o1212U3 0 V,U4 90 VU3 0 V,U4 90 VUUU5 53.1 VUUU5 53.1 V或者或者使用平行四边形法则使用平行四边形法则（或将（或将待加相量首尾连接）！待加相量首尾连接）！2、正弦量的微分正弦量的微分j jt tj jt tj jt tdiddiddtdtdtdtd ddtdt Re 2Ie Re 2
8、Ie Re(2Ie)Re(2Ie)Re 2(j Re 2(j I)e I)e 证明：证明：n niIiIdidij jI Idtdtin(jin(j)I)I 的的 阶阶导导数数n阶导数类似可证。阶导数类似可证。n n iI iI1 1 idtI idtIj j1 1inIinI(j(j)的的 重重积积分分 2 2j(j(t/2)t/2)j j t tI I2 22I2I2I2IeeI I Re 2e Re 2ej jdtdtdtdt sin(t sin(t)cos(t cos(ti i)Re Re2I cos(t2I cos(t)3、正弦量的积分正弦量的积分证明：证明：n重积分类似可证。重积分
9、类似可证。思考：正弦量的积等于两个相量的积吗？思考：正弦量的积等于两个相量的积吗？3.3 R、L、C元件的交流电特性元件的交流电特性 无源元件只有电阻无源元件只有电阻R一种元件模型一种元件模型 电压、电流随时间变化，无源元件除电阻电压、电流随时间变化，无源元件除电阻R外，还外，还有电感有电感L(包括互感包括互感)和电容和电容C。在直流稳态电路中在直流稳态电路中电感相当于短路电感相当于短路电容相当于断路电容相当于断路在正弦稳态电路中在正弦稳态电路中即交流即交流VCR特性。特性。分析电路的分析电路的正弦稳态响应正弦稳态响应，必须掌握这些元件的，必须掌握这些元件的交流电特性交流电特性。时域形式：时域
10、形式：相量形式：相量形式：iRiRIIRUII i i i i(t t)2 2I I c co os s(t t)已已知知R Ri i u u(t t)R Ri i(t t)2 2R RI I c co os s(t t)则则uR(t)i(t)R+-有效值有效值关系关系(幅值关系幅值关系)：UR=RI相位相位关系：关系：u=i (u、i同相同相)R+-RU I3.3.1 电阻元件的交流电特性电阻元件的交流电特性一、伏安特性一、伏安特性相量模型：相量模型：波形图及相量图：波形图及相量图：t iOuRRUI u=i(u、i同相同相)二、功率二、功率1、在任一瞬间，电压、在任一瞬间，电压 u 与电流
11、与电流 i 瞬时值的乘积，表瞬时值的乘积，表示电路在该瞬间吸收或发出的功率，称为示电路在该瞬间吸收或发出的功率，称为瞬时功率瞬时功率(Instantaneous Power)p=uiuR(t)i(t)R+-i i i i(t t)2 2I I c co os s(t t)已已知知R Ri i u u(t t)R Ri i(t t)2 2R RI I c co os s(t t)则则电压电压u、电流、电流 i 取关联参考方向取关联参考方向，则，则R吸收吸收的瞬时功率为的瞬时功率为 1cos2()1cos2()i ipUItpUIt（1）p有两个分量：有两个分量：恒定量恒定量和和双倍频率的正弦量双
12、倍频率的正弦量。（2）由于电压和电流同相，）由于电压和电流同相，瞬时值恒为正瞬时值恒为正。t iOupUI UIcos2(t+i)2、瞬时功率实用意义不大。对于功率，一般关心一个、瞬时功率实用意义不大。对于功率，一般关心一个周期内的平均值，即周期内的平均值，即平均功率平均功率(average power)P 的单位：的单位：W(瓦瓦)PR=UI=I2R=U2/R可见：可见：如果用电阻元件上的如果用电阻元件上的电压电压、电流电流的的有效值有效值来计算它的来计算它的平均功率平均功率，则计算，则计算公式公式与与直流电路完全一样直流电路完全一样。3.3.2 电感元件的交流电特性电感元件的交流电特性时域
13、形式：时域形式：i(t)uL(t)L+-i i i i(t t)2 2I I c co os s(t t)已已知知LiLii idi(t)di(t)u(t)L2 LIsin(t u(t)L2 LIsin(t)dtdt 2 LI cos(t 2 LI cos(t)2 2 则则相量形式：相量形式：或i iLiLiL LIIII UjUjLILILI(LI()2 21 1 IU IUj jL L j L+-LU I一、伏安特性一、伏安特性相量模型：相量模型：有效值有效值关系：关系：UL=LI相位相位关系：关系：u=i+90 (uL 超前超前 i 90)LUI i令令XL L，称感性电抗，简称，称感性
14、电抗，简称感抗感抗，单位为，单位为 (欧姆欧姆)。jXL+-LU ILLLLUjX IUjX I 感抗感抗的说明：的说明：(1)表示表示限制电流（抵抗电流）限制电流（抵抗电流）的能力。的能力。(2)感抗感抗和和频率频率成成正比正比，0 直流（直流（XL=0)，短路；，短路；，开路。开路。(3)由于感抗的存在使电流由于感抗的存在使电流相位落后相位落后电压。电压。XL波形图：波形图：t iOuL(uL 超前超前 i 90)二、功率二、功率电感电感L的电流为的电流为)cos(mtIiLL则电感两端的电压为则电感两端的电压为)2cos(mtUuLL电感电感L是一个储能元件，它的储能与电流之间的关系为：
15、是一个储能元件，它的储能与电流之间的关系为：m2222211cos()cos()22LLLLwLiLItLIt1、瞬时功率：、瞬时功率：tIUtIUtItUiupLLLLLLLLL2sin)22cos(2)cos()2cos(mmmmOtu,i,pLuLiL pL当电流的绝对值当电流的绝对值|iL|增大增大时，电流时，电流建立的磁场增强建立的磁场增强，电感吸收能量，电感吸收能量，pL 0，而而|iL|减小减小时，电感放出原先储存的能量，时，电感放出原先储存的能量，pL 0。电感电感周期性周期性的从外部电路的从外部电路吸取能量吸取能量继而又将继而又将能量送回电路能量送回电路。这说明在交流电路中，
16、电感与外电路不断地交换能量。这说明在交流电路中，电感与外电路不断地交换能量。2、平均功率：、平均功率：0d2sinT1dT1T0T0ttIUtpPLLLL 这说明一个电感元件并这说明一个电感元件并不消耗能量不消耗能量，而是起着，而是起着储存和释放储存和释放能量的作用。能量的作用。实际的电感线圈是用导线绕成的，当电流通过时实际的电感线圈是用导线绕成的，当电流通过时，是有一定损耗的。所以一个，是有一定损耗的。所以一个实际电感元件实际电感元件的电路的电路模型是由模型是由一个电感一个电感L和一个电阻和一个电阻R串联组成串联组成。时域形式：时域形式：u u u u(t t)2 2U U c co os
17、s(t t)已已知知CuCuu udu(t)du(t)i(t)C2 CU sin(t i(t)C2 CU sin(t)dtdt 2 CU cos(t 2 CU cos(t)2 2 则则iC(t)u(t)C+-UCI +-1 1j jC C CCCC1111 UIjI UIjIj CCj CC 或或u uUUUU C Cu uIj C UCUIj C UCU2 2 相量形式：相量形式：3.3.3 电容元件的交流电特性电容元件的交流电特性一、伏安特性一、伏安特性相量模型：相量模型：有效值关系：有效值关系：IC=CU相位关系：相位关系：i=u+90 (ic 超前超前 u 90)UCI u令令XC=-
18、1/C，称为称为容性电抗，简称容性电抗，简称容抗容抗，单位为单位为(欧姆欧姆)UCI +-C CjXjXC CUjX IUjX I 0，|XC|直流开路直流开路(隔直隔直)|XC|波形图：波形图：t iCOu(ic 超前超前 u 90)XC=-1/C ，|XC|0 0 高频短路高频短路(旁路作用旁路作用)频率频率和和容抗容抗成成反比反比二、功率二、功率)cos(mtUuCC)2cos(mtIiCC电容电容C两端的电压为两端的电压为则流过电容元件的电流为则流过电容元件的电流为。电容元件也是一个储能元件，它的储能与电压间的关系为：电容元件也是一个储能元件，它的储能与电压间的关系为：22222m11
19、cos()cos()22CCCCwCuCUtCUt1、瞬时功率：、瞬时功率：tIUtIUtItUiupCCCCCCCCC2sin)22cos(2)2cos()cos(mmmmOtu,i,pCpCuCiC当当|uC|减小减小时，瞬时功率为时，瞬时功率为负负，则表示电容，则表示电容发出发出功率，其储能减少功率，其储能减少当当|uC|增大增大时，瞬时，瞬时功率为时功率为正正，表，表示电容示电容吸收吸收功率功率，其储能增加；，其储能增加；电容元件也是与外部电路不断的进行能量交换。电容元件也是与外部电路不断的进行能量交换。2、平均功率：、平均功率：电容元件和电感元件一样，是一个储能元件，不消耗能量电容元
20、件和电感元件一样，是一个储能元件，不消耗能量，只是与外部电路交换能量。，只是与外部电路交换能量。实际的电容元件，在交流电作用下也是有实际的电容元件，在交流电作用下也是有损耗损耗的的(主要主要是是介质损耗介质损耗)，它的电路模型可以用，它的电路模型可以用电阻电阻R和电容和电容C并联并联组组成，也可以用成，也可以用R与与C串联形式，一般常用前一种形式。串联形式，一般常用前一种形式。PC=0基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式上式表明：在集中参数正弦稳态电流电路中，流出上式表明：在集中参数正弦稳态电流电路中，流出（或流入）任一节点的各支路（或流入）任一节点的各支路电流相量电流相量的的代数和代
21、数和为零。为零。3.4 电路定律的相量形式 0 0)(Iti同频率同频率的的正弦量加减正弦量加减可以转化为对应的可以转化为对应的相量形式相量形式来进行计算来进行计算因此因此在正弦稳态电路中，所有在正弦稳态电路中，所有支路电流支路电流都是都是同频率同频率的的正弦量正弦量 0 0)(Utu上式表明：在集中参数正弦稳态电流电路中，沿任一上式表明：在集中参数正弦稳态电流电路中，沿任一回路所有支路回路所有支路电压相量电压相量的的代数和代数和为为零零。在正弦稳态电路中，所有在正弦稳态电路中，所有支路电压支路电压都是都是同频率同频率的的正弦量正弦量 试列出电路的相量形式的方程试列出电路的相量形式的方程微分方
22、程微分方程相量表示的电路方程相量表示的电路方程LCRuSiLiCiR+-j L1/j CSULICIRIR+-tiCRiutiCtiLiiiCRCLRCLd1d1ddSCRCLRCLICIRUICILjIII S j1j1例例1例例2u1 1u16 62 23 36u3u4u2u55 54 41234)120cos(251tu)45cos(282tu求节点求节点2与与4之间的电压之间的电压u24。解：解：对支路对支路(1，2，3，4)构成的回路按顺构成的回路按顺时针方向列写相量时针方向列写相量形式的形式的KVL方程方程 02421UUUV17.15743.3V)33.1 j16.3(V)66.5 j66.5(V)33.4 j5.2(V458V12052124UUU)17.157cos(243.324tu代入已知条件：代入已知条件：02421UUU第八讲 结束谢谢
