1、 湖南省衡阳市湖南省衡阳市 2020 届高三下学期第一次联考届高三下学期第一次联考 理科数学理科数学 第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 | (1)0Ax x x， 1 |1 2x Bx ，则 BA （ ） A( 1,0 B( 1,0) C(, 1 D(,0 2复数z在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，则 |z z 的实部与虚部的和是（ ） A2 B0 C 2 2 D 22 22 i 3若“xR ，使得s
2、in3cosxxa”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A 2,2 B( 2,2) C(, 22,) D(, 2)(2,) 4已知( )f x是定义域为R的偶函数，且在(,0)上单调递增，若 1 2 log 3af ， 1.2 2bf ， 1 2 cf ，则a、b、c的大小关系为（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 5已知向量a，b满足：|2a ，| 2b ，()aba，则a在b方向上的投影为（ ） A1 B 2 2 C2 D1 6我国古代有着辉煌的数学研究成果， 周牌算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 缉古算经 等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献这 10
3、 部专著中有 5 部产生与魏晋南北朝时期某中学拟从 这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅读教材则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的 专著的概率为（ ） A 7 9 B 2 9 C 4 9 D 5 9 7二项式 3 (1) (0)mxm展开式的第二项的系数为3，则 0 m x e dx 的值为（ ） A1e B1e C1e D 1 1 e 8太极图被称为“中华第一图” ，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上， 这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳 鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来
4、表示 22 2222 4 ( , )(1)1(1)1 0 xy Ax y xyxy x 或，设点 ( , )x yA，则zxy的取值范围是（ ） A12,2 2 B 2 2,2 2 C 2 2,12 D 2,12 9 衡东土菜辣美鲜香， 享誉三湘 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标， 拟制定员工的奖励方案： 在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加二增 加， 但奖金总数不超过 3 万元， 同时奖金不能超过利润的 20% 下列函数模型中， 符合该点要求的是 （ ） （参考数据： 100 1.0154.432,lg111.041） A
5、0.04yx B1.0151 x y Ctan1 19 x y D 11 log (310)yx 10已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，过点 1 F与双曲线的一条渐近线平 行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若 12 0MF MF，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A(1, 2) B( 3,) C(1,2) D(2,) 11已知A是函数( )sin 2020cos 2020 63 f xxx 的最大值，若存在实数 12 ,x x使得对任意实 数x，总有 12 ( )f xf xf x成立，则 12 A xx的最小值为（ ） A 1
6、010 B 2020 C 3030 D 4040 12 如图， 矩形中ABCD，22BCAB，N为边BC的中点， 将ABN沿AN翻折成 1 B AN（ 1 B 平面ABCD） ，M为线段 1 B D的中点，则在ABN翻折过程中，下列命题： 与平面 1 B AN垂直的直线必与直线CM垂直； 线段CM的长为 3 2 ； 异面直线CM与 1 NB所成角的正切值为 3 3 ； 当三棱锥 1 DANB的体积最大时，三棱锥 1 DANB外接球表面积是4正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 第第卷卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第本卷包括必考题与选考题两部分，第 13-21 题为必考
7、题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，题为选考题， 考生根据要求作答考生根据要求作答 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13若曲线 2 lnyxx在点(1,1)处的切线与直线20xay平行，则实数a的值为_ 14在ABC中，边, ,a b c所对的角分别为, ,A B CABC的面积S满足 222 4 3 3 Sbca，若 3a ，则 sinsin ac AC _ 15已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点 (
8、 ,2)M t，满足 1 () 2 OMOAOB（其中O为坐标原点） ，则|AB _ 16已知m为整数，若对任意(3,)x，不等式 ln(3)1 m x xe 恒成立，则m的最大值为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） （一）必做题（共（一）必做题（共 60 分）分） 17已知 n a为等差数列，前n项和为 n S， 3 9a ， 9 135S （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 2 1 n a 前n项和为 n T，证明： 11 63 n T 18如图，在多
9、面体ABCDE中，DEAB，ACBC，平面DAC 平面ABC，24BCAC， 2ABDE，DADC （1）若点F为BC的中点，证明：EF 平面ABC； （2）若直线BE与平面ABC所成的角为 60 ，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值 19已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线与C交 于M，N两点， 1 MFN的周长为4 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过M作与y轴垂直的直线l，点 3 ,0 2 K ，试问直线NK与直线l交点的横坐标是否为定值？请说 明理由 20 若 方 程( )f
10、xx有 实 数 根 0 x， 则 称 0 x为 函 数( )f x的 一 个 不 动 点 已 知 函 数 ln ( )(1)ln () xx f xeaxax aR （1）若ae ，求证： f x有唯一不动点； （2）若 f x有两个不动点，求实数a的取值范围 21 “工资条里显红利，个税新政人民心”我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税） 改革迎来了全面实施的阶段2019 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括： （1）个税起征点为 5000 元； （2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除； （3）专项附加扣除包括住房、子女教育 和赡养老人等
11、 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点 3500 元） 新个税税率表（个税起征点 5000 元） 缴税 基数 每月应纳税所得额（含税）=收 入-个税起征点 税率 （%） 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起 征点-专项附加扣除 税率 （%） 1 不超过 1500 元的部分 3 不超过 3000 元的部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 4 超过 9000 元至
12、 35000 元的部分 25 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 5 超过35000元至55000元的部分 30 超过 35000 元至 55000 元的部分 30 随机抽取某市 2020 名同一收入层级的 IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们 2019 年的人均月收入 24000 元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的 孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人 扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比 是 1112；
13、此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房 1000 元/月，子女教育每孩 1000 元/月，赡养老人 2000 元/月等 假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均 月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题： （1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税； （2）设该市该收入层级的IT从业者 2019 年月缴个税为X元，求X的分布列和期望； （3）根据新旧个税方案，估计从 2019 年 1 月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴 纳的个税之和就超过 2019
14、 年的人均月收入？ （二）选做题（共（二）选做题（共 10 分）分） 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点 的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程(1sin )(0)aa表示的曲线 1 C就是一条心 形线如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线 2 C的参数方 程为 3 1 3 3 xt yt （t为参数） （1）求曲线 2 C的极坐标方程 （2）若曲线
15、1 C与 2 C相交于A，O，B三点，求线段AB的长 23已知函数( )|6|f xxxm的定义域为R （1）求实数m的取值范围； （2）设t为m的最大值，实数, ,a b c满足 222 abct 试证明： 222 111 1 111abc 衡阳市衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（理科）参考答案届高三第一次联考数学（理科）参考答案 1 【答案】C 【解析】依题意，( 1,0)A ，(,0)B ，所以(, 1 BA ，故选 C 【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题 2 【答案】B 【解析】1zi ， 所以 22 | |112zz， 所以 |
16、222 122 z i zi ， 所以复数 |z z 的实部是 2 2 虚部是 2 2 ，故选 B 【命题意图】源于教材的基础题，本题考查复数几何意义、复数的模、共轭复数、复数除法运算以及复数 实部、虚部的概念，属基础题 3 【答案】A 【解析】由题意知，xR 使得sin3cos2sin 3 xxxa ，知 2,2a ，选 A 【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题 4 【答案】B 【解析】()( )fxf x，则函数( )yf x为偶函数，函数( )yf x在区间(,0)内单调递增，在 该函数在区间(0,)上为减函数， 11 22 log 3log 1
17、0，由换底公式得 12 2 log 3log 3 ，由函数的性质 可得 2 log 3af， 对数函数 2 logyx在(0,)上为增函数， 则 22 log 3log 21， 指数函数2xy 为 增函数，则 1.210 0222 ，即 1.2 1 021 2 ， 1.2 2 1 02log 3 2 ，因此，bca 【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比 较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属 于中等题 5 【答案】D 【 解 析 】 2 ()202abaaa ba ba b， 因 此a
18、在b方 向 上 的 投 影 为 2 | cos,1 2| a b aa b b 【命题意图】本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念，属于基础题型 6 【答案】A 【解析】设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以 2 5 2 10 2 ( ) 9 C p A C ，因此 27 ( )1( )1 99 p Ap A ，故选 A 【命题意图】 本题考查了超几何分布以及对立事件的概率， 旨在考查学生的分析转化题意，求解运算能力 7 【答案】A 【解析】二项式 3 (1) (0)mxm的展开式的通项公式得 12122 23( ) ( 1)3TC mxm x 第二项的系数
19、 为3， 2 33m ， 2 1m ，0m，解得1m 当1m 时，则 11 00 1 xx e dxee ，故选 A 【命题意图】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题旨在考查考生的分析转化能 力，逻辑推理，求解运算能力 8 【答案】C 【解析】如图，作直线0xy，当直线上移与圆 22 (1)1xy相切时，zxy取最大值，此时， 圆心(0,1)到直线0xyz的距离等于 1，即 |1| 1 2 z ，解得z的最大值为：12，当下移与圆 22 4xy相 切 时 ，zxy取 最 小 值 ， 同 理 | 2 2 z ， 即z的 最 小 值 为 ：2 2， 所 以 2 2,12z 故选
20、C 【命题意图】本题考查线性规划的数据应用，考查数形结合思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的 能力 9 【答案】D 【解析】对于函数：0.04yx，当100x 时，43y 不合题意； 对于函数：1.0151 x y ，当100x 时，3.4323y 不合题意； 对于函数：tan1 19 x y ，不满足递增，不合题意； 对于函数： 11 log (310)yx，满足：(6,100x，增函数， 且 111111 log (3 100 10)log 290log 13313y ，结合图象： 符合题意，故选 D 【命题意图】本题结合现实生活情境，考查函数模型的应用解题关键在于弄清题目给定规则，依
21、次用四个 函数逐一检验，属于中档题 10 【答案】D 【解析】不妨设过点 1( ,0)Fc与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 a xyc b ，与另一条渐近线 b yx a 的交点为, 2 2 c bc M a ，由 120MFMF得 3 ,0 2222 cbccbc aa ，即有 2 2 3 b a ，又 因为 2 2 12 b e a ，故选 D 【命题意图】本题涉及双曲的渐近线、离心率等基本量的计算，旨在考查学生的数形结合思想，分析转化 能力另外 120MFMF等价于点M在以线段 12 FF为直径的圆外，于是也可以由|OMc获得结论 11 【答案】C 2 3113 ( )sin 202
22、0cos 2020sin2020cos2020cos2020sin2020 632222 f xxxxxxx 3sin2020cos20202sin 2020 6 xxx max ( )2Af x， 又存在实数 12 ,x x， 对任意实数x总 有 12 ( )f xf xf x成立， 2max ( )2f xf x 1min ( )2f xf x ，作出函数( )f x的图象， 由图可知， 12 2 xx 的最小值即为函数( )f x最大负零点 0 x的绝对值 0 x，而 0 6 2020 x ，于是有 12 A xx的最小值为 6 22 20203030 ，故选 C 【命题意图】本题主要考
23、查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，重在考查学生数形结合思 想以及直观想象核心素养 12 【答案】B 【解析】取 1 AB的中点K，AD的中点O，连接KM，KN， 1 OB，ON，显然CM平面 1 B AN，故 正确； 2 222 11 15 1 22 CMNKB NB K ，故错误； 1 KNB即为异面直线CM与 1 NB所成角， 1 1 1 1 tan 2 B K KNB B N ， 故错误； 显然O为三棱锥 1 BAND 外接球球心，且1ROA，故正确，综上，正确，选 B 【命题意图】本题考查翻折过程中点线面位置关系、相关角度、长度、体积的计算旨在考查考生的直观 想象、数学运
24、算核心素养 13 【答案】 1 3 【解析】由 1 2yx x ，有 1 3 a ，从而 1 3 a 【命题意图】题主要考查导数的几何意义、两直线的位置关系，属于容易题 14 【答案】2 【解析】 由余弦定理得： 222 222 cos2cos 2 bca AbcabcA bc ， 由面积公式 1 sin 2 SbcA在 ABC的面积S满足 222 4 3 3 Sbca，可得tan3A， 3 A ，即 3 sin 2 A ，再由正弦定理： 22 sin a R A ，有22 sinsin ac R AC 【命题意图】本题主要考查了正余弦定理的合理运用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题
25、 15 【答案】8 【解析】抛物线 2 4yx的焦点(1,0)F，设 11 ,A x y， 22 ,B xy，直线AB方程为1xmy，mR， 由 2 1 4 xmy yx 得 2 440ymy， 于 是 有 12 12 4 4 yym y y ， 根 据 题 意 有 12 44yym， 12 12 2 3 22 m yyxx t ，所以| 2(3 1)8AB 【命题意图】本题主要考查抛物线的简单性质，以及抛物线与直线的位置关系解答直线与抛物线位置关 系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方 程，解决相关问题 16 【答案】1m 【解析】解法
26、1：由题意对任意的(3,)x，不等式 ln(3)1 m x xe 恒成立，则3xe时，不等式 ln(3)1 m x xe 也成立，代入3xe得3 m ee，则1m ，这是满足题意的一个必要条件，又m为整 数，只需验证1m 时，对任意的(3,)x，不等式 ln(3)1 m x xe 恒成立，即证 1 ln(3)1x xe ，变形 为 1 ln(3)xx e 对任意的(3,)x恒成立， 令 1 ( )ln(3)g xxx e ，(3,)x是 3 ( ) (3) ex g x e x ， 故( )g x在(3,)e递减，(3, 3)e递增， 3 ( )(3)1 10g xg e e ， 1 ln(3
27、)xx e 对任意 的(3,)x恒成立，故1m 满足题意 （此法参照端点效应，小题可用） 解 法 2 ： 记 ln(3) ( ) x f x x ， 则 2 ln(3) 3 ( ) x x x fx x ， 令( )ln(3) 3 x xx x ， 于 是 有 2 31 ( )0 (3)3 x xx ， x在(3,)上单减，又 7 (7)2ln20 4 ， 8 (8)ln50 5 ， 0 (7,8)x，使得 0 max 00 ln311 1 ( ), 35 4 x f x xx ，故有 11 4 m e ，4 m e ， max 1m 【命题意图】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应
28、用以及转化思想，运用导数工具解决含 参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件， 这是解决此类题的常用手段， 属于难题 三、解答题三、解答题 17 【解析】 （1）设公差为d，由题意得： 1 1 29 936135 ad ad ，解得 1 3 3 a d ，3 n an （2）令 2 11 1 3 2 n n n c a 则 1 1 0 6 n cc 1 1 6 n TT， 又 11 1 22 1111 1 1 3323 1 2 n n n T 11 63 n T 【命题意图】考查等差数列的基本量计算和数列的单调性，以恒成立思想为载体，旨在考查考生的知识的 化归与转化能力，求解运
29、算能力 18 【解析】 （1）证明：取AC的中点O，连接EF，OF，在DAC中DADC，DOAC 由平面DAC 平面ABC，且交线为AC得DO 平面ABCO，F分别为AC，BC的中点， OFAB，且2ABOF又DEAB，2ABDE，OFDE，且OFDE 四边形DEFO为平行四边形EFDO，EF 平面ABC （2）DO 平面ABC，ACBC，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线 为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系则(1,0,0)A，( 1,0,0)C ，( 1,4,0)B EF 平 面ABC，直线BE与平面ABC所成角60EBF tan602 3DOEFBF (0,
30、0,2 3)D，( 1,2,2 3)E ， 可取平面ABC的法向量(0,0,1)m ，设平面DCE的法向量( , , )nx y z， 有(1,0,2 3)CD ，(0,2,2 3)CE ，则 2 30 22 30 xz yz ，取1z ，则2 3x ，3y ，所以有 (2 3,3,1)m ，于是 11 cos, | |1 44 m n m n mn ，故所求二面角的余弦值为 1 4 【命题意图】本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体，对几何体中线面垂直、线线 平行判定和性质、二面角平面角求法都有具体考查旨在考查考生的空间想象、转化、求解运算能力 19 【解析】 （1）三角形
31、1 MFN的周长为44 2a ，又 2 2 c e a ， 222 abc，得 2 2a ， 2 1b ， 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y （ 2 ） 设 11 ,M x y， 22 ,N xy由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2210mymy 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m 直线NK的方程： 2 2 3 3 2 2 y yx x ，令 1 yy，则有 12122 1222222 2222 313 1 22 3222 2222 2 2 mmm yxymyy yyyy mmm x yyyy NH与 2 l交点的横坐标为定值 2 【命题意
32、图】着重考查解几中“可变图形中的不变性”这一核心内容考查考生的分析转化，数据处理能力 20 【解析】 （1）解：当ae 时，由( )f xx得，ln0 x e exex x ，令( )ln x e F xexex x 其定 义为(0,)，从而有 1 22 (1) ( ) x xx e xex xeee F xe xxx ，易 1x ex 在0x 时恒成立故当 (0,1)x时，( )0F x，( )F x在(0,1)上单调递减，当(1,)x时，( )0F x，( )F x在(1,)上单 调递增，所以 min ( )(1)ln10F xFeee所以方程ln0 x e exex x 有唯一实数根 0
33、 1x ，故 ( )f x有唯一不动点 （2）解法 1：( )f x有两个不动点等价于函数( )ln xx ee h xa xx 在(0,)上有两个不同的零点，令 x e te x ， 则有( )( )lnh xg ttat ， 函数( )h x有两个零点等价于函数( )g t在( ,)e 上有唯一零点， 即方程 1lnt at 在( ,)e 上有唯一解，考虑 ln ( )() t h tte t ， 因 2 ln1 ( )0 t h t t ，( )h t在( ,)e 上单调递增，且lim( )0 x h t ，从而 11 0 ea ，ae 解法 2：先证明 2( 0) x exx令( )2
34、 x xex，则( )2 x xex，( )2 x xe当(0,ln2)x 时，( )0x， 当( l n2 ,)x 时( )0x， 从而( )(ln2)0x 因此， 2 ( ) x xex在(0,) 上单调递增，故( )(0)0x，所以 2( 0) x exx，即2ln (0)xx x，( )f x有两个零点等价于 ln ( ) ln xx e g xa xx 有两个零点， ln 2 (ln1)(1) ( ) (ln ) xx exxx g x x xx ， 易知 lnln 0,1 ln0 xxx eexxx 当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x，所 以有 min
35、 ( )(1)g xgea 下面说明当ae 时 ln ( ) ln xx e g xa xx 有两个零点取 1 0,1 a xe有 111 lnlnxxxa ，故 11 ln 111 11 ln0 ln xx e g xaxxa xx 取 2 ( 1 ,) a xe， 且 222 l nl nxxxa ， 故 22 ln 222 22 ln0 ln xx e g xaxxa xx 又(1)0gea，由零点存在性定理知( )f x在(0,1)存在 唯一 3 x，使 3 0g x在(1,)内存在 4 x使 4 0g x，综上有ae 解法 3： 由( )f xx得， ln (ln )0 xx ea
36、xx ， 令( )l nt xxx， 则 1 ( ) x t x x ， 显然( )lnt xxx 在(0,1)上单减，在(1,)上单增，从而 min ( )(1)1t xt，令( )(1) t g teat t，根据题意知， ( )(1) t g teat t在(1,)上有唯一零点 （1） 当0a 时，( )0g t 恒成立， 无零点， 不符合题意： （2） 当0a 时，令 0 t g tea，有ln()ta，由(ln()0ga得ae ，此时(1)0gea，接 下来只需在(1,)上找一点 0 t，使得 0 0g t即可因为 2( 0) t et t，从而 2 0 t eattat，即 0ta
37、， ta ， 取 0 ta ， 不妨取 0 2ta ， 有( 2 )0ga， 所以( )g t在 0 1,t上存在唯一零点， 即( )f xx有两个不同实根，故ae 【命题意图】本题以不动点理论背景命制试题，涉及利用导数研究函数形态，切线放缩“ 1x ex ” 、 “ x eex” 、同型同构、变量分离求参数等方法的应用重在考查考生的函数思想，求解运算能力 21 【解析】 （1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为 1500 0.03 3000 0.1 4500 0.2 11500 0.254120 （2）依据新政策，既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
38、240005000 100018000，月缴个税3000 0.03 9000 0.1 6000 0.22190X ； 只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000 100017000，月缴个税3000 0.03 9000 0.1 5000 0.21990X ； 只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000200016000，月缴个税3000 0.03 9000 0.1 4000 0.21790X ； 既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000 1000
39、200015000，月缴个3000 0.03 9000 0.1 3000 0.21590X ； 所以X的可能值为 2190，1990，1790，1590，依题意，上述四类人群的人数之比是 2111， 所以 2 (2190) 5 P X ， 1 (1990) 5 P X ， 1 (1790) 5 P X ， 1 (1590) 5 P X ， 所以X的分布列为 X 2190 1990 1790 1590 P 1 5 1 5 1 5 2 5 所以 1112 ()21901990179015901830 5555 E X （3）因为在新政策下该收入层级的IT从业者 2019 年月缴个税为 1830，所
40、以该收入层级的IT从业者每月 少缴交的个税为4120 18302290， 设经过x个月， 该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过 24000，则229024000x ，因为xN，所以11x 所以经过 11 个月，该收入层级的IT从业者少缴交 的个税的总和就超过 2019 年的月收入 【命题意图】本道题结合“个税新政”这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、样本估计总 体的统计思想，综合性程度较高，着重对学生数据分析、数学运算能力的考查 22 【解析】 （1）由 3 1 3 3 xt yt （t为参数） ，消参数t化简得普通方程：30xy， 令cos ,sinxy，即3 coss
41、in0化简得tan3，即 3 即得曲线 2 C的极坐标方程为() 3 R （ 2 ） 由 已 知 ， 不 妨 设, 3 A A ， 4 , 3 B B ， 于 是 3 1s i n1 32 A aa ， 43 1sin1 32 B aa ，故| 2ABa 【命题意图】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，利用极坐标解决长度问题，旨 在考查学生应用知识能力、等价转化能力 23 【解析】 （1）由题意知，|6|xxm恒成立，又|6| |(6)| 6xxxx，所以实数m的取 值范围是6m （ 2 ） 解 法1 ： 由 （ 1 ） 可 知 ， 222 6abc， 所 以 222 111
42、9abc 从 而 222 222222 1111111 111 1119111 abc abcabc 222222 222222 11111111 3( 36 )1 91111119 bacacb abacbc ， 当且仅当 222 1113abc ，即 222 2abc时等号成立，证毕 解法 2：由权方和不等式， 2222 222222222 111111(1 1 1) 1 111111111abcabcabc 解法 3：由柯西不等式， 2 2222 222 111 (1 1 1)111 111 abc abc 222 222222 222 111 (1)(1)(1) 111 abc abc 从而有， 2 222222 111(1 1 1) 1 111111abcabc 【命题意图】本题考查了三角不等式、三元均值不等式的应用，重在考查考生
