1、第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语1.1.3 1.1.3 四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系复习引入复习引入从构成来看，所有的命题都具有条从构成来看，所有的命题都具有条件和结论两部分构成件和结论两部分构成pq记做记做:l通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的p叫做命题的叫做命题的条件条件,q叫做命题的叫做命题的结论结论。l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q”“只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不
2、是命题.命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题 定义的要点：能判断真假的陈述句定义的要点：能判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。理解：理解：1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断的）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一
3、。结果可真可假，但真假必居其一。2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(2)若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；(3)若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；(4)若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦
4、函数。观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(2)若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命
5、题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆命题是的逆命题是“两直线平行，同位角相两直线平行，同位角相等等”。探究探究1：如果原命题是真命题，那么它：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？的逆命题一定是真命题吗？例例1.等边三角形的三个内角相等等边三角形的三个内角相等.例例2.若若f(x)是正弦函数是正弦函数,则则f(x)是周期函数是周期函数.逆命题逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形三个内角相等的三角形是等边三角形.逆命题逆命题:若若f(x)是周期函数是周期函数,则则f(x)是正弦函数是正弦函数.
6、（真命题真命题）（真命题真命题）（假命题假命题）（真命题真命题）原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(3)若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分别记作的否定分别记作“p”“q”，读作读作“非非p”“非非q”。否命题否命
7、题:若若p,则则q互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果把其。如果把其中一个命题叫做中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命题原命题的否命题。例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平同位角相等，两直线平行行”的否命题是的否命题是“同位角不相等，两同位角不相等，两直线不平行直线不平行”。探究探究2：如果原命题是真命题，那么它的：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？否命题一定是真命题吗？否命题否命题
8、:同位角不相等同位角不相等,两直线不平行两直线不平行.例例1.1.原命题原命题:同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行.例例2.2.原命题原命题:若若f(x)是正弦函数是正弦函数,则则f(x)是是周期函数周期函数否命题否命题:若若f(x)不是正弦函数不是正弦函数,则则f(x)不不 是是周期函数周期函数（真命题真命题）（真命题真命题）（真命题真命题）（假命题假命题）原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，
9、则f(x)是周期函数；是周期函数；(4)若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题:若若p,则则qp逆否命题逆否命题:若若q,则则p互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。例如，命题例如，命题“同位角相等，两直同位角相等，两直线平行线平行”的逆否命题是的逆否命题是“两直线两直线不平行，同位角不相等不平行，同位角不相等”。探究探究3：如果原命题是真命题，那么
10、它的逆：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？否命题一定是真命题吗？例例1.1.原命题原命题:同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行.逆否命题逆否命题:两条直线不平行两条直线不平行,同位角不相等同位角不相等.例例2.2.原命题原命题:若若a b,则则 ac2bc2。若逆否命题若逆否命题:若若ac2bc2,则则ab。（真命题真命题）（真命题真命题）（假命题假命题）（假命题假命题）原命题是真命题原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题它的逆否命题一定是真命题.原命题是假命题原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。它的逆否命题一定是假命题。、互否命题：互否命题：如果第一个命题的条
11、件和结论是第二个命题如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果。如果把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命原命题的否命题题。、互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。、互逆命题：互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命
12、题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫么这两个命题叫互逆命题互逆命题。如果把其中一个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做原命题的那么另一个叫做原命题的逆命题逆命题。三个概念三个概念原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式:原命题原命题:逆命题逆命题:否命题否命题:逆否命题逆否命题:若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则p p1：要写出一个命题的另外三个命题关键是要写出一个命题的另外三个命题关键是分清
13、命题的题设分清命题的题设和结论（即把原命题写成和结论（即把原命题写成“若若p则则q”的形式）的形式）2：（1）“或或”的否定为的否定为“且且”，（，（2）“且且”的否的否定为定为“或或”，（3）“都都”的否定为的否定为“不都不都”。注意：注意：三种命题中最难写三种命题中最难写 的是否命题的是否命题。四种命题之间的关系四种命题之间的关系原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互否命题真假互否命题真
14、假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关例例:分别写出分别写出以命题的逆以命题的逆命题、否命命题、否命题和逆否命题和逆否命题：题：若若x x=1或或x x=2，则则x x23x x+2=0。逆否命题：逆否命题：若若x x2x x ，则则x x 且且x x 。逆命题：逆命题：若若x x2x x，则则x x或或x x。否命题：否命题：若若x x 且且x x，则则x xx x 。例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：并分别判断它们的真假：解：解：逆命题：当逆命题：当c
15、 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题：当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆否命题为真逆否命题为真小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说
16、了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。解：张三走的原因是：“该来的没有来”，逆否命题是-“来了的是不该来的！”从而导致张三认为自己是不该来的。李四走的原因是“不该走的又走了”，其逆否命题是“没有走的是应该走的”，从而使李四觉得主人在赶自己走。否命题与命题的否定否命题与命题的否定l否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。l命题的否定是逻辑联结词命题的否定是逻辑联结词“非非”作用于判断作用于判断,只否定结论不
17、只否定结论不否定条件。否定条件。l对于原命题对于原命题:若若 p,p,则则 q q，否命题否命题:若若p,p,则则q q，命题的否定命题的否定:若若 p p，则则q q。例例.命题：命题：ABC中，若中，若C90，则，则A、B都是锐角都是锐角.命命题的否命题是（题的否命题是（），命题的否定是（），命题的否定是（）(A)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不是锐角都不是锐角(B)ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角(C)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不一定是锐角都不一定是锐角(D)ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角原词语原词语 否定词否
18、定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立所有的所有的准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x，成立成立不等
19、于不等于某个某个某些某些练习练习1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。(1)原命题：原命题：若若 则则答答:逆命题：逆命题：若若 则则 否命题：否命题：若若 则则 逆否命题：逆否命题：若若 则则.22ba,ba,22ba.ba,ba.22ba,22ba.ba(2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是原命题：若一个数是负数，则它的平方是0；逆命题：逆命题：若一个数的平方是若一个数的平方是0，则它是负数；，则它是负数；否命题：否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是若一个数不是负数，则它的平方不是0；逆否命题：逆否命题：若一个数的平方不是若一个数的平方
20、不是0，则它不是负数，则它不是负数.试判断上面命题的真假试判断上面命题的真假.真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题假假假假假假假假练习练习2:2:把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p则则q”的形式，的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.解解：原命题原命题：若一个函数是奇函数若一个函数是奇函数,则它的图象则它的图象关于原点中心对称关于原点中心对称;逆命题：逆命题：若一个函数的图象关于原点中心对称若一个函数的图象关于原点中心对称,则它是奇函数则它是奇函数;否命题：否命题：若一个函数不是奇函数若一个函数不是奇函数,则它的图象不则它的图象不关
21、于原点中心对称关于原点中心对称;逆否命题逆否命题:若一个函数的图象不关于原点中心对若一个函数的图象不关于原点中心对称称,则它不是奇函数则它不是奇函数.(3)奇函数的图象关于原点中心对称奇函数的图象关于原点中心对称.试判断上面命题的真假试判断上面命题的真假.真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真真真真真真假假真真假假假假假假练习练习.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。一般地一般地,四种命题的真假性四种命题的真假性,有而且仅有下面四有而且仅有下面四种情况种情况:练一练练一练1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确
22、。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对）2.原命题：若原命题：若AB=A,则则AB=。逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A。否命题：若否命题：若ABA，则，则AB。逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA。（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命
23、题为假，它的否命题为假。（错）（错）3）判断二次函数y=ax2+bx+c中，若b=a+c，则该二次函数不存在有零点”，它的逆否命题是 ,并判断其真假.222:4()4()0,ba caca cac 解由 于则 原 命 题 为 真故其 逆 否 命 题 也 为 真.4）判断命题）判断命题“若若xAB，则，则x U A UB”的真假，学出它的其他三种命题并判断真假。逆命题：逆命题：x UA UB，xAB。否命题：否命题：xAB，x UA UB。逆否命题：逆否命题：x UA UB，xAB。假假假假假假假假 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
