1、pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1主要内容主要内容第一节第一节 拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换简介第二节第二节 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质第三节第三节 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第四节第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程用拉普拉斯变换解线性微分方程pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏简称拉氏变换）是一种变换）是一种解线性微分方程解线性微分方程的简便运算方法，是的简便运算方法，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。由于拉普分析研究线
2、性动态系统的有力数学工具。由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通时间函数，如拉斯变换的运用，我们能使许多普通时间函数，如正弦函数正弦函数、阻尼正弦函数阻尼正弦函数和和指数函数指数函数转换成转换成复变量复变量的代数函数的代数函数。微积分的运算能由在复平面内的代数。微积分的运算能由在复平面内的代数运算来代替。于是，运算来代替。于是，时域时域的的线性微分方程线性微分方程能转换成能转换成复数域复数域的的代数方程代数方程。这不仅运算方便，也使系统的。这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。分析大为简化。第一节第一节 拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换简介pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电
3、工程学院机电工程学院3 在控制工程中，使用拉氏变换的主要目的：在控制工程中，使用拉氏变换的主要目的：研究系统动态特性研究系统动态特性 因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。在拉氏变换的基础之上的。拉普拉斯变换法有以下两个拉普拉斯变换法有以下两个优点优点：可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分方程。需实际去解系统的微分方程。当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量。量和稳态分量。pagepage控制工程
4、基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院4dtetfsFtfLst0)()()(原函数原函数(Original Function)象函数象函数(Image Function)一、拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的定义 设时间函数设时间函数 ,则则 的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为0)(ttf，)(tfpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院5一个函数可以进行拉氏变换的一个函数可以进行拉氏变换的充要条件充要条件是是：(1)(1)在在t0t0。dteeeLstatat0图图2-1-5 2-1-5 指数函数指数函数0r(t)t1ateatepag
5、epage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1422s0sinsindtettLst其拉氏变换其拉氏变换为为 （六）正弦函数（六）正弦函数 正弦函数正弦函数（Sine Function）的数学表达式为的数学表达式为 ttrsin)(t0)式中，式中，为正弦函数的角频率。为正弦函数的角频率。0jjd)(j21teeestttpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院150coscosdttetLst其拉氏变换为其拉氏变换为 22ss（七）余弦函数（七）余弦函数0jjd)(21teeesttt余弦函数余弦函数（Cosine Function）
6、的数学表达式为的数学表达式为 ttrcos)(t0)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院16(八八)幂函数幂函数幂函数幂函数（Power Function）的数学表达式为的数学表达式为nttr)(t0,n-1且为整数)其拉氏变换为其拉氏变换为tettLstnnd0，令令sdudtsutstu代入上式代入上式得得011dueustLunnn1)1(nnsntL)1(0ndueuun因为因为 ，所以，所以当当n是非整数时，是非整数时，则则！nn)1(1nnsntL！单位阶跃函数单位阶跃函数、单位斜坡函数单位斜坡函数及及单单位加速度函数位加速度函数分别分别是幂函
7、数是幂函数 当当n=0、n=1 及及 n=2时的特例时的特例。)1(ntnpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院17)(21sintjtjeejt注注:欧拉公式欧拉公式)(21costjtjeetpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院18三、使用三、使用MATLABMATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换符号运算工具箱进行拉氏变换MATLABMATLAB提供了提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。函数来实现拉氏变换。例例2-12-1 求解函数求解函数 的拉氏变换。的拉氏变换。catebtcos解：解：输入以下命令输入
8、以下命令%L0201.msyms s t a b claplace(exp(-b*t)*cos(a*t+c)ans=1/(s2+2*s*b+b2+a2)*(-sin(c)*a+cos(c)*(s+b)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院19一、线性性质一、线性性质(Linearity)第二节第二节 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 线性性质指线性性质指同时同时满足满足叠加性叠加性和和齐次性齐次性。叠加性叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号指当几个激励信号同时作用于系统时，同时作用于系统时，总的输出响应总的输出响应等于等于
9、每个激励单独每个激励单独作用作用所产生的所产生的响应之和响应之和。如。如 ，则，则 。2211crcr，213213cccrrr 齐次性齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则则 。cr kckr pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院20)()(21tbftafL)()(21sbFsaF 则则)()(11sFtfL)()(22sFtfL 若有若有 ，a和和b为常数为常数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工
10、程学院21)(3cos1 32ttteLt例例2-22-2 求求 。解：解：)(cos3e132tttLt tLtLtLLLt323cose116921142ssssspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院22)()(sFeatfLasf(t-a)为延时时间为延时时间a的函数的函数 f(t)，当，当ta，即，即t-a0时时，f(t)=0二、延时定理二、延时定理（Time-Shift Theorem）证：证：tatfatfstde L0tatftatfstastade de 0)()(sFtfL若有若有 ，对任意实数，对任意实数 a,则则pagepage控制工
11、程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院23 对于对于 故上式右边的第一项积分故上式右边的第一项积分值为值为0 0。对于第二项积分，作变换。对于第二项积分，作变换 ，则，则0,),()0,tf ttaatatfatfaatsade L 0deasf de e0sasf sasFepagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院24例例2-32-3 求图求图2-2-1所示三角波的拉氏变换所示三角波的拉氏变换 解：解：三角波的表达式为三角波的表达式为()()(2)(2)f tA tTA tTAu tT所以所以 TsTsTssAsAsAtf2222e1e1e1L
12、TsTsTsssAee1e20AT2T图图2-2-1 2-2-1 三角波三角波f(t)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院25三、周期函数的拉氏变换三、周期函数的拉氏变换 若函数若函数 是以是以T 为周期的周期函数为周期的周期函数,即即 ，则有则有)(tf)()(tfTtf ttftfstde L0 ttfttfttfstTnnTstTTstTde de de 120 ttfstnTnnTde 01令令 t=t1+nT，即，即 d t=dt1，t1=0 时，时，t=n T 1001de L1tnTtftfnTtsnT 1001de e1ttfstnTsnT
13、 ttfTstsdee110Tpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院26例例2-42-4 求图求图2-2-2所示连续方波的拉氏变换所示连续方波的拉氏变换 由周期函数拉氏变换的公式得由周期函数拉氏变换的公式得 ttutusFst2sde 12e1120 12tututf1e2e1e1122ssss解：解：在一个周期在一个周期 内，内，的的数学表达式为数学表达式为0,2t()f t2e11e1e11ssss）（）（）（ssse1e1f(t)图图2-2-2 2-2-2 连续方波连续方波011234657-1tpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工
14、程学院机电工程学院27四、复数域位移定理四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)asFtfLate ttftfLstatatde ee0 0de ttftsaasF证：证：asFtfLate)()(sFtfL若若 ，对于任意常数，对于任意常数a(实数或复数实数或复数)，有，有pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院28例例2-52-5 求求 。解：解：由复数域位移定理得由复数域位移定理得同理得同理得 22sineastLattLtLatatcosesine和和22coseasastLatpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯
15、变换 机电工程学院机电工程学院29五、时间尺度改变性质五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale)tatfatfLstde 0，则令at 时间尺度改变性质又称时间尺度改变性质又称相似定理相似定理或称或称尺寸变换特性尺寸变换特性(Scaling Property)或称或称压扩特性压扩特性(Companding Property)。证：证：asFa1 de 10asfa d1e 0aftfLas)()(sFtfL若若 ，a 是任意常数，则是任意常数，则)(1)(asFaatfLpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院30例例2-62-6 求求
16、和和 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：ttf.20e5 ttf e 11essFLtfLt因此因此 15555e52.0ssFLtfLt1552.01e2.0ssLt这个结果能直接用这个结果能直接用e-0.2t 的拉氏变换容易得到证明，即的拉氏变换容易得到证明，即 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院31六、微分性质六、微分性质(Differentiation Property)则若)()(sFtfL)0()()(fssFtfdtdLttfdtdtfdtdLstde)()(0 0de ettfstfstst 0detfst f(0)为时间函数为时间函数 f
17、(t)在t=0处的初始值处的初始值。注意注意，本书假设，本书假设 f(0-)=f(0+)=f(0)。证：证：根据拉氏变换的定义并应用分部积分法，有根据拉氏变换的定义并应用分部积分法，有 0fssFpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院32)()(sFtfL12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt推论推论 若若 ，则，则特别地，当特别地，当 时，有时，有(1)(0)(0)(0)0nfff)()()(sFstfLnnpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院33七、积分性质七、积分性质(
18、Integration Property)证：证：则若)()(sFtfL(1)0()(0)()tF sfLf t dtss(-1)00(0)()ttff t dt其中其中 000de ddtttfttfLsttt 0-00de1d1ttfsttfssttt ssFsf0)1(pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院34(1)(2)n1000()111()()()(0)(0)1(0)tttnnnnLf t dtF sffsssfs 当当 f(t)在在t=0处处连续连续时时(1)(2)()(0)(0)(0)0nfff)(1)(0sFsdttfLt)(1)(n000
19、sFsdttfLtttn)()(sFtfL推论推论 若若则则pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院35解：解：sFsttfLt1d 0得得 ktLstktLtfLsin1dsint0）（22kssk例例2-72-7 已知已知 ，k为实数，求为实数，求 。tfL ttkttf0dsin由由pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院36八、初值定理八、初值定理(Initial Value Theorem)证：证：若函数若函数 f(t)及其一阶导数均可进行拉氏变换，由微分性质知及其一阶导数均可进行拉氏变换，由微分性质知)0()(li
20、m)(lim0fssFdtetfssts0)0()(limlim)(fssFdtetfssts)0()()()(0fssFdtetftfLsts)(limssFs)(lim)(lim)0(0ssFtffst)()(sFtfL若若 ，且，且 存在，则存在，则 令令对上式取极限对上式取极限pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院37，故，故时，时，当当0ests0)0()(limfssFs)(lim)0()(lim0tffssFtspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院38九、终值定理九、终值定理(Final Value The
21、orem)存在，则，且若tfsFtfLtlim)()()(lim)(lim0ssFtffst若函数若函数 f(t)及其一阶导数均可进行拉氏变换，由微分性质及其一阶导数均可进行拉氏变换，由微分性质知知0)()(dtetftfLst0s)0()(fssF)0()(lim)(lim0fssFdtetf0sst0s)0()(limfssF0s证：证：对上式取极限对上式取极限令令pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院3900lim)()(limdtetfdtetfst0sst0sttdttf0)(lim 0limftft 0limftft0lim()(0)lim()(
22、0)tsf tfsF sf所以所以0()lim()lim()tsff tsF s 即即因为因为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院40解：解：由初值定理和终值定理由初值定理和终值定理得得 ssFfs lim0asss1lim01asss1lim ssFfs0lim0例例2-82-8 已知已知 （a0），求，求 。ff和0 assF1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院41十、复微分定理十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem)tttfsFsstde dd0 tttfstde 0则则
23、若若)()(sFtfL()()dL t f tF sds 0()()stF sf t edt证：证：两边微分，得两边微分，得 ttfLpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院42十一、复积分定理十一、复积分定理(Complex-Integration Theorem)sttfssFsstsde dd0 sttttfe1d 0 ttfL证：证：交换积分次序，得交换积分次序，得则则若若)()(sFtfL()()sf tLF s dst0()()stssF s dsf t edt ds tttfstde 0pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学
24、院机电工程学院43十二、卷积定理十二、卷积定理(Convolution Theorem)ttdtffdtffdtff)()()()()()(21021021 dtfftftf)()(2121两函数两函数 f 1(t)和和f 2(t)的卷积定义为的卷积定义为1212()*()()()f tf tff td 根据拉氏变换的定义，根据拉氏变换的定义，时，时，故，故当当 时，时，上式可以写成，上式可以写成 0t 12()()0f tf t2()0f tttdtff021)()(pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院44 可见，在可见，在拉氏变换中卷积拉氏变换中卷积的
25、定义的定义和一般卷积和一般卷积定义是定义是一致一致的，只不过是由于拉氏变换中函数的，只不过是由于拉氏变换中函数 ，从，从而引起卷积而引起卷积积分限积分限发生发生变化变化。0tfttf时，时，在在卷积满足以下性质：卷积满足以下性质：（1 1）交换律）交换律 1221()()()()f tf tf tf t（2 2）结合律）结合律 123123()()()()()()f tf tf tf tf tf t（3 3）分配律）分配律 1231213()()()()()()()f tf tf tf tf tf tf tpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院45，若若)(
26、)()()(2211sFtfLsFtfL拉氏变换的卷积定理：拉氏变换的卷积定理：，时，时，且当且当0021tftft则则121212()()()()()()L f tf tL f tL f tF sF spagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院46证证:121200()()()()tstL f tf tff tdedt121200()()()()stL f tf tff tdedt121200()()()()stL f tf tff tedt d交换积分次序交换积分次序02tft时，时，考虑当考虑当由延时定理得由延时定理得 sFftftfLs20121de s
27、FsF21pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院47例例2-92-9 已知已知 。tftftttfttf2121,0,sin,求求解：解：由卷积的定义求得由卷积的定义求得 tttttftftd sinsin021 tLtLsFsFtftfLsin2121dcoscos0ttttt0cosdttsin由拉氏变换的卷积定理由拉氏变换的卷积定理11122sspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院48再用拉氏反变换求得原函数再用拉氏反变换求得原函数 sFsFLtftf21121111111221221ssLssL1112121sL
28、sLttsinpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院49解解：syms s t a b claplace(exp(-b*t)*cos(a*t+c)输出为输出为 22()cos()sin()()sbcacsba例例2-102-10 求解函数求解函数 的拉氏变换。的拉氏变换。cos()bteatcans=(s+b)*cos(c)-a*sin(c)/(s+b)2+a2)转换成一般形式转换成一般形式 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院50jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1第三节第三节 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换
29、 已知象函数已知象函数 ，求其原函数，求其原函数 的变换称作的变换称作拉氏反拉氏反变换变换（Inverse Laplace Transform），记为：，记为：，并，并定义为定义为)(sF()f t1()LF spagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院51通常求拉氏反变换的方法有：通常求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(3)(3)部分分式法部分分式法(2)(2)有理函数法有理函数法 应用应用部分分式展开法部分分式展开法（Partial-Fraction Expansion Method）计算拉氏反变换的一般步骤如下：计算拉氏反变换的一般步骤如下：（
30、1 1）计算有理分式函数）计算有理分式函数F(s)的极点；的极点；（2 2）根据极点把）根据极点把F(s)的分母多项式进行因式分解，并进的分母多项式进行因式分解，并进一步把一步把 F(s)展开成部分分式；展开成部分分式；（3 3）对）对F(s)的部分分式展开式进行拉氏变换。的部分分式展开式进行拉氏变换。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院52一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式101110111212()()()()()()()()()mmmmnnnnmnb sbsbsbB sF sA sa sa sasaK szszszs
31、pspsp式中，式中，和和 分别为分别为F(s)的的极点极点和和零点零点，它，它们是们是实数实数或或共轭复数共轭复数，且，且nm。如果。如果n=m，则分子，则分子B(s)必须必须用分母用分母A(s)去除，以得到一个去除，以得到一个s的多项式的多项式和一个和一个余式之和余式之和，在余式中分母阶次高于分子阶次。根据极点种类的不同，将在余式中分母阶次高于分子阶次。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下上式化为部分分式之和，有以下两种两种情况。情况。12,np pp12,mz zzpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院53一、一、F(s)无重极点的情况无
32、重极点的情况nnpscpscpsc22111011012()()()()()()mmmmnb sb sbsbB sF sA saspspsp)()(limsFpscipsiiniiipsc1 当当F(s)无重极点时，即只有各不相同的单极点无重极点时，即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：总是能展开为下面简单的部分分式之和：式中，式中，ci 为待定常数，称为为待定常数，称为F(s)在极点在极点 pi 处的处的留数留数，可按下式，可按下式计算计算 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院54因此因此,原
33、函数为原函数为 niiipscLsFLtf111)()(nitpiiec1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院55例例2-112-11 已知已知 ,试求原函数。试求原函数。)3)(2)(1(35)(sssssF解：将解：将 F(s)成部分分式形式成部分分式形式321)(321scscscsF式中式中1153(1)1(1)(2)(3)sscssss 2253(2)7(1)(2)(3)sscsssspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院56 362711)(1111sLsLsLsFLtf3353(3)6(1)(2)(3)ss
34、cssss 于是，有于是，有362711)(ssssFttteee3267pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院57 课堂练习：求课堂练习：求F(s)的拉氏反变换。的拉氏反变换。223)(2ssssF3455)(22sssssFpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院58二、二、F(s)有重极点的情况有重极点的情况123()()()()()()()()rnB sB sF sA sspspspsp111211111.()rrrcccspspsp3223.nncccspspsp 假设假设F(s)有有 r 个个重极点重极点(Mul
35、tiple Poles)p1，其余极点均，其余极点均不相同，则不相同，则F(s)可表示为可表示为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院591111()()rspcspF s1121()()rspdcspF sds1213121()()2!rspdcspF sds1(1)1111()()(1)!rrrrspdcspF srds 式中式中 ,为重极点对应的待定系数为重极点对应的待定系数,求法如下：求法如下：11121,rcccpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院60其余系数其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同，的求法与
36、第一种情况所述的方法相同，即即23,nc cc()()(2,3,)iiispcsp F sin因此，因此，F(s)的拉氏反变换为的拉氏反变换为 111311121211112312111212()()()()(1)!(2)!inrrrnnp tp trrriif tLF sccccccLspspspspspspccttcecerrpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院61例例2-122-12 已知已知 ，试求原函数，试求原函数 f(t)。)3()2(1)(3ssssF322)2()(3213212311scscscscscsF解：解：将将F(s)写成部分分式
37、形式，有写成部分分式形式，有 式中，式中，c11,c12,c13为三重极点为三重极点s=-2=-2所对应的系数，根据公式所对应的系数，根据公式式计算式计算21)3()2(1)2(23311sssssc41)3()2(1)2(dd23312sssssscpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院62c2,c3为单极点对应的系数，根据公式计算为单极点对应的系数，根据公式计算 23011(2)(3)24scss ss33311(3)(2)(3)3scss ss83)3()2(1)2(2332212sssssdsdcpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电
38、工程学院机电工程学院63于是其象函数可写为于是其象函数可写为 查拉氏变换表可求得原函数为查拉氏变换表可求得原函数为33/124/128/3)2(4/1)2(2/1)(23ssssssFtttteeteettf3222231241834141)(pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院64例例2-132-13 用用MATLABMATLAB求拉氏反变换求拉氏反变换()sdF ssasbsc解：解：syms s a b c d ilaplace(s+d)/(s+a)*(s+b)*(s+c)ans=1/(a-b)/(a-c)*exp(-a*t)*d-1/(a-b)/(
39、a-c)*exp(-a*t)*a-1/(b-c)/(a-b)*exp(-b*t)*d+1/(b-c)/(a-b)*exp(-b*t)*b-1/(b-c)/(a-c)*exp(-c*t)*c+1/(b-c)/(a-c)*exp(-c*t)*d转换成一般形式为：转换成一般形式为：()()()()()()()()()()()()atatbtbtctctedeaedabacabacbcabebecedbcabbcacbcacpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院65 MATLABMATLAB也可使用部分分式法解拉氏反变换。也可使用部分分式法解拉氏反变换。MATLAB
40、MATLAB有一个命令可用于求有一个命令可用于求 的部分分的部分分式展开直接求出展开式中的留数、极点和余数。式展开直接求出展开式中的留数、极点和余数。101101mmmnnnM sb sb sbN sa sa sapagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院66例例2-142-14 用用MATLABMATLAB求求 的部分展开的部分展开式。式。611663522323sssssssG解：解：输入以下命令：输入以下命令：%L0203.mnum=2 5 3 6den=1 6 11 6 r,p,k =residue(num,den)则输出结果为：则输出结果为：pagep
41、age控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院67由此可得出部分分式展开式：由此可得出部分分式展开式：2132436ssssGr=-6.0000 -4.0000 3.0000p=-3.0000 -2.0000 -1.0000k=2pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院68第四节第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程用拉普拉斯变换解线性微分方程利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方
42、程解象函数；(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解。取拉氏反变换，得微分方程解。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院69ssYyssYysysYs6)(6)0(5)(5)0()0()(2解：解：将初始条件代入上式得将初始条件代入上式得6)(6)(5)(tytyty例例2-152-15 求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。6122)()65(22sssYsss)3)(2(6122)65(6122)(222sssssssssssY2)0(,2)0(yy方程两边取拉氏变换得方程两边取拉氏变换得 即即pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯
43、变换 机电工程学院机电工程学院7032)(321scscscsY21021261(2)(3)ssscss ss5)2()3)(2(6122222sssssssc4)3()3)(2(6122323sssssssc123()()1 54tty tLY see 利用部分分式法得利用部分分式法得 154()23Y sssspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院71同样对例同样对例2-152-15，我们可以先得到其象函数，我们可以先得到其象函数 。222126()(56)ssY ss ss而后使用命令：而后使用命令：%L0204.msyms snum=2 12 6den=sym2poly(s*(s2+5*s+6)r,p,k =residue(num,den)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院72r=-4.0000 5.0000 1.0000p=-3.0000 -2.0000 0k=输出为：输出为：同样很容易可得到同样很容易可得到 34251)(ssssYpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院73
