1、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1第第2 2章章 导数与微分导数与微分 2.4 2.4 二元函数的偏导数二元函数的偏导数偏导数的定义偏导数的定义高阶导数高阶导数全微分全微分 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 22.4.1 偏导数的定义偏导数的定义在点在点,zf x y0y,0 x设函数设函数的某一领域内有定义，的某一领域内有定义，当当y固定在固定在 而而x在在 处有增量处有增量 时，相应的函数有时，相应的函数有,y00 xx增量增量 ，如果有极限，如果有极限0000y,xfyxxf,xy,xfyx,xflim00000 x存在，则称函数存在，则称函数,zf x y
2、在点在点0,0yx处对处对x可导，并可导，并称此极限为函数称此极限为函数,zf x y在点在点0,yx0处对处对x的偏导数的偏导数.上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 30000000,limxxf xx yf xyfxyx 即即定义为定义为00,000000yxzxxzxxxxyyxxyyxxyyff或记作记作yxfz，00,xy类似的，函数类似的，函数在点在点处对处对y的偏导数的偏导数 .y y,x x或或f f,z z,y yf f,y yz z0 00 0y yy y0 0 x xx x0 0y yy y0 0 x xx x0 0y yy y0 0 x xx x0 0y y
3、y y 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 4称为二元函数称为二元函数 对于对于x的的偏导函数偏导函数yxf,z记作记作y,xz,xzxxfxf或xyxfyxxffx,limy,x0 x即即,zyxf对于二元函数对于二元函数如果只有自变量如果只有自变量x变化，自变变化，自变量量y固定，这时它就是固定，这时它就是x的一元函数，函数对的一元函数，函数对x的导数，就的导数，就对对y的偏导数，记为的偏导数，记为yxf,z 类似的，可定义函数类似的，可定义函数y,xz,y,zyyffy或上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 5y,limy,x0yyyxfyyxff即即xf由定义可以
4、看出：求由定义可以看出：求 时，只要把时，只要把y看作常量而对看作常量而对x求求y f求求时，只要把时，只要把x看做常量而对一求导数即可看做常量而对一求导数即可.导数，导数，偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如三元函偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如三元函数数zyxfu,zyx,在点在点处对处对x的偏导数定义为的偏导数定义为xzy,x,fzy,x,xflimzy,x,f0 xx上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 6例例 4.14.1 求求2yxy23xz在点（在点（1 1，2 2）处的偏导数）处的偏导数解解2y.2xyz2y,3xxz272213xz1x2y62212
5、xz1x2y例例 4.24.2 求求x2sinyz2的偏导数的偏导数2ysin2xyzcos2x,2yxz2解解上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 72yxy1z例例4.34.3 求求的偏导数的偏导数解解x1y2xxy1xy1yz21y31y222xy1yyxy1yxy1lnyxy1lnlnz2y2等式两端求导：等式两端求导：xy1xyxy12ylnzz2y解出解出xy1xyxy12ylnzz2y1y2y22xy1xyxy1lnxy12y上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 8y,xzf是一个整体记号，不能看作分子与分母之商是一个整体记号，不能看作分子与分母之商yz,xz
6、 与一元函数不同，偏导数的记号与一元函数不同，偏导数的记号说明说明2.4.2.高阶导数高阶导数与一元函数类似，二元函数与一元函数类似，二元函数的偏导函数的偏导函数y,xyz,y,xxzyxff仍然是仍然是x x与与y y的二元函数的二元函数，如果这两如果这两阶偏导数。阶偏导数。个函数的偏导数也存在，则称它们是函数个函数的偏导数也存在，则称它们是函数y,xzf的二的二上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 9 yxyzyzyyxxyzyzxyxyxzxzyyxxzxzxyyyy,f;,f,f;,f22x2x2xx22 四个二阶导数四个二阶导数y,xzf按照对变量求导次序的不同，函数按照对
7、变量求导次序的不同，函数 有下列有下列其中其中,yx,fyxzxzyxy2yx,fxyzyzxyx2混合偏导数混合偏导数称为称为上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 102y6xxyz2,y6xyxz2222的偏导数统称为高阶偏导数的偏导数统称为高阶偏导数xyzyxz,yz,xz1,2xyyxz22332223和求例例 4.44.4 设设解解同样可得三阶、四阶以及同样可得三阶、四阶以及n n阶偏导数。二阶及二阶以上阶偏导数。二阶及二阶以上2y,y3xxz222x;y2xxz30;yz,2xyz6xyxz33322222,上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 112.4.3
8、全微分全微分2xdy2ydxydy2xdxy3xdz322dy2xy2xdx2yy3x322形式的不变性可得形式的不变性可得2xy2xyz2y,y3xxz322因此：因此：显然显然dyyzdxxzdz例例 4.54.5 设设12xyyxz23，有一元复合函数微分，有一元复合函数微分上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 12yxfxxf,yy,z定义定义 2.62.6 如果函数如果函数y yx x,在在点点y yx x,f fz z 的全增量的全增量 22yxoBAzyx可表示为可表示为yx,z在点yxf可微分，而称可微分，而称yBxA为函数为函数yx,z在点yxf的全微分，记作的全微
9、分，记作dzdzyxzBAd其中其中A A、B B不依赖于不依赖于yx、而仅与而仅与x x、y y有关，则称函数有关，则称函数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 13于是全微分公式又可以写成于是全微分公式又可以写成dyyzdxxzdz与一元函数一样，当与一元函数一样，当x x，y y是自变量时，是自变量时，.ydyxdx，定理定理 2.5 2.5（必要条件）（必要条件）如果函数如果函数 在点（在点（x,yx,y）可微分，则函数）可微分，则函数yxf,z 在该点的偏导数在该点的偏导数 必定存在，且函数必定存在，且函数 在点在点yzxz、yxf,z（x x，y y）的全微分为）的全微分为dyyzdxxzdz上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 14例例4.64.6 计算函数计算函数1yyxz22的全微分的全微分解解 因为因为y2xyz,xy2xz2所以所以dyy2xxydx2dz2
