1、第四章 积分n元线性方程组与矩阵1定积分的概念与性质1n元线性方程组与矩阵1原函数与微积分基本定理2n元线性方程组与矩阵1换元积分法与分部积分法3第四章 积分1.理解定积分概念，通过原函数存在定理了解与不定积分的之间的关系；2.掌握定积分计算方法，学会用积分思想分析身边的经济现象。1学习目标第四章 积分【经济问题41】企业实行差别价格是为了促销吗？某稀有金属公司是一家垄断性企业，产品仅在两个分割的A、B市场销售，已知产品的成本函数 、需求函数 。求利润最大时的价格、总销售量及最大利润。假设A、B市场能实行差别价格，市场A、B的边际收益函数分别为 和 ，并要求各完成企业原利润最大时的销售量的2/
2、5和3/5，求实行差别价格后企业所获利润。QQC102QP2100 QRA580QRB20180第一节定积分的概念与性质求从 到 这3小时的总产量。引例 已知某产品在时刻 的总产量的变化率（边际产量）为 （kg/h），t 26.010100tttQ1t4t tQ100140tAB 26.010100tttQ一、定积分的概念一、定积分的概念第一节定积分的概念与性质 tQ100140tAB 26.010100tttQiit1it1nt1t2t(1).分割-表示总产量 的曲边梯形分割成n个小曲边梯形(化整为零)Q),.2,1(niQi3t轴的垂线，每个小区间的长度是分点 作得到n个小曲边梯形nttt
3、iii31itt,过每个第一节定积分的概念与性质任取一点 ，以 近似代替每一点边际产量，现针对本题取小区间的右端点为 =,=为产品生产的时间，则时间段 上总产量增加。iiitt,1 iQini 31itn3it iiiitQqQ 取近似值用区间 上某时刻增加的产量代替边际产量 iitt,1第一节定积分的概念与性质nQQQQ21 n1iiitQnininininniQn121)31(6.0)31(10100(3)31(36)1()12(4.52)1(4.264.10934.54.264.10932122nnnnnnnnnnininni)11)(12(7.2)11(6.392.328nnn 求和-
4、求n个时间段上总产量增加之和（积零为整）极限值即为所求 上产品生产的总产量。第一节定积分的概念与性质in1iintQQ)(lim4,1)(.)(.limn11n1272n116392328n)(kg 取极限-曲边梯形面积近似值过渡到精确值（面积精确化）4362.第一节定积分的概念与性质定义定义4.14.1 设函数 在区间a，b上有定义，取分点 xf1210nxxxxanxb badxxf badxxf niiixxf10lim即作和式 ，a，b的分法及 的取法无关，则称函数 在a，b上可积，并称此极限值为函数 在a，b上的定积分，记为 将区间a，b分成个n小区间 ,，每个小区间长度记为：，且最
5、大小区间长度记为1ixixni,2,11iiixxxinixx1maxi)(1iiixxiniixf)(1 niiixxfim10i xf xf在每个小区间上任取一点,若极限 存在，且此极限与 取近似值用区间 上某时刻增加的产量代替边际产量掌握定积分计算方法，学会用积分思想分析身边的经济现象。的值应是对应的各个曲边梯形的面积的代数和（见图4-5），即例11 已知某产品总产量的变化率为第一节定积分的概念与性质消费者剩余是指消费者对某种商品所愿意支付的最高价格与他实际支付的价格的差额。性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即第一节定积分的概念与性质第三节换元积分法与分部积分法a，b，都有一个确定的
6、值与之存在（见图4-11），第一节定积分的概念与性质函数之间仅相差一个常数C，于是解 由题意，即要求出这种产品在第10年到第15年这五年间的总产量，于是根据公式（4.定理（微积分基本定理）若函数例20 解【经济问题】第一节定积分的概念与性质 定积分 是一个数值，这个值与被积函数 及积分区间a，b有关，而与积分变量用什么字母无关，即 =badxxf xf badxxf badttf注意注意特别地，当 时，有 定义中假定的是 ，如果 ，则规定ba ba badxxf abdxxfba badxxf=0 由定积分的定义可得定积分的几何意义第一节定积分的概念与性质S 的值就是曲线 ，直线 ，及 轴所围
7、成的曲边梯形的面积S（见图4-3），0 xf badxxf xfy ax bx x badxxfS即 若在a，b上，连续函数 ，则定积分第一节定积分的概念与性质 若在a，b上，连续函数 ，则定积分 的值就是对应的曲边梯形的面积S 的相反数（见图4-4），即 0 xf badxxf badxxfSS第一节定积分的概念与性质 对a，b上的任意连续函数 ，则定积分 的值应是对应的各个曲边梯形的面积的代数和（见图4-5），即 xf badxxf cabadxxfSSSdxxf321 dcdxxf bddxxfS2S1S3第一节定积分的概念与性质 所围成的曲边四 边形（见图4-6）的面积S 为 一般地，
8、由两条连续曲线 ,和直线 ,xfy xgy xgxfax bx ba babadxxgdxxfSS第一节定积分的概念与性质例例1 1 由定积分的几何意义，确定定积分 的值101 dxx解解 作定积分 对应的曲边梯形（见图4-8），101 dxxSy=x+1101 dxx23S=其面积 ，所以由定积分的几何意义，知23S由直边梯形的面积公式可得恰好是一个直边梯形，第二节原函数与微积分基本定理为产品生产的时间，则时间段 上总产量增加。理解定积分概念，通过原函数存在定理了解与不定积分的之间的关系；上连续，则变上限定积分函数第二节原函数与微积分基本定理的复合函数，由复合函数的求导法则，可得一、原函数概
9、念和基本公式第三节换元积分法与分部积分法第二节原函数与微积分基本定理由直边梯形的面积公式可得第二节原函数与微积分基本定理存在（见图4-11），第一节定积分的概念与性质第一节定积分的概念与性质第二节原函数与微积分基本定理上单调且具有连续的导数第二节原函数与微积分基本定理、需求函数 。特别地，当 时，有第一节定积分的概念与性质性质性质1 1 常数因子k可以提到积分号外面，即 badxxkf badxxfk=1xf badxxfabdxba性质性质2 2 若 ，则=bababadxxgdxxfdxxgxf性质性质3 3 代数和的积分等于积分的代数和，即二、定积分的性质二、定积分的性质第一节定积分的概
10、念与性质性质性质4 4（定积分的可加性）对任意三个数a，b，c，有=+badxxf cadxxf bcdxxf babadxxgdxxf xgxf性质性质5 5（定积分的比较性）若在a，b上，恒有，则第一节定积分的概念与性质例例2 2 求解定积分 ，其中 20dxxf 2x121x0 x1xf=+解解 由性质4，得 =+20dxxf 10dxxf 21dxxf101dxx212dx23110dxx2221dx 2722320dxxf由前述例1及性质1、性质2，可得于是 第一节定积分的概念与性质 xf abMdxxfabmba性质性质6 6 （定积分估值定理）若M，m分别为在a，b上的最大值和最
11、小值，则第一节定积分的概念与性质性质性质7 7（定积分中值定理）若 在a，b上连续，则至少存在一个 xfa，b，使得 abfdxxfba第一节定积分的概念与性质例例3 3 估计定积分 的值112dxex解解由 ，得驻点 022xxexf0 x比较端点、驻点函数值 及 10 f eeff1111 可知 在-1，1上的最大值M=1，最小值 2xexfem122112dxeex 所以由估值定理得 第二节原函数与微积分基本定理定义定义4.24.2 设函数 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 ，对于该区间上的任意一点都有 xf xF则称 是 在该区间上的一个原函数原函数。xF xf xfxF
12、dxxfxdF 或 一、原函数概念和基本公式一、原函数概念和基本公式第二节原函数与微积分基本定理是的全部原函数，称之为不定积分不定积分 CxF xf是的一个原函数 xF xf若，则 dxxf记为即称为积分常数。CxFdxxfC，作和式 ，比较端点、驻点函数值 及第三节换元积分法与分部积分法第二节原函数与微积分基本定理上连续，则变上限定积分函数第一节定积分的概念与性质例如：某人已知商品A每件在市场均价为25元，国庆期间他到商品A的产出地旅游，他本打算若价格23元就购买一件，最终在集贸市场上以20元成交，则消费者剩余为多少？第二节原函数与微积分基本定理第二节原函数与微积分基本定理上连续，则变上限定
13、积分函数证明 由定积分的可加性得例20 解【经济问题】第一节定积分的概念与性质函数之间仅相差一个常数C，于是第三节换元积分法与分部积分法求从 到 这3小时的总产量。某稀有金属公司是一家垄断性企业，产品仅在两个分割的A、B市场销售，已知产品的成本函数 定义中假定的是 ，如果 ，则规定第二节原函数与微积分基本定理第一节定积分的概念与性质性质5（定积分的比较性）若在a，b上，恒有第二节原函数与微积分基本定理1dxx例例4 4 求xx111解解 因为1111Cxdxx所以 第二节原函数与微积分基本定理例例5 5 求dxx1解解 被积函数在时无定义x10 x当时 有0 xxxxx11ln由此得 时 所以
14、 0 xxx1lnCxdxxln1时 有0 xxx1ln当第二节原函数与微积分基本定理dxxx221例例6 6 求dxxx221dxxx22111解解=dxx2111=dxxdx211=Cxxarctan=第二节原函数与微积分基本定理例例 7 7 已知某产品的产量在时刻t的变化率为，求产品在时刻t的产量函数（假设 104 ttq0t时产量为0）。解解 设产量函数为，则是其变化率的原函=由假设，于是得因此所求的产量函数为 tQ tQ tq dttdttqtQ104Ctt1022 00 Q0C tttQ1022数，所以二、变上限定积分二、变上限定积分第二节原函数与微积分基本定理 x且对每一个设a，
15、b，定积分存在（见图4-11），在区间在区间a，b上连续，则对任意的 xfx xadttfx xadttf对应。因此，定积分a，b，都有一个确定的值与之a，b上的一个函数，称为是定义a，b，即 x xadttfxx变上限定积分函数，记为，第二节原函数与微积分基本定理定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理）若 xf xadttfx xfdttfxxa上连续，则变上限定积分函数上可导，且在a，b在a，b第二节原函数与微积分基本定理例例 8 8 求函数的导数 3021sinxdtttx是的函数，所以是的复合函数，由复合函数的求导法则，可得3x xx 6323233021sin31sin1sin3
16、xxxxxxdtttxx解解 由于积分上限三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第二节原函数与微积分基本定理 aFbFdxxfba xf xF xf在区间是的任意一个原函数，则a，b上连续，定理（微积分基本定理）定理（微积分基本定理）若函数第二节原函数与微积分基本定理在上式中，令，得，即，于是ax CaFdttfaa CaF0 aFC又令，得bx CbFdttfba由此可得 aFbFdtxfba的一个原函数，又由上节定理知也是函数之间仅相差一个常数C，于是即 xF xf xadttfx xf CxFx CxFdttfxa证证 由假设是的一个原函数，而任意两个原第二节原函数与微积分基本定理21
17、21dxxx例例9 9 求定积分21221212212221212121dxxdxdxxdxxxdxxx解解 由定积分的性质，得62912112212311233133212121xxx=第二节原函数与微积分基本定理利用公式或 adxxf babdxxflim bdxxf baadxxflim例例10 10 求0211dxx211xy解解bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2=第二节原函数与微积分基本定理解解 由题意，即要求出这种产品在第10年到第15年这五年间的总产量，于是根据公式（4.3）得第三个5年内的产量为 140tt 3dtt 23d
18、ttQ10Q15Q1510215101510)(（单位）ttQ23例例11 11 已知某产品总产量的变化率为（单位/年），求从现在起的第三个5年内的产量。第二节原函数与微积分基本定理3 yx12 xy=122122213dxxxdxxxS29331221212xxx解解 解得交点（-2，5），（1，2）例例1212 求由抛物线与直线平面图形的面积。12 xy3 yx所围的第三节换元积分法与分部积分法一、换元积分法一、换元积分法dtttfdxxfba)()()(则ba)(,)(；(1)当上单调且具有连续的导数)(t,)(t在(2)；,t,)(batx(3)当时，。)(xf,ba)(tx定理定理设
19、函数在上连续，作变换它满足下列条件：，第三节换元积分法与分部积分法dxx4011例例13 13 计算.所以dxx4011)3ln2(2)1ln(2)111(2211202020ttdtttdtt，则，tx 2tx tdtdx2解解令.当时，当时，0 x0t4x2t.第三节换元积分法与分部积分法0 x0t2lnx1t当时，当时，.则2ln01 dxexdttdttt)111(212102102222arctan221010tt=2ln01 dxex例例14 14 计算.tex1)1ln(2txdtttdx212解解令，则，.第三节换元积分法与分部积分法例例1515 求111dxeexx解解111
20、11111xxxxededxee1xe11ln=11e11elnln第三节换元积分法与分部积分法证明 由定积分的可加性得在中令，即得 aaaadxxfdxxfdxxf00 0adxxfux aaadxufdxufdxxf000例例16 16 设函数在-a，a上连续，证明：为奇函数时，当为偶函数时，xf xf 0aadxxf xf aaadxxfdxxf02 当第三节换元积分法与分部积分法 xf xfxf aaaaaadxxfduufdxxfdxxfdxxf0000 00000aaaadxxfdxxfdxxfduuf 若为奇函数时，则=xf xfxf aaadxxfdxxf02 若为偶函数时，同
21、理可得第三节换元积分法与分部积分法二、分部积分法二、分部积分法)(xu和在上有连续导数，则)(xu)(xv,ba)(xvbababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(定理定理设函数性质5（定积分的比较性）若在a，b上，恒有第二节原函数与微积分基本定理解 由题意，即要求出这种产品在第10年到第15年这五年间的总产量，于是根据公式（4.量，现针对本题取小区间的右端点为 =,=例11 已知某产品总产量的变化率为及积分区间a，b有关，而与积分变量用什么字母无关，即 =解 由定积分的性质，得的一个原函数，而任意两个原解 由性质4，得 =+的值应是对应的各个曲边梯形的面积的代数和（见图4
22、-5），即消费者剩余是指消费者对某种商品所愿意支付的最高价格与他实际支付的价格的差额。定理（微积分基本定理）若函数【经济问题41】企业实行差别价格是为了促销吗？的一个原函数，而任意两个原 由定积分的定义可得定积分的几何意义存在（见图4-11），引例 已知某产品在时刻 的总产量的变化率（边际产量）为 （kg/h），第三节换元积分法与分部积分法第二节原函数与微积分基本定理在市场经济条件下，某产品的供给第三节换元积分法与分部积分法1022)1(11214xdx22ln4)1ln(214102x10210101)arctan(arctandxxxxxxdx解解10arctanxdx例例17 17 计算
23、。第三节换元积分法与分部积分法1)(1010101010 xxxxxeedxexedexdxxe解解 0000cos)cos(cossinxdxxxxxdxdxx0sin x解解 10dxxex例例18 18 计算。0sin xdxx例19 计算。第三节换元积分法与分部积分法906)903(2QQQL例例20 20 解【经济问题】解【经济问题】QQQQQQCRL903)10()2100(222又因为15Q70152100P0906QL令：得，67515901532L最大利润为QP2100 22100QQPQR所以 因因为需求函数第三节换元积分法与分部积分法7353758104001502251
24、01805.280902602QQQQ151015)20180()580()15(290609060dQQdQQCdQRdQRLBA 显然实行差别价格后企业所获利润高于原利润。第三节换元积分法与分部积分法消费者剩余 知识应用链接知识应用链接 消费者剩余消费者剩余是指消费者对某种商品所愿意支付的最高价格与他实际支付的价格的差额。例如：某人已知商品A每件在市场均价为25元，国庆期间他到商品A的产出地旅游，他本打算若价格23元就购买一件，最终在集贸市场上以20元成交，则消费者剩余为多少？解:消费者剩余=消费者愿意支付的最高价格实际支付价格 =2320=3（元）第一节定积分的概念与性质第一节定积分的概
25、念与性质的全部原函数，称之为不定积分解 由性质4，得 =+所围成的曲边梯形的面积S（见图4-3），若在a，b上，连续函数 ，则定积分第二节原函数与微积分基本定理由 ，得驻点a，b，都有一个确定的值与之性质7（定积分中值定理）若 在a，b上连续，则至少存在一个某稀有金属公司是一家垄断性企业，产品仅在两个分割的A、B市场销售，已知产品的成本函数及积分区间a，b有关，而与积分变量用什么字母无关，即 =的值应是对应的各个曲边梯形的面积的代数和（见图4-5），即解 由题意，即要求出这种产品在第10年到第15年这五年间的总产量，于是根据公式（4.的值就是对应的曲边梯形的面积S 的相反数（见图4-4），即在
26、市场经济条件下，某产品的供给为产品生产的时间，则时间段 上总产量增加。在-a，a上连续，证明：第一节定积分的概念与性质作和式 ，求产品在时刻t的产量函数（假设第三节换元积分法与分部积分法第一节定积分的概念与性质解 由定积分的性质，得第二节原函数与微积分基本定理第二节原函数与微积分基本定理第三节换元积分法与分部积分法存在（见图4-11），第二节原函数与微积分基本定理 求利润最大时的价格、总销售量及最大利润。a，b，都有一个确定的值与之第三节换元积分法与分部积分法第二节原函数与微积分基本定理第三节换元积分法与分部积分法第三节换元积分法与分部积分法性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即定理（原函数存在定理）若比较端点、驻点函数值 及第三节换元积分法与分部积分法第三节换元积分法与分部积分法第三节 换元积分法与分部积分法销售量10QQQ 销售总收入为，01000)(pQQQpR消费者愿意支付的最高消费额为：,dQQPRQQ01)(1则消费者剩余为01001)()(01pQQdQQPRRCQQ，产量为 ,在市场经济条件下，某产品的供给丰富。它的需求函数为 ,)(QP0P0Q如右图4.14。价格为1PP0P00Q1QQ现在用定积分概念来分析“消费者剩余消费者剩余”。
