1、 第二章 第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其密度函数密度函数 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区所有可能取值充满一个区间间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能象离散型不能象离散型随机变量那样随机变量那样,以指定它取每个值概率的以指定它取每个值概率的方式方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法述方法.请看演示请看演示:怎样画直方图怎样画直方图 直方图与概率密度直方图与概率密度（I）直方图）直方图 一一
2、 概率密度函数概率密度函数由此启发我们如何描述连续型随机变量由此启发我们如何描述连续型随机变量.(II)连续型连续型r.v.及其概率密度函数的定义及其概率密度函数的定义.概率密度或密度数，函的概率密度 为)(称r.v.),(为连续型 则称)()()(,),()(),(对随机变量简称为随机变量，有使得对任意实数存在非负可积函数的分布函数如果XxfXdttfxXPxFx,xxfxFXx连续型连续型 r.v.的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限即分布函数是密度函数的可变上限的的 定积分定积分.若若 X 是连续型是连续型r.v.，X f(x),则则 F(x)=P(X x)=xdttf)(
3、由上式可得，由上式可得，在在 f(x)的连续点的连续点，)()(xfdxxdF(III)概率密度函数的性质概率密度函数的性质 1 o 0)(xf2 o 1)(dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个 函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的 概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)x o面积为面积为1 例例1 1 设连续随机变量的概率密度为：求系数A。解解：因为所以A=3。01010)(2xxxAxxf或,13)(102AdxAxdxxf 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是 X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区
4、间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.x,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)3.对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的的高度，并不反映高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这个但是，这个高度越大，则高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该
5、点附近的程度概率集中在该点附近的程度.f(x)x o若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP )(它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与 kkpxXP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.4.连续型连续型r.v取取区间值区间值的概率的概率.对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量X，若已知其密度，若已知其密度函数为函数为f(x),则根据定义，可求得其分布函则根据定义，可求得其分布函数数F(x)，同时，还可以求得，
6、同时，还可以求得X的取值落在的取值落在任意区间任意区间(a,b上的概率：上的概率：.)()()()(badxxfaFbFbXaP5.连续型连续型r.v取取任一任一指定值的概率为指定值的概率为0.即：即：,0)(aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1)对连续型对连续型 r.v X,有有)(bXaP2)由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX称称A为为几乎不可能事件
7、几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出 A由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子.由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确所确定定.所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo例例2 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1,110,0,0)(2 xxxxxF求求(1)概率概率;7.03.0 XP(2)X的密度函数的密度函数.解解 由连续型随机变量分布函数的性质由连续
8、型随机变量分布函数的性质,有有(1)3.0()7.0(7.03.0FFXP ;4.03.07.022 例例2 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1,110,0,0)(2 xxxxxF求求(2)X的密度函数的密度函数.解解(2)X的密度函数为的密度函数为 xxxx1,010,20,0.,010,2 其它其它xx)()(xFxf 二二 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布若若 r.v.X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua,b)(xfab其它,0,1
9、)(bxaabxf1、均匀分布、均匀分布(Uniform)（注（注：X U（a,b）易见易见.1)().2(;0)().1(dxxfxf若X U(a,b)，则对于满足，则对于满足bdca的c,d,总有abcddxxfdXcPba)(它的实际背景是：它的实际背景是：r.v X 取值在区间取值在区间(a,b)上，并且取值在上，并且取值在(a,b)中任意小区间中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，内的概率与这个小区间的长度成正比，与这个小区间的位置无关。与这个小区间的位置无关。则则 X 具有具有(a,b)上的上的均匀分布均匀分布.1)()()()()()()()()()(;0)()()(ax
10、bbaxxaaxxdttfdttfdttfdttfxFbxabaxdttfdttfdttfxXPxFbxadttfxXPxFxXax时，当时，当是不可能事件，于是时，显然，当因此X U(a,b)的分布函数为：bxbxaabaxaxxXPxF10)()(均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差入时，那么一般认为误差服从（服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。公交线路上公
11、交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等停车站的时间，即乘客的候车时间等.例例3 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来分钟来一班车，即一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量,试求他候车试求他候车时间少于时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位其它,0300,301
12、)(xxf 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到之间到达车站达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，30251510XPXP其它,0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.例4：设服从0,3 上均匀分布，求方程 没有实根的概率。02442xxother
13、s03,031)(xxp解：因为服从0,3 上均匀分布，则其概率密度函数为设.3231)(210)2(44)4()(0244202122dxdxxpPPAPxxA，则没有实根方程 区间区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布U(0,1)在计在计算机模拟中起着重要的作用算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机上均匀分布的随机数数.它是由一种迭代过程产生的它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的严格地说，计算机中产生的U(0,1)随随机数并非完全随机，但很接近随机，故常机数并非完全随机，
14、但很接近随机，故常称为称为伪随机数伪随机数.如取如取n足够大，独立产生足够大，独立产生n个个U(0,1)随机数，则从用这随机数，则从用这 n 个数字画出的频率个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的上的均匀分布均匀分布U(0,1).则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.2、指数分布：、指数分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 000)(xxexfx0常简记为常简记为 Xe().000)()(xxexXPxFx分布函数分布函数.1)().2(;0)().1(dxxfxf易见易见 指数分布常用于可靠性统计研究中，指数分布常用于
15、可靠性统计研究中，各种各种“寿命寿命”分布的近似，分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布.例例5 设某种电子元件的寿命为连续随机变量，若使用了t小时的该元件在以后的t小时内损坏的概率为 t+o(t)，其中0为常数，o(t)表示当t0时较t高阶的无穷小量，可以证明服从指数分布。证明：).()(1)(1)(1)()()(),()|(,0001)()(tPtFeeesFtsFsPtsPsPstsPstsPxxexFtstsx服从指数分布的随机变量通常可解释为某种寿命，此例的结果表明，如果已知寿命长于s年，则再活t年的概率与年龄s
16、无关，亦称指数分布具有“无记忆性”.例例7 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,X的分布函数为的分布函数为.0,00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,例例7 某元件的寿命某元件的寿命X
17、服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,).1,3(1 ebY所求概率为所求概率为011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC则则 正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由 高斯高斯(Gauss)(Gaus
18、s)加以推广，所以通加以推广，所以通常称为高斯分布常称为高斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛（德莫佛（De MoivreDe Moivre)最早最早发现了二项分布的一个近似公发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是式，这一公式被认为是正态分正态分布的首次露面布的首次露面.3、正态分布、正态分布你们是否见过街头的一种赌博游戏你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。用一个钉板作赌具。高高 尔尔 顿顿 钉钉 板板 试试 验验这条曲线就近似我们将要介这条曲线就近似我们将要介绍的绍的正态分布正态分布的密度曲线。的密度曲线。(1)、正态分布的定义、正态分布的定义 若若r.v.X 的的概率密度为概
19、率密度为),(2NX记作记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.(Normal).1)().2(;0)().1(dxxfxf易见易见(2)、正态分布、正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡
20、峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值:xexfx,)()(22221 令令x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可可得得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()21)(f这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x)0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，xexfx,)()(22221 为为f(x)的两个拐点的横坐标。的
21、两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。再复习一下。实例实例 年降雨量问题，我们用上海年降雨量问题，我们用上海99年年年年降雨量的数据画出了频率直方图。降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线 可见，某大学大学生的身高应可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。服从正态分布。人的身
22、高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特面反映了服从正态分布的随机变量的特点。点。除了我们在前面遇到过的年降雨量和除了我们在前面遇到过的年降雨量和身身高外高外,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
23、射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布等，都服从或近似服从正态分布.(3)设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 dtexxt2221)(4)(4)、标准正态分布、标准正态分布 1,0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x)(x 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过
24、线性变换转化为 标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.),(2NXXY,则则 N(0,1)设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.（5 5）、正态分布表）、正态分布表 )(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x175的概率为P X175=1751XP)65.0(1)
25、69.7170175(1=0.2578解解:(II):(II)设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01 或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.（IIII）公共汽车车门的高度是按成年）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在男性与车门顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的，问车门高度应如何确定来设计的，问车门高度应如何确定?因为因为XN(170,7.,7.692),),)1,0(69.7170NX)69.7170(h故故 P(X0.9969.7170h所以所以 =2.33,即即 h=170+17.92
26、 188 设计车门高度为设计车门高度为 188厘米时，可使厘米时，可使 男子与车门碰头男子与车门碰头 机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99 求满足求满足的最小的的最小的h.其他例子 参书本48-49页下面我们来求几个连续型下面我们来求几个连续型 r.v 的分布函数的分布函数.others03221)(xBxAxxf.21,31,123)(,2321322132BABABdxAxdxdxxfBABdxAxdx所以：又因为xxxxxxdttfxFxxdtdttdttfxFxxdttdttfxFxdttfxFx;1)()(3;21213)()(32;613)()(21;0)()(1).
27、221212时，当时，当时，当时，当 因此的分布函数为：313221216110)()(2xxxxxxxPxF例例10 设设r.v X 的密度函数为的密度函数为 f(x)其它0,11,12)(2xxxf求求 F(x).F(x)=P(X x)=xdttf)(解：解：对对x 1，F(x)=1 即即 1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF 例例11 已知连续随机变量的分布函数为：求的概率密度f(x)。31312110)()(xxxxxPxF3121310)()(xxxxFxf或解解：值得注意的是，在F(x)不存在的点，取f(x)的对应值为0 这一讲，我们介绍了连续型随机变量、这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。概率密度函数及性质。还介绍了正态分还介绍了正态分布，布，它的应用极为广泛，在本课程中我们它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布么多随机现象都近似服从正态分布;还要给还要给出德莫佛极限定理的证明出德莫佛极限定理的证明.另外我们简单介绍了均匀分布和指数另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布分布作业 第50-51页 2,3,10,13,14 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可
